| Autor |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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 TomS Verfasst am: 10. Nov 2024 16:39 Titel: |
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Können wir bitte beim Thema bleiben?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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blue
Gast
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| blue Verfasst am: 10. Nov 2024 16:43 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sorry Leute, ihr meint Rechnen, nicht Mathematik. |
Sicher kann man kreativ nach Lösungswegen suchen, Beweise führe etc aber am Ende ist das Ergebnis immer noch falsch oder korrekt. |
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blue
Gast
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| blue Verfasst am: 10. Nov 2024 16:49 Titel: |
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Und wenn dann die ganzen Mathematiker und Theoretiker wieder mit einer kreativen Lösung kommen die wieder nicht falsifizierbar ist was bringt es dann wenn man keine Chance hat rauszufinden ob es nun stimmt oder nicht? |
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blue
Gast
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| blue Verfasst am: 10. Nov 2024 16:56 Titel: |
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Und was ist deiner Meinung nach entscheidend,
der Weg ist das Ziel, Mathematik als Freizeitbeschäftigung? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2024 16:59 Titel: |
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Du hast noch selbst ein kompliziertes Problem angestarrt und plötzlich eine sehr einfache Lösung gesehen. Das merkt man.
Wir löst du
Welche Symmetrie hat der 3-dim. harmonische Oszillator?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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blue
Gast
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| blue Verfasst am: 10. Nov 2024 17:02 Titel: |
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Das ist es also, TomS der McGyver der komplexeren Mathematik.
Das Gefühl kennt bestimmt jeder aber wohl nur wenige im Bezug auf Mathe. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 10. Nov 2024 17:06 Titel: |
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Ich antworte mal mit einer Antwort von dir (zufällig gefunden).
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=130470&post_id=952813
| Zitat: | | Beispiel: der dreidimensionale harmonische Oszillator hat eine offensichtliche SO(3) Symmetrie, darüberhinaus aber sogar eine SU(3) Symmetrie, d.h. nicht nur 3 erhaltenen Drehimpulse, sondern 8 erhaltenen Größen. Zu Finden derartiger Symmetrien gibt es aber keinen Königsweg, d.h. WENN man eine Symmetrie kennt, dann kann man die Erhaltunsgrößen nach Schema-F berechnen, aber um die (versteckte) Symmetrie zu finden, hilft teilweise nur "Lösen durch hinschauen" oder ausprobieren. |
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Hinterfrage alles! Warum?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2024 17:17 Titel: |
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| blue hat Folgendes geschrieben: | Das ist es also, TomS der McGyver der komplexeren Mathematik.
Das Gefühl kennt bestimmt jeder aber wohl nur wenige im Bezug auf Mathe. |
Das ist keine komplexe Mathematik, das erscheint dir nur so.
Intuition bedeutet hier, sehen zu können, dass es simpel ist. Kreativität muss man anders erklären, aber beides versteht man nicht ohne eine gewisse Begabung.
@antaris – der Witz ist, es zu sehen, nicht es zu googeln 😉
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blue
Gast
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| blue Verfasst am: 10. Nov 2024 17:25 Titel: |
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Sehe ich anders, kreativ sein kann man beim Kuchen backen oder Bilder malen. Klar am Ende schmeckt oder gefällt das Ergebnis nicht jedem das ist aber egal. Bei Mathematik sollte es dann aber schon für alle Fälle passen. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 10. Nov 2024 17:26 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
@antaris – der Witz ist, es zu sehen, nicht es zu googeln 😉 |
SO(3) hätte ich schon vermutet. Ist ja die normale Drehgruppe im 3-dim. Raum.
Das interessante ist dann eher die nicht offensichtliche SU(3) Symmetrie?
