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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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 MBastieK Verfasst am: 22. Jan 2025 00:55 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | } = 3)
} = 2)
...
 \otimes (b_1, b_2) = \big( (a_1, b_1), (a_1, b_2) \ldots (a_3, b_2)\big)) |
Und
} \otimes H^{(b)}) = n \cdot m = 3 \cdot 2 = 6)
ist nur auf die verschachtelte Tupel-Darstellung
bzw. voll ausgeschrieben
 \otimes (b_1, b_2) = \big( (a_1, b_1), (a_1, b_2), (a_2, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_1), (a_3, b_2) \big))
bezogen?
Nette Grüsse
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„Ein Test für außerordentliche Intelligenz ist die Fähigkeit zwei gegensätzliche Ideen gleichzeitig zu verfolgen, ohne dabei verrückt zu werden.“ - F. Scott Fitzgerald
Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 22. Jan 2025 08:22 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
ist nur auf die verschachtelte Tupel-Darstellung
bzw. voll ausgeschrieben
bezogen? |
Letzteres ja.
Aber warum "nur"? Es veranschaulicht, dass ich sechs Zahlen also (Komponenten) benötige, um den Vektor eindeutig darzustellen.
(die Dimension eines Vektorraumes ist gerade definiert als die minimale Anzahl unabhängiger Vektoren, deren lineare Hülle dem gesamten Vektorraum entspricht, die ihn also aufspannen) |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 23. Jan 2025 16:51 Titel: |
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Mal ne Bestätigungs-Frage:
Wenn T ∈ (V ⊗ V*) und v ∈ V und f ∈ V* gilt dann:
)
??
Nette Grüsse |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 23. Jan 2025 18:01 Titel: |
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Ja.
Ich würde es etwas anders schreiben:
 = \sum_{ij} f_i T_{ij} v_j)
wobei die die Reihenfolge klarer ist; ko- und kontravariante Indizes gibt es in der QM nicht.
Ist die Dirac-Notation dann auch klar? |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 23. Jan 2025 18:13 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ja. |
Danke.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | ko- und kontravariante Indizes gibt es in der QM nicht. |
Weil von den 4 (Kombinationen der) Tensoren 2-ter Stufe immer nur 1 in der QM genutzt wird?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ist die Dirac-Notation dann auch klar? |
Bezüglich was?
Ich mache meine kleinen Schritte vorwärts.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 23. Jan 2025 19:15 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | ko- und kontravariante Indizes gibt es in der QM nicht. |
Weil von den 4 (Kombinationen der) Tensoren 2-ter Stufe immer nur 1 in der QM genutzt wird? |
Nein.
Weil keine der Punkte – ortsabhängige Größen, Tangential- und Korangentialräume, krummlinige Koordinatensysteme … – die zur Unterscheidung von ko- und kontravarianten Objekten führen, auf Hilberträume zutreffen. Was bleibt sind letztlich Zeilen- und Spaltenvektoren.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ist die Dirac-Notation dann auch klar? |
Bezüglich was? |
Wie man f(Tv) sowie die Darstellung in Komponenten mittels Dirac-Notation ausdrücken kann. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 23. Jan 2025 19:43 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wie man f(Tv) sowie die Darstellung in Komponenten mittels Dirac-Notation ausdrücken kann. |
Ich würd sagen <f|Tv>
Nette Grüsse
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MBastieK
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| MBastieK Verfasst am: 23. Jan 2025 20:33 Titel: |
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Folge-Beitrag:
Benutzt die Quanten-Mechanik (bzw. Dirac-Notation) nur Operatoren T ∈ (V ⊗ V*) die einen Vektor aus V verlängern oder verkürzen, d.h.
 = \vec{0})
??
Mit v ∈ V und x als Kreuzprodukt.
