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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1022
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 Frankx Verfasst am: 12. Nov 2024 08:49 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Frankx hat Folgendes geschrieben: | | Was unterscheidet den (heutigen) Platoniker von Menschen, die hinter der empirisch erfahrbaren Realität göttliches Wirken sehen? |
Dass er zwei andere Werkzeuge anwendet, nämlich eine empirisch-kritische Praxis sowie Mathematik |
Das haben die Scholastiker bei ihren "Gottesbeweisen" auch getan.
Du verwendest so ziemlich die gleichen Argumente, Methoden und Begriffe wie sie damals.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 12. Nov 2024 08:59 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Irgendwie scheinen sämtliche Links, die ich hier reinschreibe, nicht zu funktionieren; oder ihr traut euch nicht, draufzuklicken 🙃 Jedenfalls irritiert es mich schon, dass noch keine einzige Meinung eines Vertreters dieser Denkrichtung hier zitiert und kritisiert wurde. |
Im Ernst?
In Diskussionsforen diskutiert man halt eher mit den Anwesenden, als mit nicht anwesenden Autoren. |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1022
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| Frankx Verfasst am: 12. Nov 2024 09:01 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Diese Fragestellung hat doch aber gar nichts mit dem hier besprochenen Thema zu tun. Ich glaube nicht, dass es jemals möglich sein wird, dieses "das was gespürt wird und irgendwie da sein muss" mittels der Physik oder der Mathematik nur ansatzweise zu fassen. Dieses Gefühl ist m.E. eine absolut subjektive Erfahrung und nicht auf das aus wissenschaftliche Sicht beobachtbare Universum bezogen. |
Und doch deckt sich da genau die Argumentation der Platonisten mit der der Gottesgläubigen:
Es kann doch kein Zufall sein, dass ....
Da muss etwas anderes, verborgenes (mathematische Entität, Gott) dahinter stecken!
Und diesem "anderes, verborgenes" wird schwupps eine reale Existenz zugemessen.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 12. Nov 2024 09:10 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: |
Den mathematischen Strukturen hinter dieser Realität eine eigene Realität zuzuordnen ist so ziemlich das gleiche, wie hinter jedem Ding das Wirken Gottes zu sehen.
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Tatsächlich hatte ich mal den Gedanken, wenn man bei der Mathematik die Zeichen wegließe, wäre das Gott.
(dahinter steckt allerdings ein anderer Gottesbegriff, als derjenige der Amtskirchen). |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1022
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| Frankx Verfasst am: 12. Nov 2024 09:31 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Tatsächlich hatte ich mal den Gedanken, wenn man bei der Mathematik die Zeichen wegließe, wäre das Gott. |
Ich habe nichts gegen irgendeinen Gottesglauben, solange es Privatsache bleibt und niemanden anderes schadet.
Ich finde nur die Parallelen der Platonisten zu den Gottesgläubigen frappierend.
Zum Schluss kommt dann bei beiden immer das Totschlagargument: Wir können es nicht beweisen (die Existenz...) und ihr könnt uns nicht das Gegenteil beweisen.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 12. Nov 2024 09:34 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: |
Und doch deckt sich da genau die Argumentation der Platonisten mit der der Gottesgläubigen:
Es kann doch kein Zufall sein, dass ....
Da muss etwas anderes, verborgenes (mathematische Entität, Gott) dahinter stecken!
Und diesem "anderes, verborgenes" wird schwupps eine reale Existenz zugemessen. |
Da ist nix was geheimnisvoll im verborgenen existiert. Wenn wir die Welt da draußen anschauen, so blicken wir auf die mathematische Struktur, nur können wir diese eben nicht direkt mit unseren Sinnen erkennen aber dennoch kann sich unser Verstand dem annähern. Das ist etwas völlig anderes, wie eine "höhere Macht" für "das alles" verantwortlich zu machen.
Es geht darum die Schatten in der Höhle den wahren Entitäten zuzuordnen und dazu muss die Höhle eingerissen werden.
Ich hatte schon mal geschrieben, dass ich Agnostiker bin, gerade auch weil ich "dieses Gefühl, da gibt's noch mehr" auch teile, dieses aber nicht auf das wissenschaftlich beobachtbare Universum beziehe. Ich kann und will mich auch nicht festlegen, was dieses "da gibt's noch mehr" sein könnte. Ich nenne es einfach "das unaussprechliche".
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 12. Nov 2024 09:44 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: |
Zum Schluss kommt dann bei beiden immer das Totschlagargument: Wir können es nicht beweisen (die Existenz...) und ihr könnt uns nicht das Gegenteil beweisen. |
Es sind doch zweifelsohne mathematische Strukturen "da draußen" vorhanden. Diese können untersucht, definiert, verallgemeinert, verworfen und neu entdeckt werden. Über Gott kann aber ausschließlich, ohne Bezug zur Wirklichkeit da draußen, philosophiert werden. Der Unterschied ist doch ganz klar ersichtlich oder nicht?!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2024 09:47 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | im zweiten Fall verweist die Ortsdarstellung nach meiner Meinung auf eine essentielle ontologische Gegebenheit, obwohl uns die Mathematik der Quantenmechanik hier eine exakte Äquivalenz aller Darstellungen liefert. |
Das Wesen der Mathematik ist doch, dass sie abstrahiert und verallgemeinert.