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 10. Nov 2024 18:34 Titel: |
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| Manuel_91 hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Manuel_91 hat Folgendes geschrieben: | | Wir forschen aber philosophisch, da gibt es nix kreatives, nur harte Beweise oder Unwissen. |
Wie sehen denn "harte Beweise" in der von Ihnen vertretenen "Philosophie" aus, so ohne Axiome/Annahmen und Logik oder Empirie? |
Einsichten die als streng notwendig angesehen werden. |
zum Beispiel? |
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Manuel_91
Anmeldungsdatum: 20.07.2024
Beiträge: 725
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| Manuel_91 Verfasst am: 10. Nov 2024 18:38 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
zum Beispiel? |
Ich habe nicht vor die Diskussion nochmal aufzureißen und wollte nur nochmal den Unterschied verdeutlichen, aktuell habe ich mich hier aus dem Thread auch zurückgezogen, auch weil Tom schrieb er will "beim Thema" bleiben und wir dann wieder total in der Phil. sind. Zumal ich auch für derartige Diskussionen keine Zeit mehr habe. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 10. Nov 2024 18:59 Titel: |
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| Superfred hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Die Idee der (gekrümmten) 3+1 dim. Raumzeit war wohl zuerst da und dann erst die mathematische Formulierung. |
Nein, die Idee der 4 dimensionalen Raumzeit kam direkt aus einer mathematischen Betrachtung.
Der Mathematiker Hermann Minkowski hat erkannt, dass die Lorentz-Transformation 4-Dimensional (genauer 3+1) betrachtet einer hyperbolische Drehung entspricht, also die (S)RT geometrisch betrachtet werden sollte.
https://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Raum |
auf die Krümmung kam er nach eigener Aussage, weil er die Geometrie praktisch sah und nicht losgelöst ohne Bezug zur wirklichen Welt:
| Albert Einstein hat Folgendes geschrieben: | Dieser geschilderten Auffassung der Geometrie lege ich deshalb besondere Bedeutung bei, weil es mir ohne sie unmöglich gewesen wäre, die Relativitätstheorie aufzustellen, Ohne sie wäre nämlich folgende Erwägung unmöglich gewesen: In einem relativ zu einem Inertialsystem rotierenden Bezugssystem entsprechen die Lagerungsgesetze starrer Körper wegen der Lorentz-Kontraktion nicht den Regeln der euklidischen Geometrie; also muß bei der Zulassung von Nichtinertialsystemen als gleichberechtigten Systemen die euklidische Geometrie verlassen werden.
Der entscheidende Schritt des Überganges zu allgemein kovarianten Gleichungen wäre gewiß unterblieben, wenn die obige Interpretation nicht zugrunde gelegen hätte.
Lehnt man die Beziehung zwischen dem Körper der axiomatiscben euklidischen Geometrie und dem praktisch-starren Körper der Wirklichkeit ab, so gelangt man leicht zu der folgenden Auffassung, welcher insbesondere der scharfsinnige und tiefe H. Poincare gehuldigt hat: Von allen anderen denkbaren axiomatischen Geometrien ist die euklidische Geometrie durch Einfachheit ausgezeichnet. Da nun die axiomatische Geometrie allein keine Aussagen über die erlebbare Wirklichkeit enthält, sondern nur die axiomatische Geometrie in Verbindung mit physikalischen Sätzen, so dürfte es — wie auch die Wirklichkeit beschaffen sein mag — möglich und vernünftig sein, an der euklidischen Geometrie festzuhalten.
Denn man wird sich lieber zu einer Änderung der physikalischen Gesetze als zu einer Anderung der axiomatischen euklidischen Geometrie entschließen, falls sich Widersprüche zwischen Theorie und Erfahrung zeigen.
Lehnt man die Beziehung zwischen dem praktisch starren Körper und der Geometrie ab, so wird man sich in der Tat nicht leicht von der Konvention freimachen, daß an der euklidischen Geometrie als der einfachsten festzuhalten sei.
https://archive.org/details/geometrieunderf00einsgoog/page/n9/mode/2up
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2024 18:59 Titel: |
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| blue hat Folgendes geschrieben: | | Sehe ich anders, kreativ sein kann man beim Kuchen backen oder Bilder malen. Klar am Ende schmeckt oder gefällt das Ergebnis nicht jedem das ist aber egal. Bei Mathematik sollte es dann aber schon für alle Fälle passen. |
Du kannst vermutlich Kreativität im Rahmen der Mathematik nicht erkennen oder verstehen.
Beispiele:
- Mandelbrot set
- spectral dimension
- Banach-Tarski paradox
- Poincaré conjecture
- exotic R4
- Octonions
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 10. Nov 2024 19:04 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Du kannst vermutlich Kreativität im Rahmen der Mathematik nicht erkennen oder verstehen.