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 23. Jan 2025 22:02 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wie man f(Tv) sowie die Darstellung in Komponenten mittels Dirac-Notation ausdrücken kann. |
Ich würd sagen <f|Tv>
Nette Grüsse |
Und jedes der drei Objekte kann bzgl. einer beliebigen Basis, auch jedes bzgl. einer jeweils anderen, im Folgenden nummeriert mit n, dargestellt werden.
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 23. Jan 2025 22:36 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Folge-Beitrag:
Benutzt die Quanten-Mechanik (bzw. Dirac-Notation) nur Operatoren T ∈ (V ⊗ V*) die einen Vektor aus V verlängern oder verkürzen, d.h.
??
Mit v ∈ V und x als Kreuzprodukt.
|
Wenn der Vektor kein Eigenvektor des Operators ist, dann wird der Vektor durch die Anwendung des Operators auch gedreht. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
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| MBastieK Verfasst am: 24. Jan 2025 00:02 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Wenn der Vektor kein Eigenvektor des Operators ist, dann wird der Vektor durch die Anwendung des Operators auch gedreht. |
Ja natürlich, das ist ja der Umkehrschluss bzw. dann gilt:
 \neq \vec{0})
d.h. v und Tv werden linear unabhängig.
Nette Grüsse
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 24. Jan 2025 00:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | ko- und kontravariante Indizes gibt es in der QM nicht. |
Weil von den 4 (Kombinationen der) Tensoren 2-ter Stufe immer nur 1 in der QM genutzt wird? |
Nein.
Weil keine der Punkte – ortsabhängige Größen, Tangential- und Korangentialräume, krummlinige Koordinatensysteme … – die zur Unterscheidung von ko- und kontravarianten Objekten führen, auf Hilberträume zutreffen. Was bleibt sind letztlich Zeilen- und Spaltenvektoren.
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Ist in der SRT ja auch nicht so und da macht man es trotzdem.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 24. Jan 2025 06:44 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Benutzt die Quanten-Mechanik (bzw. Dirac-Notation) nur Operatoren T ∈ (V ⊗ V*) die einen Vektor aus V verlängern oder verkürzen, |
Wenn der Vektor kein Eigenvektor des Operators ist, dann wird der Vektor durch die Anwendung des Operators auch gedreht. |
Ja natürlich, das ist ja der Umkehrschluss bzw. dann gilt:
d.h. v und Tv werden linear unabhängig.
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Wenn in der QM physikalische Zustände nur durch Eigenvektoren zu Operatoren, insbesondere solchen, die Observablen repräsentieren, beschrieben würden, dann wäre sie realistisch im Sinne Einsteins und auch lokal.
Aber sicher unvollständig.
Wenden Sie z.B. mal den Operator
)
auf den Vektor
an |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 24. Jan 2025 07:25 Titel: |
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Im folgenden betrachte ich selbstadjungierte Operatoren A, B … und deren orthonormierte Eigenvektoren.
Im Allgemeinen liegt für den Zustandsvektor kein Eigenzustand zu einem bestimmten Operator A vor. Dies liegt ganz einfach daran, dass für sehr viele Operatoren A, B … gilt, dass ihr Kommentator nicht verschwindet, d.h.
Damit haben sie (bis auf Ausnahmen) keine gemeinsamen Eigenvektoren. Liegt also ein Eigenvektor zu A vor, dann i.A. nicht zu B.
Stellt man A in seiner Eigenbasis dar, dann gilt
In dieser Eigenbasis gilt für B allgemein
wobei nicht alle Nebendiagonalelemente verschwinden (andernfalls würden A und B kommutieren).
Für einen speziellen Eigenvektor zu A mit Index 0 gilt dann
Damit gilt
Es sind also gerade die Nebendiagonalelemente im zweiten Term auf der rechten Seite, in denen andere, zum ursprünglichen Eigenvektor senkrecht stehende Eigenvektoren beitragen.