Warum sollte sie dann den Spezialfall "Ortsdarstellung" vor anderen Möglichkeiten bevorzugen, so doch "Ort" in der rein mathematischen Betrachtung gar keine besondere Bedeutung hat, sondern auch "Bierseidel", oder "Schnickedu" heißen könnte? |
Meine Erfahrung und mein Leben finden im Ortsraum statt, nicht im Impulsraum. Die Quantenmechanik erklärt das natürlich nicht, das habe ich oben ja selbst gesagt. Das stellt offensichtlich eine Verständnislücke dar. Theorien wie die ART erklären ist auch nicht, sie setzen es als gegeben voraus.
Ich ergänze mal meine Fragenliste.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2024 09:49 Titel: |
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Frank, lies bitte nochmal meinen Beitrag; ich habe ihn deutlich erweitert. Die Parallele mit dem Glauben an einen Gott ist mir zu billig.
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1022
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| Frankx Verfasst am: 12. Nov 2024 09:55 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Es sind doch zweifelsohne mathematische Strukturen "da draußen" vorhanden. |
So zweifelsohne ist das eben nicht der Fall und mit "vorhanden" setzt du eine vom Menschen unabhängige Existenz einfach vorraus.
Das ist doch aber die Frage, die wir hier diskutieren.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Über Gott kann aber ausschließlich, ohne Bezug zur Wirklichkeit da draußen, philosophiert werden. Der Unterschied ist doch ganz klar ersichtlich oder nicht? |
Nein, der Unterschied ist nicht offensichtlich. Für viele Menschen ist dagegen Gottes Existenz vollig selbstverständlich und offensichtlich und sie beziehen diese Gewissheit ebenfalls aus der erfahrbaren Wirklichkeit.
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1022
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| Frankx Verfasst am: 12. Nov 2024 09:56 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Frank, lies bitte nochmal meinen Beitrag; ich habe ihn deutlich erweitert. Die Parallele mit dem Glauben an einen Gott ist mir zu billig. |
Ich werde das bei Gelegenheit tun, muss mich hier aber vorerst ausklinken. Die Arbeit ruft.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2024 10:06 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: | | Nein, der Unterschied ist nicht offensichtlich. Für viele Menschen ist dagegen Gottes Existenz vollig selbstverständlich und offensichtlich und sie beziehen diese Gewissheit ebenfalls aus der erfahrbaren Wirklichkeit. |
Doch, der Unterschied ist offensichtlich. Sie erhalten aus dem Glauben an Gott keine quantitativen Vorhersagen zu präzise überprüfbaren empirischen Daten.
Das ist beim "Glauben a die mathematischen Strukturen" anders. Die Entdeckung des tau-Leptons bedeutete für alle Physiker aus Gründen der Anomalienfreiheit d.h. mathematischer Konsistenz unmittelbar und zwingend den Glauben an eine vollständige dritte Fermionen-Generation mit exakt bekannten Werten für Spin und andere Quantenzahlen. Es konnte nur so sein, und so wurde es auch bestätigt.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 12. Nov 2024 10:15, insgesamt einmal bearbeitet |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 12. Nov 2024 10:07 Titel: |
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| Frankx hat Folgendes geschrieben: | So zweifelsohne ist das eben nicht der Fall und mit "vorhanden" setzt du eine vom Menschen unabhängige Existenz einfach vorraus.
Das ist doch aber die Frage, die wir hier diskutieren. |
Natürlich setze ich das voraus oder hat nichts existiert, bevor sich die Menschheit entwickelte?
| Zitat: | | Nein, der Unterschied ist nicht offensichtlich. Für viele Menschen ist dagegen Gottes Existenz vollig selbstverständlich und offensichtlich und sie beziehen diese Gewissheit ebenfalls aus der erfahrbaren Wirklichkeit. |
Wir sind hier (in der Diskussion) aber nicht viele Menschen und zu Gott wird sich hier eindeutig positioniert...nämlich dass dieser in der Diskussion nix verloren hat. Das Oma Lieschen an Gott, Buddha, Allah oder sonst wen glaubt und diesen ggf. eine real existierende Entität zuschreibt, ist ihr gutes recht aber das hat rein gar nichts mit dem hier besprochen zu tun.
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Zuletzt bearbeitet von antaris am 12. Nov 2024 10:12, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Sonnenwind
Anmeldungsdatum: 25.04.2022
Beiträge: 906
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| Sonnenwind Verfasst am: 12. Nov 2024 10:10 Titel: |
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Ist schon mal jemandem aufgefallen, dass auch die Mathematik empirisch ist?
Warum ist 1 + 1 = 2 ? Weil ein Stein auf dem Tisch und noch ein Stein zwei Steine auf dem Tisch sind.
Bei Schwarzen Löchern ist aber 1 + 1 auch mal 1 (bei Verschmelzung).
Und bei Mann und Frau kann 1 + 1 auch mal 3 sein. 
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Das Photon: Eine Geschichte voller Missverständnisse. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 12. Nov 2024 11:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Frankx hat Folgendes geschrieben: | | Nein, der Unterschied ist nicht offensichtlich. Für viele Menschen ist dagegen Gottes Existenz vollig selbstverständlich und offensichtlich und sie beziehen diese Gewissheit ebenfalls aus der erfahrbaren Wirklichkeit. |
Doch, der Unterschied ist offensichtlich. Sie erhalten aus dem Glauben an Gott keine quantitativen Vorhersagen zu präzise überprüfbaren empirischen Daten.