Beispiele:
- Mandelbrot set
- spectral dimension
- Banach-Tarski paradox
- Poincaré conjecture
- exotic R4
- Octonions |
Wurden die Deiner Meinung nach nun entdeckt, oder konstruiert? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2024 19:06 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
@antaris – der Witz ist, es zu sehen, nicht es zu googeln 😉 |
SO(3) hätte ich schon vermutet. Ist ja die normale Drehgruppe im 3-dim. Raum.
Das interessante ist dann eher die nicht offensichtliche SU(3) Symmetrie? |
Wenn du den 3-dim. harmonischen Oszillator im Ortsraum formulierst, siehst du die SU(3) nicht. Formulierst du ihn wie in der QM mittels Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, so ist das für jemand mit Erfahrung in QM und Gruppentheorie offensichtlich klar.
_{mn} a_n)
Die Kreativität besteht darin, überhaupt auf die Idee der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zu kommen. In der klassischen Mechanik entspricht das dem Schritt vom üblichen Phasenraum mit Orts- und Impulskoordinaten (x,p) hin zu komplexen Koordinaten
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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blue
Gast
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| blue Verfasst am: 10. Nov 2024 19:24 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Du kannst vermutlich Kreativität im Rahmen der Mathematik nicht erkennen oder verstehen.
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Vielleicht aber ich denke du verwechselt Kreativität mit Eleganz. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2024 19:34 Titel: |
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| blue hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Du kannst vermutlich Kreativität im Rahmen der Mathematik nicht erkennen oder verstehen.
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Vielleicht aber ich denke du verwechselt Kreativität mit Eleganz. |
Ganz sicher nicht (das Beispiel ist knapp und elegant, damit es hier gut reinpasst).
Ich erkenne neue, kreative oder innovative Ideen, insbs. dann, wenn ich selbst nie im Leben auf diese Idee gekommen wäre. Aus den oben genannten simplen Gleichungen folgen sofort acht Erhaltungsgrößen – wer nur das Noether-Theorem kennt, findet lediglich drei.
Und ich habe sowas nicht nur im Studium sondern auch später in der Forschung immer wieder erlebt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 10. Nov 2024 19:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 10. Nov 2024 19:41 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
@antaris – der Witz ist, es zu sehen, nicht es zu googeln 😉 |
SO(3) hätte ich schon vermutet. Ist ja die normale Drehgruppe im 3-dim. Raum.
Das interessante ist dann eher die nicht offensichtliche SU(3) Symmetrie? |
Wenn du den 3-dim. harmonischen Oszillator im Ortsraum formulierst, siehst du die SU(3) nicht. Formulierst du ihn wie in der QM mittels Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, so ist das für jemand mit Erfahrung in QM und Gruppentheorie offensichtlich klar.
Die Kreativität besteht darin, überhaupt auf die Idee der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zu kommen. In der klassischen Mechanik entspricht das dem Schritt vom üblichen Phasenraum mit Orts- und Impulskoordinaten (x,p) hin zu komplexen Koordinaten
|
Die Erfahrung fehlt mir offensichtlich aber klar, das sind vollkommen abstrakte Formulierungen, außerhalb unserer Alltagserfahrung.
Die 2. Quantisierung wurde von Dirac ausgehend formuliert? Dabei ging es ihm um Emission und Absorbtion von gequantelter Strahlung?
https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1927.0039
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 10. Nov 2024 20:38 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aus den oben genannten simplen Gleichungen folgen sofort acht Erhaltungsgrößen – wer nur das Noether-Theorem kennt, findet lediglich drei. |
Das bedeutet der Zustand des Systems ist über diese 8 Erhaltungsgrößen definiert? Welche Größen sind das?