Das hat noch nichts mit Hilberträumen, Quantenmechanik oder der Dirac-Notation zu tun, das macht man sich bereits anhand einfacher Beispielen wie 2 × 2 Matrizen im Rahmen der linearen Algebra klar. Am besten mal das genannte Beispiel mit den Pauli-Matrizen explizit durchrechnen.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 24. Jan 2025 11:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Im folgenden betrachte ich selbstadjungierte Operatoren A, B … und deren orthonormierte Eigenvektoren. . |
Die Operatoren müssen zusätzlich kompakt sein. Selbstadjungierte Operatoren haben im Allgemeinen keine Eigenbasis.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 24. Jan 2025 15:27 Titel: |
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Gilt bei quanten-mechanischen Operatoren T ∈ (V ⊗ V*) im Kontext der Quanten-Mechanik folgendes: Wenn T (mindestens) einen Eigen-Vektor besitzt und w kein Eigen-Vektor von T ist, gilt dann immer:
 \times (\mathbf{T}(\mathbf{T} \vec{w})) = \vec{0})
Mit x als Kreuzprodukt. D.h. wird der Nicht-Eigen-Vektor durch T gedreht und bei nochmaliger Anwendung von T auf den gerade gedrehten Vektor nicht mehr gedreht?
Nette Grüsse
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Was mit Energie-Aufwand gelernt, verteidigt man dementsprechend. |
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 24. Jan 2025 16:03 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Gilt bei quanten-mechanischen Operatoren T ∈ (V ⊗ V*) im Kontext der Quanten-Mechanik folgendes: Wenn T (mindestens) einen Eigen-Vektor besitzt und w kein Eigen-Vektor von T ist, gilt dann immer:
Mit x als Kreuzprodukt. D.h. wird der Nicht-Eigen-Vektor durch T gedreht und bei nochmaliger Anwendung von T auf den gerade gedrehten Vektor nicht mehr gedreht?
|
Nein
Ich hatte oben eine Beispielrechnung vorgeschlagen, die Sie entsprechend
erweitern könnten und ein Gegenbeispiel hätten. |
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 24. Jan 2025 17:39 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Gilt bei quanten-mechanischen Operatoren T ∈ (V ⊗ V*) im Kontext der Quanten-Mechanik folgendes: Wenn T (mindestens) einen Eigen-Vektor besitzt und w kein Eigen-Vektor von T ist, gilt dann immer:
Mit x als Kreuzprodukt. D.h. wird der Nicht-Eigen-Vektor durch T gedreht und bei nochmaliger Anwendung von T auf den gerade gedrehten Vektor nicht mehr gedreht?
|
Nein
Ich hatte oben eine Beispielrechnung vorgeschlagen, die Sie entsprechend
erweitern könnten und ein Gegenbeispiel hätten. |
Die von Ihnen angesprochene Eigenschaft würde für einen Projektionsoperator gelten. |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 24. Jan 2025 17:50 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Gilt bei quanten-mechanischen Operatoren T ∈ (V ⊗ V*) im Kontext der Quanten-Mechanik folgendes: Wenn T (mindestens) einen Eigen-Vektor besitzt und w kein Eigen-Vektor von T ist, gilt dann immer:
Mit x als Kreuzprodukt. D.h. wird der Nicht-Eigen-Vektor durch T gedreht und bei nochmaliger Anwendung von T auf den gerade gedrehten Vektor nicht mehr gedreht?
|
Nein
Ich hatte oben eine Beispielrechnung vorgeschlagen, die Sie entsprechend
erweitern könnten und ein Gegenbeispiel hätten. |
Die von Ihnen angesprochene Eigenschaft würde für einen Projektionsoperator gelten. |
Ja, stimmt. Danke.
Nette Grüsse
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 24. Jan 2025 20:41 Titel: |
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Folge-Beitrag:
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Die von Ihnen angesprochene Eigenschaft würde für einen Projektionsoperator gelten. |
Ist der Spin-Operator z.B. ein Projektions-Operator?
Ich schätze nicht(, obwohl meine ursprüngliche Frage darauf abzielte).