Das ist beim "Glauben a die mathematischen Strukturen" anders. Die Entdeckung des tau-Leptons bedeutete für alle Physiker aus Gründen der Anomalienfreiheit d.h. mathematischer Konsistenz unmittelbar und zwingend den Glauben an eine vollständige dritte Fermionen-Generation mit exakt bekannten Werten für Spin und andere Quantenzahlen. Es konnte nur so sein, und so wurde es auch bestätigt. |
Dein Vergleich passt so nicht. Frankx vergleicht nämlich die "unabhängige Existenz mathematischer Objekte" mit "Gott".
Ich erhalte rein aus der unabhängigen Existenz der Mathematik aber sicher auch keine empirischen Vorhersagen.
Ich finde den Gottesvergleich nicht schlecht. Aus dem Erfolg der mathematischen Methoden in der theoretischen Physik lässt sich sicher keine unabhängige Existenz mathematischer Objekte ableiten. Es könnte einem höchstens "seltsam" anmuten, dass sich diese Objekte so gut in der Physik anwenden lassen, wenn sie nicht schon irgendwie in der Welt vorhanden wären. Genau so wie es einem seltsam anmuten kann, dass diese Welt mit ihren perfekten Bedingungen für bewusste Lebewesen ohne einen schöpferischen Plan entstanden sein soll.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 12. Nov 2024 12:30 Titel: |
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| Manuel_91 hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Ich finde den Gottesvergleich nicht schlecht. Aus dem Erfolg der mathematischen Methoden in der theoretischen Physik lässt sich sicher keine unabhängige Existenz mathematischer Objekte ableiten. |
Ihr versteht das einfach nicht. Es wird doch hier niemand glauben, dass Tom kognitiv nicht dazu in der Lage ist das selber zu kapieren. Aber gegen einen Glauben kann man nicht mit Argumenten ankommen:
"Glaube heißt Nicht-wissen-wollen, was wahr ist." Nietzsche
Ihr könnt auch nicht von einem Christen erwarten, dass er eine kritische Distanz zur Bibel hat. Ich renne in dieses "Messer" auch immer wieder rein. |
Naja ich würde die Platonisten zumindest gerne davon überzeugen, dass ihre Ansicht überhaupt reiner Glaube ist (was sie ja bis jetzt bestreiten). Den Platonismus selbst möchte ich niemandem austreiben.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 12. Nov 2024 13:36 Titel: |
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| Manuel_91 hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Welche? |
Ich werde dazu nichts hier weiter öffentlich schreiben, das ist wie gesagt eine Sache für Anwälte. Meine persönliche Meinung (bin kein Jurist) ist eben eine solche.
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Soll das heißen, dass Ihr Angebot von vor 90 Minuten das friedlich aus dem Weg zu räumen nun nicht mehr gilt?
Das ist ja eine ziemlich ernsthafte Anschuldigung, die sie hier öffentlich geäußert haben.
Da wüsste ich doch zum Beispiel, ob das einen meiner Beiträge betrifft,
denn dann wäre ich ja der von Ihren Anwälten angezeigten und könnte auf die Boardleitung einwirken, mir die Möglichkeit zu geben, die betreffende Passage aus meinem Beiträgen zu entfernen.
Das gleiche gilt für alle anderen beteiligten User. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2024 15:24 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Frankx hat Folgendes geschrieben: | | Nein, der Unterschied ist nicht offensichtlich. Für viele Menschen ist dagegen Gottes Existenz vollig selbstverständlich und offensichtlich und sie beziehen diese Gewissheit ebenfalls aus der erfahrbaren Wirklichkeit. |
Doch, der Unterschied ist offensichtlich. Sie erhalten aus dem Glauben an Gott keine quantitativen Vorhersagen zu präzise überprüfbaren empirischen Daten.
Das ist beim "Glauben a die mathematischen Strukturen" anders. Die Entdeckung des tau-Leptons bedeutete für alle Physiker aus Gründen der Anomalienfreiheit d.h. mathematischer Konsistenz unmittelbar und zwingend den Glauben an eine vollständige dritte Fermionen-Generation mit exakt bekannten Werten für Spin und andere Quantenzahlen. Es konnte nur so sein, und so wurde es auch bestätigt. |
Dein Vergleich passt so nicht. Frankx vergleicht nämlich die "unabhängige Existenz mathematischer Objekte" mit "Gott".
Ich erhalte rein aus der unabhängigen Existenz der Mathematik aber sicher auch keine empirischen Vorhersagen. |
Ich habe die Diskussion auf physikalische Entitäten bezogen, die im wesentlichen identisch / äquivalent zu / isomorph zu / ... mathematischen Identitäten sind; mein Beispiel zu den Leptonen war kein rein mathematisches sondern ein physikalisches Beispiel. Vorher war explizit vom Gravitationsgesetz die Rede. Auch das no-miracle Argument und meine lange Begründung bezieht sich eindeutig auf die Physik.
Die philosophische Frage bzgl. der Mathematik, ob diese bzw. deren mathematische Entitäten eine von der Physik unabhängige Existenz haben, und was das bedeutet, ist nochmal eine andere Frage. Darauf habe ich mich hier nicht bezogen, das sollte auch anhand meines letzten langen Beitrages klar sein.
Evtl. ein Missverständnis.