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blue
Gast
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| blue Verfasst am: 10. Nov 2024 21:58 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich erkenne neue, kreative oder innovative Ideen, insbs. dann, wenn ich selbst nie im Leben auf diese Idee gekommen wäre. Aus den oben genannten simplen Gleichungen folgen sofort acht Erhaltungsgrößen – wer nur das Noether-Theorem kennt, findet lediglich drei. |
Nagut dann bin ich ab jetzt nicht mehr unwissend weil ich das Noether-Theorem nicht kenne sonder einfach nur kreativ blockiert, gefällt mir. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2024 22:16 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
@antaris – der Witz ist, es zu sehen, nicht es zu googeln 😉 |
SO(3) hätte ich schon vermutet. Ist ja die normale Drehgruppe im 3-dim. Raum.
Das interessante ist dann eher die nicht offensichtliche SU(3) Symmetrie? |
Wenn du den 3-dim. harmonischen Oszillator im Ortsraum formulierst, siehst du die SU(3) nicht. Formulierst du ihn wie in der QM mittels Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, so ist das für jemand mit Erfahrung in QM und Gruppentheorie offensichtlich klar.
Die Kreativität besteht darin, überhaupt auf die Idee der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zu kommen. In der klassischen Mechanik entspricht das dem Schritt vom üblichen Phasenraum mit Orts- und Impulskoordinaten (x,p) hin zu komplexen Koordinaten
|
Die Erfahrung fehlt mir offensichtlich aber klar, das sind vollkommen abstrakte Formulierungen, außerhalb unserer Alltagserfahrung.
Die 2. Quantisierung wurde von Dirac ausgehend formuliert? Dabei ging es ihm um Emission und Absorbtion von gequantelter Strahlung?
https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1927.0039 |
Dirac hat Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren tatsächlich dafür betrachtet, aber im Falle eines einzelnen harmonischen Oszillators gibt es natürlich keine Strahlung.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2024 22:26 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aus den oben genannten simplen Gleichungen folgen sofort acht Erhaltungsgrößen – wer nur das Noether-Theorem kennt, findet lediglich drei. |
Das bedeutet der Zustand des Systems ist über diese 8 Erhaltungsgrößen definiert? Welche Größen sind das? |
Das sind drei Drehimpulskomponenten sowie fünf weitere, für die ich kein Analogon kenne. Könntest du aber selbst mal ausrechnen …
Verwendet man kein quadratisches sondern ein 1/r Potential, so findet man dafür – ausschließlich in drei Dimensionen – keine SO(3) sondern eine SO(4). Die daraus resultierenden drei weiteren Erhaltungsgrößen entsprechen den Komponenten des https://en.m.wikipedia.org/wiki/Laplace%E2%80%93Runge%E2%80%93Lenz_vector
Die SU(N) für den harmonischen Oszillator gilt in jeder Dimension N > 1.
Pauli hat 1926 mittels der SO(4) das Spektrum des Wasserstoffatoms berechnet, ohne dabei den üblichen Ansatz der Schrödingergleichung zu verwenden.
Derartiges ist übrigens der Grund, warum diverse Physiker meinen, sie würden Naturgesetze entdecken, nicht konstruieren. Diese Zusammenhänge galten und die entsprechenden Erhaltungsgrößen existierten schon vor 1926. 🙃
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 10. Nov 2024 23:00 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Aus den oben genannten simplen Gleichungen folgen sofort acht Erhaltungsgrößen – wer nur das Noether-Theorem kennt, findet lediglich drei.
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Ist wahrscheinlich nur ein Nebenkriegsschauplatz, aber diesen Teil versteh ich nicht. Erhaltungsgrößen ohne Noether sind extrem selten (mir fällt gerade nichtmal eine ein, aber das heisst ja nichts...). Oder meinst Du "wer nur das Neother-Theroem kennt, aber die SU(3)-Symmetrie nicht sieht"?
(Falls es Deinen Threas stört, gerne PN.) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 10. Nov 2024 23:06 Titel: |
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Das Noether-Theorem bzw. die dabei verwendeten Symmetrien kenne ich im Lagrange-Formalismus und damit rein im Ortsraum. Diese SU(N) mischt aber Orts- und Impulskomponten, kann also nicht rein im Ortsraum formuliert werden.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 10. Nov 2024 23:30 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das sind drei Drehimpulskomponenten sowie fünf weitere, für die ich kein Analogon kenne. Könntest du aber selbst mal ausrechnen … |
Oha...ich wüsste nicht wie:hammer:
Wenn ich den Wiki-Artkel zur SU Gruppen lese, wird es nicht besser.
| Zitat: | erwendet man kein quadratisches sondern ein 1/r Potential, so findet man dafür – ausschließlich in drei Dimensionen – keine SO(3) sondern eine SO(4). Die daraus resultierenden drei weiteren Erhaltungsgrößen entsprechen den Komponenten des https://en.m.wikipedia.org/wiki/Laplace%E2%80%93Runge%E2%80%93Lenz_vector
Die SU(N) für den harmonischen Oszillator gilt in jeder Dimension N > 1.