Nette Grüsse
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 24. Jan 2025 23:22 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Im folgenden betrachte ich selbstadjungierte Operatoren A, B … und deren orthonormierte Eigenvektoren. . |
Die Operatoren müssen zusätzlich kompakt sein. Selbstadjungierte Operatoren haben im Allgemeinen keine Eigenbasis. |
Stimmt.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 24. Jan 2025 23:26 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ist der Spin-Operator z.B. ein Projektions-Operator? |
Nein, ist er nicht. Was sind die charakteristischen Eigenschaften eines Projektions-Operators?
Allgemein: Vektorprodukte helfen hier nicht, weil sie ausschließlich in drei Dimensionen funktionieren.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 24. Jan 2025 23:28 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Folge-Beitrag:
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | Die von Ihnen angesprochene Eigenschaft würde für einen Projektionsoperator gelten. |
Ist der Spin-Operator z.B. ein Projektions-Operator?
|
das war mein Gegenbeispiel von oben....
| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Wenden Sie z.B. mal den Operator
auf den Vektor
an |
 wäre ein Projektor auf 
Das Bra  "frisst" Kets in Superpositionen von  und  nach den Regeln
|S_z^+\rangle=|S_z^+\rangle \langle S_z^+|S_z^+\rangle=|S_z^+\rangle)
|S_z^-\rangle=|S_z^+\rangle \langle S_z^+|S_z^-\rangle=0)
Zuletzt bearbeitet von Aruna am 25. Jan 2025 09:12, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 25. Jan 2025 08:59 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Ist der Spin-Operator z.B. ein Projektions-Operator?
Ich schätze nicht(, obwohl meine ursprüngliche Frage darauf abzielte).
|
War diese Frage eventuell durch das von Neumannsche Projektionspostulat motiviert? |
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 25. Jan 2025 11:28 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Ist der Spin-Operator z.B. ein Projektions-Operator?
Ich schätze nicht(, obwohl meine ursprüngliche Frage darauf abzielte).
|
War diese Frage eventuell durch das von Neumannsche Projektionspostulat motiviert? |
Nein.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 25. Jan 2025 11:29 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Ist der Spin-Operator z.B. ein Projektions-Operator? |
Nein, ist er nicht. |
Ok. Danke.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Allgemein: Vektorprodukte helfen hier nicht, weil sie ausschließlich in drei Dimensionen funktionieren. |
Ja, das habe ich mir dann auch gedacht.
Nette Grüsse
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 25. Jan 2025 14:57 Titel: |
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Na gut.
Vielen Dank an alle.
Nette Grüsse
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2025 13:15 Titel: |
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Eine Frage bezüglich des Spin-Operators:
Wenn man den Spin-Operator auf einen normierten Zustands-Vektor anwendet, dann ist die Norm des resultierenden Zustands-Vektors verkleinert, d.h. hat nicht mehr die Länge 1. Wird die gekürzte bzw. geringere Norm bzw. die damit verbundene geringere (Gesamt-)Wahrscheinlichkeit (von nun unter 100%) in irgendeiner Weise genutzt oder muss der resultierende Zustands-Vektor nach Anwenden des Spin-Operators wieder auf 1 normiert werden?
Nette Grüsse
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 26. Jan 2025 14:04 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Eine Frage bezüglich des Spin-Operators:
Wenn man den Spin-Operator auf einen normierten Zustands-Vektor anwendet, dann ist die Norm des resultierenden Zustands-Vektors verkleinert, d.h. hat nicht mehr die Länge 1.
|
Meinen Sie die Multiplikation mit dem Eigenwert  ?
z.B.:
|S_z^+\rangle=\frac{\hbar}{2}|S_z^+\rangle\ \ ?)
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
Wird die gekürzte bzw. geringere Norm bzw. die damit verbundene geringere (Gesamt-)Wahrscheinlichkeit (von nun unter 100%) in irgendeiner Weise genutzt
|
Die wird m.W. zur Berechnung von Messergebnissen benutzt:
Wenn man den Erwartungswert des Spinoperators in dem bestimmten Zustand ausrechnet erhält man den Eigenwert als Erwartungswert des Messwertes bei vielen Messungen:
Man misst ja nicht "1"
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand im Zustand ist, bleibt aber 1.