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Aus dem Erfolg der mathematischen Methoden in der theoretischen Physik lässt sich sicher keine unabhängige Existenz mathematischer Objekte ableiten. |
Das habe ich auch nicht getan,. Mathematiker, die die unabhängige und ewige Existenz mathematischer Entitäten postulieren, tun dies als Mathematiker und damit üblicherweise ohne Bezug zur Physik.
Die SU(2)-Spin und SU(3)-Color existiert sicher in irgendeinem mathematischen Sinn (egal, welchen Existenzbegriff wir verwenden), und sie existiert in einem physikalischen Sinn (das ist etwas anderes). Die SU(17) existiert im selben mathematischen Sinn wie die SU(2) und SU(3), aber wohl in keiner Weise physikalischen (ok, wir könnten sie nur noch nicht entdeckt haben).
Die ontologische Sicht auf die Physik und deren mathematischen Gehalt ist m.E. (Tegmark sieht das anders) ziemlich unabhängig von der Frage, was mathematische Existenz genau bedeutet.
Nochmal explizit:
| Zitat: | Objective mathematical notions must be thought of as timeless entities and are not to be regarded as being conjured into existence at the moment that they are first humanly perceived.
Sir Roger Penrose: The Road to Reality |
Das war die Sichtweise eines Platonikers in der Mathematik, die ich durchaus teile, die aus meiner Sicht jedoch keine notwendige Voraussetzung für die Diskussion zur Ontologie Physik darstellt.
So, hoffe, das Missverständnis ist damit geklärt, niemand kann alle Beiträge lesen, und die Diskussion bzgl. der reinen Mathematik war hier zwar unnötig aber leider nicht zu verhindern.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 12. Nov 2024 15:28, insgesamt einmal bearbeitet |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1022
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| Frankx Verfasst am: 12. Nov 2024 15:27 Titel: |
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zurück zum Thema:
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Ich erhalte rein aus der unabhängigen Existenz der Mathematik aber sicher auch keine empirischen Vorhersagen. |
Korrekt.
Empirische Vorhersagen sind ansonsten in beiden Denkrichtungen gleichermaße möglich.
Wenn man dann noch Ockham hinzu nimmt und kann auf die Vorgabe "Existenz von mathematischen Entitäten" verzichten, dann sollte die Sache klar sein.
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Zuletzt bearbeitet von Frankx am 12. Nov 2024 16:02, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2024 15:55 Titel: |
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Hat sich das Missverständnis nach meinem letzten Beitrag geklärt? |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 12. Nov 2024 20:33 Titel: |
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Was ist mit imaginären Zahlen?
| Zitat: | Der Begriff der imaginären Zahl wurde 1637 von René Descartes eingeführt. Dieser Ausdruck war der (heute nicht mehr aktuellen) Anschauung geschuldet, nach der es sich bei den imaginären Zahlen nicht um tatsächlich existierende, sondern um "eingebildete", also imaginäre Zahlen handelt. Leibniz griff diese Auffassung auf und ergänzte sie um eine theologische Komponente, indem er die komplexen Zahlen als “eine wunderbare Zuflucht des göttlichen Geistes –beinahe ein[en] Zwitter zwischen Sein und Nicht-Sein” bezeichnete.
https://www.mathematik.de/dmv-blog/2451-270-jahre-eulersche-identit%C3%A4t-eine-kurze-geschichte-der-komplexen-zahlen
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Aus der Physik sind die ja nicht mehr wegzudenken (kann man die QM ohne formulieren?), aber in Messergebnissen kommen die ja nicht vor, oder?
Edit:
veritassium schreib hier in der Videoüberschrift, die wurden "erfunden" (um unlösbare Gleichungen zu lösen), am Ende sagt er aber:
"imaginary numbers, discovered as a quirky intermediate step, on the way to solving a cubic, turn out to be fundamental to our description of reality. "
https://www.youtube.com/watch?v=cUzklzVXJwo
Zuletzt bearbeitet von Aruna am 12. Nov 2024 21:15, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 12. Nov 2024 20:52 Titel: |
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@TomS:
wolltest Du nicht noch hierzu was schreiben?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich wollte im Falle der Quantenmechanik und der klassischen = makroskopischer Welt eigtl. nur darauf hinaus, dass wir heute nicht wirklich verstehen, warum letztere deterministisch scheint, obwohl erstere das nicht ist, oder nur um Sinne der vielen Welten ist.
Das Messproblem hatte ich aber gar nicht wirklich im Sinn, mir geht es um diesen Gegensatz. Ich schreibe morgen was dazu. |
mir sind schon in Diskussionen einige populärwissenschaftlich gebildete Menschen begegnet, für die das überhaupt kein Problem darstellt, die meinen regelmäßig, dass sich die Stochastik halt rausmittele und daher in der makroskopischen Welt keine Rolle spiele |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 12. Nov 2024 21:57 Titel: |
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Ich habe noch nicht weiter darüber nachgedacht.
Betrachten wir ein Ensemble von Experimenten mit radioaktiven Präparaten und Schrödingers Katzen. Je Katze mittelt sich die Stochastik sicher nicht heraus, und über das gesamte Ensemble von Katzen wird exakt die Zerfallswahrscheinlichkeit der radioaktiven Präparate nachgebildet.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 13. Nov 2024 10:18 Titel: |
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Ich wollte mal folgenden Beitrag hervorkramen und ergänzen:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Damit wir uns hier nicht im Kreis drehen ein paar grundsätzliche Warum-Fragen.
Warum ist die Welt d.h. die Raumzeit (zumindest näherungsweise bzw. auf gewissen Längenskalen) gerade 4-dimensional*, und warum liegt eine lokale Lorentz-Invarianz vor, d.h. warum ist die relevante Kausalstruktur gerade durch die Lorentz-Gruppe definiert? Handelt es sich bei der Raumzeit um eine emergente Struktur? *
Ergänzend: die Quantenmechanik lässt unendlich viele unitär äquivalente Darstellung zu. Die Quantenmechanik alleine zeichnet demnach die Ortsdarstellung nicht aus. Aber warum nehmen wir die Welt dann gerade im Ortsraum wahr, nicht im Impulsraum oder irgendeinem anderen Raum?
* wobei ggf. unterschiedliche Dimensionsbegriffe betrachtet werden müssen
Warum sind wir nicht in der Lage, die Physik vollständig mittels invarianter Größen zu beschrieben, sondern müssen stattdessen künstlich Koordinaten auf Mannigfaltigkeiten, Faserbündel und Eichfreiheitsgrade etc. einführen, die jedoch unphysikalisch sind und wieder eliminiert werden müssen?
Gibt es einen tieferen Zusammenhang* zwischen äußeren und inneren Symmetrien? Welche Rolle spielt die Chiralität?
* Supergravitation und Superstrings sind die einzigen bekannten Beispiel.
Wir kennen zwei Arten von Dynamiken, deterministische (Newton, Navier-Stokes, Maxwell, Einstein, Schrödinger ...) sowie stochastische (Brownsche Bewegung*, deterministisches Chaos*, von Neumannsches Projektionspostulat und Bornsche Regel). Sind Dynamiken denkbar, die weder deterministisch noch stochastisch sind, bzw. die eine allgemeinere Klasse darstellen, in der die beiden bekannten Arten enthalten sind?
* erscheinen nur stochastisch, sind jedoch fundamental deterministisch
Existiert in der Mathematik ein Netz noch unbekannter Dualitäten?
Warum diese Fragen? Kann ich schlecht sagen, es ist ein Bauchgefühl.
Der erste Fragenkomplex treibt mich um, seit ich verstanden habe, dass 4-dim. Mannigfaltigkeiten tatsächlich einige Eigenschaften haben, die in keiner anderen Dimension so vorliegen. Gleichzeit wurde dies zwar untersucht, jedoch kein Zusammenhang zur Physik gefunden. Die Frage nach der Kausalstruktur scheint mir ziemlich fundamental zu sein; mathematisch wären auch Theorien mit mehr als einer Zeitrichtung oder vollständig ohne Zeit denkbar.
Die Frage stelle ich mir seit dem Studium. Zunächst hatte ich über den Ansatz Heisenbergs nachgedacht, in eine Theorie nur beobachtbare Größen aufzunehmen; das ist ja grotesk gescheitert. Dann wird in der QM und in der SRT/ART darauf herumgeritten, dass wir im Falle von Observablen immer über invariante Größen reden. Man startet mit einer invarianten Wirkung S, aber dann führt man haufenweise nicht-invariante Größen ein, Koordinaten etc., weil man ohne diese nichts (!) ausrechnen kann; in Eichtheorien wird es eigentlich nur noch schlimmer. Gibt es evtl. völlig andere Formulierungen, die uns den Gefallen tun, invariant, einfacher und dennoch lösbar zu sein?
In quantisierten Eichtheorien stellt sich heraus, dass abhängig von i) der Dimension der Raumzeit, ii) der Eichgruppe und iii) globalen Symmetrien wie Flavor u.ä. Anomalien auftreten können, die die lokale Eichinvarianz zerstören, wodurch die Theorie inkonsistent wird. Dies führt zu sehr speziellen Bedingungen an die Symmetrien, die Felder bzw. Multiplets und die Kopplungskonstanten. Ich werde den Verdacht nicht los, dass dahinter ein tieferes Prinzip steckt (aber bitte nicht SUGRA Und Strings).
Die Frage nach den Dynamiken kam mir kürzlich in den Sinn, im Zusammenhang mit dem Messproblem der Quantenmechanik. Es geht mir noch gar nicht mal um eine konkrete mathematische Formulierung, sondern um die Frage, ob überhaupt etwas anderes denkbar ist. Gibt es etwas, dass nicht entweder deterministisch oder stochastisch ist? Etwas dazwischen? Ganz anders?
Die Frage ist im Rahmen dieses Threads entstanden. Möglicherweise sind die mathematischen Strukturen, die wir diskutieren und in der Physik anwenden, gar nicht so verschieden, wie dies auf den ersten Blick scheint. Das bekannteste Beispiel in der Mathematik dürfte das Wiles-Theorem sein, das völlig verschiedene Bereiche der Mathematik verknüpft. In der Physik wären Ideen wie das holographische Prinzip, gauge/gravity-duality, das Amplituhedron, Twistors und derartiges zu nennen. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 13. Nov 2024 11:58 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich habe noch nicht weiter darüber nachgedacht.
Betrachten wir ein Ensemble von Experimenten mit radioaktiven Präparaten und Schrödingers Katzen. Je Katze mittelt sich die Stochastik sicher nicht heraus, und über das gesamte Ensemble von Katzen wird exakt die Zerfallswahrscheinlichkeit der radioaktiven Präparate nachgebildet. |
hast Du schon mal was von "Quantum cognition" gehört?