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: |
oder muss der resultierende Zustands-Vektor nach Anwenden des Spin-Operators wieder normiert werden?
|
das, sollten die Profis hier (z.B. @Corbi oder @TomS) erklären.
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MBastieK
Anmeldungsdatum: 06.10.2012
Beiträge: 1474
Wohnort: Berlin-Wedding
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| MBastieK Verfasst am: 26. Jan 2025 14:18 Titel: |
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Ich glaube ihre Antwort geht an meiner Frage vorbei. Ich werde es die Tage mal ausformulieren, es sei denn ich habe es (die nicht-unitäre Transformation) bis dahin verstanden.
Nette Grüsse
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 26. Jan 2025 15:21 Titel: |
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| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | Ich glaube ihre Antwort geht an meiner Frage vorbei.
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Sie fragten:
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man den Spin-Operator auf einen normierten Zustands-Vektor anwendet, dann ist die Norm des resultierenden Zustands-Vektors verkleinert, d.h. hat nicht mehr die Länge 1. |
und ich habe einen konkreten Spin-Operator auf einen konkreten normierten Zustandsvektor angewandt, mit dem Ergebnis, dass dieser mit dem Eigenwert des Zustandsvektors mulitpliziert und damit verkürzt war, sofern der Eigenwert <1.
Ansonsten weiß ich nicht, wie durch die Anwendung eines Spin-Operators auf einen Zustandsvektors dieser sonst verkürzt werden sollte. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 26. Jan 2025 19:19 Titel: |
|
|
| MBastieK hat Folgendes geschrieben: | | Wenn man den Spin-Operator auf einen normierten Zustands-Vektor anwendet, dann ist die Norm des resultierenden Zustands-Vektors verkleinert, d.h. hat nicht mehr die Länge 1. Wird die gekürzte bzw. geringere Norm bzw. die damit verbundene geringere (Gesamt-)Wahrscheinlichkeit (von nun unter 100%) in irgendeiner Weise genutzt oder muss der resultierende Zustands-Vektor nach Anwenden des Spin-Operators wieder auf 1 normiert werden? |
Das kommt darauf an.
Kein Physiker denkt, "ich möchte den Spin-Operator auf einen Zustandsvektor anwenden".
Man möchte
1. die Zeitentwicklung eines Systems berechnen,
2. den Erwartungswert für eine Messung bestimmen,
3. nach einer Messung auf den entsprechenden Eigenzustand projizieren
4. …
In jedem dieser Fälle kann ein Spin-Operator auf einen Zustandsvektor wirken, das bedeutet aber jedesmal etwas anderes, und man erhält unterschiedliche Antworten auf die Frage.
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|
Aruna_Gast
Gast
|
| Aruna_Gast Verfasst am: 27. Jan 2025 07:43 Titel: |
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|
| TomS hat Folgendes geschrieben: | [
Kein Physiker denkt, "ich möchte den Spin-Operator auf einen Zustandsvektor anwenden".
Man möchte
[...]
2. den Erwartungswert für eine Messung bestimmen,
3. nach einer Messung auf den entsprechenden Eigenzustand projizieren
[..]
In jedem dieser Fälle kann ein Spin-Operator auf einen Zustandsvektor wirken, das bedeutet aber jedesmal etwas anderes, und man erhält unterschiedliche Antworten auf die Frage. |
2. habe ich ja oben an einem Beispiel gezeigt.
Wenn man nun den S_x -Operator auf einen Z-Eigenzustand anwendet, dreht er diesen und multipliziert in mit dem Z+-Eigenwert.
Nach dem Projektionspostulat sollte der Zustand (bei einer Einzelmessung) aber auch in einem (3.) X-Eigenvektor überführt werden.