Ist das ernst zu nehmen?
| Zitat: | The quantum cognition concept is based on the observation that various cognitive phenomena are more adequately described by quantum probability theory than by the classical probability theory (see examples below). Thus, the quantum formalism is considered an operational formalism that describes non-classical processing of probabilistic data.
https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_cognition
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 13. Nov 2024 12:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich wollte mal folgenden Beitrag hervorkramen und ergänzen:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ergänzend: die Quantenmechanik lässt unendlich viele unitär äquivalente Darstellung zu. Die Quantenmechanik alleine zeichnet demnach die Ortsdarstellung nicht aus. Aber warum nehmen wir die Welt dann gerade im Ortsraum wahr, nicht im Impulsraum oder irgendeinem anderen Raum?
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Wenn ich Kant richtig verstanden habe, dann sind laut ihm Raum und Zeit a-priori-Vorbedingungen des menschlichen Denkens.
Da habe ich mich gefragt, ob ein neuronales Netzwerk, das nie die sinnliche Erfahrung von Raum gemacht hat, vielleicht auch Vorstellungen ohne Raum haben kann.
Z.B. nur in Tönen.
In einem Buch beschreibt Oliver Sacks nach meiner Erinnerung den Fall eines Menschen, der nach langer Blindheit (erstmalig?) sehen kann, und dass er es nur schwer oder gar nicht schaffte, das uns gewohnte räumliche Sehen zu erlangen, also die entsprechende Darstellung im Gehirn.
Naja, wir haben wohl keine unmittelbaren Sinne für Impuls, nicht mal für Geschwindigkeit, wie(so) sollte/könnte unser Denken im Impulsraum stattfinden? |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 13. Nov 2024 13:51 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Hat sich das Missverständnis nach meinem letzten Beitrag geklärt? |
für mich ja.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 13. Nov 2024 15:07 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | hast Du schon mal was von "Quantum cognition" gehört?
Ist das ernst zu nehmen? |
Ersteres nein.
Letzteres ist ok, denn es heißt ja explizit, das würde nur zur Modellierung verwendet, es setze nichts bzgl. mikroskopischer Quantenprozessen im Gehirn voraus. Ich glaube sowieso nicht, dass unser Denken präzisen, festen mathematischen Modellen folgt, wenn wir nicht gerade mathematisch denken wollen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 13. Nov 2024 15:35 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich wollte mal folgenden Beitrag hervorkramen und ergänzen:
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ergänzend: die Quantenmechanik lässt unendlich viele unitär äquivalente Darstellung zu. Die Quantenmechanik alleine zeichnet demnach die Ortsdarstellung nicht aus. Aber warum nehmen wir die Welt dann gerade im Ortsraum wahr, nicht im Impulsraum oder irgendeinem anderen Raum?
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Wenn ich Kant richtig verstanden habe, dann sind laut ihm Raum und Zeit a-priori-Vorbedingungen des menschlichen Denkens. |
Egal wie man es nennt, sie sind m.E. nicht unabhängig vom uns umgebenden Raum. Wir erlernen räumliches Sehen, Orientierung und Vorstellungsvermögen im Zuge der Erforschung der Umgebung und der Verarbeitung der Sinneseindrücke von Auge und Körper. Ohne diese Aktorik und Sensorik entstünde all das nicht.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Naja, wir haben wohl keine unmittelbaren Sinne für Impuls, nicht mal für Geschwindigkeit, wie(so) sollte/könnte unser Denken im Impulsraum stattfinden? |
Wir haben diese Sinne nicht, weil sie nicht evolutionären entstanden sind. Und sie sind nicht evolutionär entstanden, weil – meiner Meinung nach – eine gewisse Auszeichnung des Ortsraumes tatsächlich existiert, und dessen Wahrnehmung einen Vorteil darstellt. Das erkennt man insbesondere an der Mathematik der allgemeinen Relativitätstheorie, für die der Fourier-Raum keine Rolle spielt; wenn schon, dann eventuell der abstrakte Twistor-Raum.
Betrachten wir ausschließlich die Quantenmechanik, so sind jedoch alle Darstellungen derselben vollständig äquivalent; die Quantenmechanik zeichnet keine Darstellung aus. Die ART tut dies, sie erklärt jedoch nicht warum, die Riemannsche Geometrie passt eben irgendwie, ohne dass wir einen Grund dafür kennen.
Ich muss noch etwas nachdenken, die Fragen sind keine rhetorischen Fragen, zu denen ich schon die Antworten parat hätte.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 13. Nov 2024 17:08 Titel: |
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Ich denke die Frage "Warum leben wir im Ortsraum und nicht im Impulsraum?" ist ziemlich sinnlos. Beziehungsweise ist es mir vollkommen unklar was diese Frage bedeuten soll.
Eigentlich meint man damit doch nur unitär äquivalente Darstellungen von Hilbertraumoperatoren. Ist der Ortsraum jetzt der Hilbertraum L^2(R^3) oder R^3 oder die "Darstellung" des Ortsoperators als Multiplikationsoperator?
Sowohl wenn ich den Ortsoperator als Multiplikationsoperator oder als Differentialoperator darstelle (was typischerweise als Impulsraumdarstellung bezeichnet wird) , ist der zugrundeliegende Hilbertraum L^2(R^3) über dem Maßraum R^3.
Was meint die Aussage "wir leben im Ortsraum" also überhaupt? Denn auch in der Impulsdarstellung der Operatoren ist der zugrundeliegende Raum der R^3.