Wie ist das im Formalismus abgebildet, bei Verwendung von Spin-Operatoren?
Die Spinoperatoren sind ja die Summe der Projektoren auf die ihre Eigenvektoren multipliziert mit den jeweiligen Eigenwerten.
Werden die dann für 3.) geeignet kombiniert? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
|
| TomS Verfasst am: 27. Jan 2025 08:22 Titel: |
|
|
Betrachten wir ein Quantenobjekt in einem homogenen Magnetfeld in z-Richtung. Hamiltonian H sowie Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung lauten
\rangle = |\phi(t)\rangle \, e^{- i H_B t} \, |\chi_0\rangle)
Der räumliche Anteil phi interessiert uns erstmal nicht, der Spinor chi kann durch ein 2-Tupel dargestellt werden.
Mit
finden wir *
Der Spinor chi kann bzgl. jeder beliebigen Richtung dargestellt werden, am einfachsten ist natürlich die z-Richtung
Um den Anschluss herzustellen:
Jetzt kann man verschiedene Dinge tun …
1. Die Zeitentwicklung eines Systems berechnen – Lösen der Schrödingergleichung
Dies
\rangle = e^{i h \sigma_z t} \, |\chi_0\rangle)
d.h.
 \,( a_+ \, |+\rangle_z + a_- \, |-\rangle_z ))
kann man mittels der Regeln für die Pauli-Matrizen explizit berechnen *. Dabei muss natürlich unter anderem ein Spin-Operator d.h. die Pauli-Matrix auf den Spinor angewendet werden. Dies ist jedoch nur einer von mehreren Schritten, wobei die Zeitentwicklung insgesamt unitär ist, d.h. die e-Funktion eine unitäre SU(2)-Matrix liefert *. Damit bleibt der Spinor chi normiert *.
2a. Den Erwartungswert für eine Messung bestimmen
Um den Erwartungswert für die Messung des Spins in i-Richtung zu erhalten, berechnet man *
 | \, \frac{1}{2} \sigma_i \, |\chi(t)\rangle)
Dabei ist keine neue Normierung notwendig.
2b. Die Wahrscheinlichkeit für einen Messwert bestimmen – zusammen die Bornsche Regel
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Messung eines bestimmten Spinwertes bezüglich einer bestimmten Richtung i benötigt man die orthogonalen Projektoren
mit der Projektoreigenschaft *
sowie deren Erwartungswerte = der entsprechenden Wahrscheinlichen *
 = \langle \chi(t) | \, E_i^\pm \, |\chi(t)\rangle)
Diese Berechnung enthält eine Projektion, eine neue Normierung ist jedoch nicht notwendig.
3. Von Neumannschen Projektionspostulat
Nehmen wir an, wir haben für eine Messung in i-Richtung, den Spinwert s erhalten und möchten nun die Zeitentwicklung nach der Messung berechnen. Nach dem von Neumannschen Projektionspostulat (im Rahmen der orthodoxen Interpretation der Quantenmechanik) projizieren wir den Zustand zum Zeitpunkt t der Messung auf den Eigenraum zum erhaltenen Messwert s, normieren diesen neu *
\rangle \to |\chi(t)\rangle_{\text{proj}} = \frac{ E_i^s \, |\chi(t)\rangle }{ \sqrt{ \langle \chi(t) | \, E_i^s \, |\chi(t)\rangle } })
und berechnen davon ausgehend die weitere Zeitentwicklung für t' > t.
4. …
* sind sinnvolle Übungsaufgaben 😁
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 27. Jan 2025 11:41, insgesamt 11-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2025 09:30 Titel: |
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@Aruna –
ich verstehe deine Frage nicht
EDIT
Mittels der Projektoren
gilt
Das entspricht dem i-ten Spin-Operator, basisfrei.
Wegen
^2 = E_i^s)
hat der Projektor mit +1 und -1 auch die korrekten Eigenwerte.
Wird in k-Richtung gemessen, so werden bzgl. der k-Richtung Erwartungswerte berechnet und projiziert, auch wenn der Zustand bzgl. der i-Richtung dargestellt wird.
i = z, k beliebig
Projektion auf k:
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 27. Jan 2025 22:38 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | @Aruna –
ich verstehe deine Frage nicht
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Es ging mir darum, was ein Spin-Operator auf den Zustand des Systems nach einer einzelnen Messung aussagt.
Er liefert mir den Erwartungswert für viele Messungen, aber er selbst projiziert im allgemeinen nicht den Vektor, auf den er wirkt, auf einen Eigenwert von sich.
Beispiel von oben:
Das System ist in einem Zustand und ich führe eine Messung in x-Richtung durch.
Dazu stelle ich  in der z-Basis dar:
|S_z^+\rangle)
Ich erhalte:
Damit kann ich nun den Erwartungswert bilden:
Die Frage ist, hat
darüber hinaus eine Bedeutung?
Naiv könnte ich ja annehmen, dass durch die Messung (Anwendung des Spinoperators) der Zustand
in den Zustand
überführt wurde. Das stimmt aber nicht, da nach dem Projektionspostulat ein Eigenzustand von
vorliegen muss, der dann eine Superposition von
und | ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2025 06:00 Titel: |
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Was du sagst, ist alles richtig:
Zunächst verwendest du den Operator zur Berechnung des Erwartungswertes.
Die naive Annahme, er würde darüberhinaus etwas "tun", ist falsch.
Stattdessen muss auf einen der beiden Eigenzustände des Operators projiziert werden; welcher das ist, verrät und aber erst die Messung.
| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | Die Frage ist, hat
darüber hinaus eine Bedeutung? |
Nein.
Im Zuge der Messung ist das nur ein Zwischenergebnis.
Bei der Gelegenheit darf man wieder mal darauf hinweisen, dass diese orthodoxe Lehrbuchdarstellung sich aus diversen Gründen unvollständig anfühlt, und aus verschiedenen Perspektiven kritisiert wird.
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 29. Jan 2025 06:59 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Bei der Gelegenheit darf man wieder mal darauf hinweisen, dass diese orthodoxe Lehrbuchdarstellung sich aus diversen Gründen unvollständig anfühlt, und aus verschiedenen Perspektiven kritisiert wird. |
Z.B.? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2025 09:25 Titel: |
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Messgerät und Umgebung sind makroskopische Systeme, die den Gesetzen der Quantenmechanik gehorchen, jedoch ignoriert werden.
Generell sind die Quantenobjekte idealisierte Entitäten, die tatsächlichen Gegebenheiten in einem Detektor dagegen kollektive Phänomene aller beteiligten Freiheitsgrade.
Von Neumann führt Zeigerzustände wie |zeigt Spin-up〉ein, obwohl es sich natürlich um eine Klasse von Zuständen handelt, also einen unendlich-dimensionalen Teilraum, nicht um exakt einen eindimensionalen Zustand.
Man tut so, als ob der Spin eine Messgröße wäre; praktisch liegt bei Stern-Gerlach u.v.a.m. aber eine (unscharfe) Ortsmessung vor.
Im Falle von Photonen soll auf den Eigenraum des Messergebnisses projiziert werden, also z.B. auf |Polarisation-links 〉: Wurde ein Photon registriert, ist es aber weg (!) und hat keine Polarisation mehr, man müsste also auf |kein Photon〉projizieren – was natürlich Käse ist. Wurde es nicht registriert, jedoch sein verschränkter Partner, kennt man darüber indirekt die Polarisation und projiziert darauf – obwohl am überlebenden Photon gerade nichts (!) gemessen wurde.
…
Es funktioniert halt irgendwie im Sinne von "shut up a calculate". Darüberhinaus existierten zwar diverse Ansätze, aber einen konsistenten Eingang in Lehrbücher haben die wenigsten gefunden.
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MBastieK
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