Es scheint mir als würde dieser Frage die Annahme zugrunde liegen es gäbe einen "Impuls-R^3" und einen "Orts-R^3", was aber absolut keinen Gehalt hat.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 13. Nov 2024 18:12 Titel: |
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Das Wort "Impulsraum" ist letztendlich einfach nur irreführend, weil es suggeriert es gäbe da noch irgendeinen anderen Raum in dem sich Impulse aufhalten.
Sowohl in der QM als auch in der RT haben wir eine zugrundeliegende Mannigfaltigkeit. In der QM wählen wir diese Mannigfaltigkeit meistens einfach als R^3.
In der QM betrachten wir dann Operatoren auf dem L^2 Raum über dieser Mannigfaltigkeit und diese Operatoren haben verschiedene äquivalente Darstellungen. Eine Darstellung davon nennen wir dann die Impulsdarstellung, weil in ihr der Impulsoperator diagonal ist.
Doch daraus nun abzuleiten es gäbe da einen "Impulsraum" in dem wir ebenfalls Leben könnten ergibt keinen Sinn.
Es wäre daher sinnvoll nur von der "Impulsdarstellung" von Operatoren zu sprechen.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 162
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| Jakito Verfasst am: 13. Nov 2024 19:03 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Das Wort "Impulsraum" ist letztendlich einfach nur irreführend, weil es suggeriert es gäbe da noch irgendeinen anderen Raum in dem sich Impulse aufhalten.
Sowohl in der QM als auch in der RT haben wir eine zugrundeliegende Mannigfaltigkeit. In der QM wählen wir diese Mannigfaltigkeit meistens einfach als R^3.
In der QM betrachten wir dann Operatoren auf dem L^2 Raum über dieser Mannigfaltigkeit und diese Operatoren haben verschiedene äquivalente Darstellungen. Eine Darstellung davon nennen wir dann die Impulsdarstellung, weil in ihr der Impulsoperator diagonal ist.
Doch daraus nun abzuleiten es gäbe da einen "Impulsraum" in dem wir ebenfalls Leben könnten ergibt keinen Sinn.
Es wäre daher sinnvoll nur von der "Impulsdarstellung" von Operatoren zu sprechen. |
Mag sein, aber Werner Heisenberg und Wolfgang Pauli waren in diesem Punkt einst nicht so klar, als es ihnen darum ging, David Bohm zu kritisieren: | Zitat: | | Besides the objection already made that in speaking of particle orbits we are concerned with a superfluous 'ideological superstructure', it must be particularly mentioned here that Bohm's language destroys the symmetry between position and velocity which is implicit in quantum theory; for the measurements of position Bohm accepts the usual interpretation, for the measurements of velocity or momentum he rejects it. Since the symmetry properties always constitute the most essential features of a theory, it is difficult to see what would be gained by omitting them in the corresponding language. |
Ich glaube inzwischen auch, dass die beiden hier schlicht einen Fehler gemacht hatten. Für den harmonischen Oszillator gibt es diese Symmetrie, aber auch wirklich nur da. Sobald es auch nur ein bisschen komplexer wird ist der Ortsraum sehr klar ausgezeichnet. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 13. Nov 2024 19:26 Titel: |
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| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Sobald es auch nur ein bisschen komplexer wird ist der Ortsraum sehr klar ausgezeichnet. |
was meinst du damit? In welchem Sinne ist die Ortsdarstellung ausgezeichnet? Der Laplace Operator beispielsweise ist in der Impulsdarstellung ausgezeichnet weil er in dieser Darstellung diagonal ist.
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 13. Nov 2024 19:43 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Was meint die Aussage "wir leben im Ortsraum" also überhaupt? Denn auch in der Impulsdarstellung der Operatoren ist der zugrundeliegende Raum der R^3.
Es scheint mir als würde dieser Frage die Annahme zugrunde liegen es gäbe einen "Impuls-R^3" und einen "Orts-R^3", was aber absolut keinen Gehalt hat. |
Wenn du nicht aus der Newtonschen Mechanik einen Ortsraum kennen und diesen mittels deiner Sinne wahrnehmen würdest, in dem das Coulomb-Potential speziell die Form V(r) ~ 1/r hat, gäbe es nichts in der QM, was die Ortsdarstellung auszeichnet; V(q) ~ 1/q^2 wäre genauso gut, und unendlich viele andere Darstellungen inkl. abzählbarer Basissysteme des separablen Hilbertraumes auch.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 13. Nov 2024 19:52 Titel: |
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| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Sobald es auch nur ein bisschen komplexer wird ist der Ortsraum sehr klar ausgezeichnet. |
Wie?
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 13. Nov 2024 20:20 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | Was meint die Aussage "wir leben im Ortsraum" also überhaupt? Denn auch in der Impulsdarstellung der Operatoren ist der zugrundeliegende Raum der R^3.
Es scheint mir als würde dieser Frage die Annahme zugrunde liegen es gäbe einen "Impuls-R^3" und einen "Orts-R^3", was aber absolut keinen Gehalt hat. |
Wenn du nicht aus der Newtonschen Mechanik einen Ortsraum kennen und diesen mittels deiner Sinne wahrnehmen würdest, in dem das Coulomb-Potential speziell die Form V(r) ~ 1/r hat, gäbe es nichts in der QM, was die Ortsdarstellung auszeichnet. V(q) ~ 1/q^2 wäre genauso gut,
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Ich habe Corbi nicht so verstanden, als dass er meint, dass der "Ortsraum"
ausgezeichnet wäre, sondern vielmehr so, dass es auf einer höheren Abstraktionsstufe nur "Raum" gibt, und ob wir das nun als "Orts-Raum" oder als "Impuls-Raum" zu erkennen meinen, je nachdem, wie wir die Variablen oder Operatoren bezeichnen. |
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 162
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| Jakito Verfasst am: 13. Nov 2024 20:48 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Sobald es auch nur ein bisschen komplexer wird ist der Ortsraum sehr klar ausgezeichnet. |
was meinst du damit? In welchem Sinne ist die Ortsdarstellung ausgezeichnet? Der Laplace Operator beispielsweise ist in der Impulsdarstellung ausgezeichnet weil er in dieser Darstellung diagonal ist. |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Sobald es auch nur ein bisschen komplexer wird ist der Ortsraum sehr klar ausgezeichnet. |
Wie? |
Ein bisschen komplizierter wäre z.B. in 1D eine Potentialstufe, oder in 2D ein Potentialtopf, oder in 3D das Potential vom Wasserstoffatom. Ganz normale Beispiele aus einführenden QM Lehrbüchern. Die Fouriertransformierte dieser Potentiale kann man schon noch hinschreiben, aber das hilft auch nicht viel, um den Hamiltonian in Impulsdarstellung zu bekommen. Natürlich gibt es ihn, aber halt vor allem im Sinne der Funktionalanalysis, weniger im Sinne einer einfach niederschreibbaren Formel. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 13. Nov 2024 21:13 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | Was meint die Aussage "wir leben im Ortsraum" also überhaupt? Denn auch in der Impulsdarstellung der Operatoren ist der zugrundeliegende Raum der R^3.
Es scheint mir als würde dieser Frage die Annahme zugrunde liegen es gäbe einen "Impuls-R^3" und einen "Orts-R^3", was aber absolut keinen Gehalt hat. |
Wenn du nicht aus der Newtonschen Mechanik einen Ortsraum kennen und diesen mittels deiner Sinne wahrnehmen würdest, in dem das Coulomb-Potential speziell die Form V(r) ~ 1/r hat, gäbe es nichts in der QM, was die Ortsdarstellung auszeichnet; V(q) ~ 1/q^2 wäre genauso gut, und unendlich viele andere Darstellungen inkl. abzählbarer Basissysteme des separablen Hilbertraumes auch. |
Du verstehst meinen Punkt noch nicht ganz. Ich sage, dass eine Unterscheidung in Ortsraum und Impulsraum überhaupt keinen Sinn ergibt. Sowohl in der Ortsdarstellung auch in der Impulsdarstellung der Operatoren ist der zugrundliegende Hilbertraum L^2(R^3).
Beide Darstellungen der Operatoren arbeiten auf ein und demselben Raum. Es existieren schlichtweg keine verschiedenen Räume die in irgendeiner weise dem Ort oder Impuls zugeordnet werden können. Es sind lediglich verschiedene Darstellungen von Operatoren auf ein und demselben Raum.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 13. Nov 2024 21:21 Titel: |
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| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Sobald es auch nur ein bisschen komplexer wird ist der Ortsraum sehr klar ausgezeichnet. |
was meinst du damit? In welchem Sinne ist die Ortsdarstellung ausgezeichnet? Der Laplace Operator beispielsweise ist in der Impulsdarstellung ausgezeichnet weil er in dieser Darstellung diagonal ist. |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Sobald es auch nur ein bisschen komplexer wird ist der Ortsraum sehr klar ausgezeichnet. |
Wie? |
Ein bisschen komplizierter wäre z.B. in 1D eine Potentialstufe, oder in 2D ein Potentialtopf, oder in 3D das Potential vom Wasserstoffatom. Ganz normale Beispiele aus einführenden QM Lehrbüchern. Die Fouriertransformierte dieser Potentiale kann man schon noch hinschreiben, aber das hilft auch nicht viel, um den Hamiltonian in Impulsdarstellung zu bekommen. Natürlich gibt es ihn, aber halt vor allem im Sinne der Funktionalanalysis, weniger im Sinne einer einfach niederschreibbaren Formel. |
nur weil eine einfache Formel vorhanden ist zeichnet das den Raum noch nicht aus. Betrachtest du z.B. ein freies relativistisches massebehaftetes Boson hat der Hamiltonian die Form
 , es ist höchst kompliziert dieses Objekt sinnvoll zu definieren.
Gehst du dagegen in die Impulsdarstellung wird der Hamiltonian einfach ein Multiplikationsoperator mit der Funktion
=\sqrt{m^2+p^2}) . Die Impulsdarstellung ist also wesentlich einfacher.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 13. Nov 2024 21:38 Titel: |
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Sei  ein Hilbertraum und  ein Operator auf diesem Raum. Nun sei  unitär.
Also gibt es einen Operator  mit denselben Spektraleigenschaften wie .
Doch macht es deshalb irgendeinen Sinn von verschiedenen Räumen zu sprechen? Ich denke nicht.
Im Fall einer unitären Transformation  würde eine Unterscheidung verschiedener Räume Sinn ergeben aber das ist ja bei der Fouriertransformation gerade nicht der Fall.
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Zuletzt bearbeitet von Corbi am 13. Nov 2024 22:09, insgesamt einmal bearbeitet |
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