Pauli hat 1926 mittels der SO(4) das Spektrum des Wasserstoffatoms berechnet, ohne dabei den üblichen Ansatz der Schrödingergleichung zu verwenden. |
In der SU(3) sind es, analog zu den 3-dim. Pauli-Matrizen in der SU(2), die 8-dim. Gell-Mann-Matrizen?
| Zitat: | | Derartiges ist übrigens der Grund, warum diverse Physiker meinen, sie würden Naturgesetze entdecken, nicht konstruieren. Diese Zusammenhänge galten und die entsprechenden Erhaltungsgrößen existierten schon vor 1926. 🙃 |
Es scheint die Mathematik müsse wirklich mehr als Naturwissenschaft und nicht nur bloße Theorie angesehen werden. In jedem Fall eine interessante Sichtweise.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 10. Nov 2024 23:50 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das Noether-Theorem bzw. die dabei verwendeten Symmetrien kenne ich im Lagrange-Formalismus und damit rein im Ortsraum. Diese SU(N) mischt aber Orts- und Impulskomponten, kann also nicht rein im Ortsraum formuliert werden. |
Ich verstehe diesen Punkt, aber irgendwas fehlt mir noch. Hab ich zulange QFT betrieben? Weinberg startet in QFT ja auch aus einem Hamiltonian. Sind das dann nur spezielle? Wie übersetz ich das in dein (eigentlich einfaches) 3D-Oszillaor-Beispiel? Starten wir nicht immer mit dem Oszillator in die QFT? Wieso/wie gehen da Erhaltungsgrößen verloren? ... Bei mir sind da noch Fragen offen, aber das wird an mir liegen   |
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blue
Gast
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| blue Verfasst am: 11. Nov 2024 01:04 Titel: |
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Ihr wolltet doch beim Thema bleiben, in diesem Sinne:
vid.pr0gramm.com/2024/11/10/039fb970300326ef.mp4 |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 11. Nov 2024 08:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Derartiges ist übrigens der Grund, warum diverse Physiker meinen, sie würden Naturgesetze entdecken, nicht konstruieren. |
"Diverse"?
Gibt es Physiker, die das nicht meinen? |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 11. Nov 2024 08:31 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | [
Es scheint die Mathematik müsse wirklich mehr als Naturwissenschaft und nicht nur bloße Theorie angesehen werden. |
Von wem?
Wer hält Mathematik für eine "bloße Theorie"?
Was soll das überhaupt sein?
Mathematik ist eine Strukturwissenschaft. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 11. Nov 2024 09:02 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das Noether-Theorem bzw. die dabei verwendeten Symmetrien kenne ich im Lagrange-Formalismus und damit rein im Ortsraum. Diese SU(N) mischt aber Orts- und Impulskomponten, kann also nicht rein im Ortsraum formuliert werden. |
Ich verstehe diesen Punkt, aber irgendwas fehlt mir noch. Hab ich zulange QFT betrieben? Weinberg startet in QFT ja auch aus einem Hamiltonian. Sind das dann nur spezielle? Wie übersetz ich das in dein (eigentlich einfaches) 3D-Oszillaor-Beispiel? Starten wir nicht immer mit dem Oszillator in die QFT? Wieso/wie gehen da Erhaltungsgrößen verloren? ... Bei mir sind da noch Fragen offen, aber das wird an mir liegen :) |
Ich sage lediglich, dass du mittels des Noether-Theorems nicht alle Erhaltungsgrößen findest.
Gegeben sei ein Lagrangian L als Funktion f der verallgemeinerten Orte und Geschwindigkeiten, eine Transformation G der verallgemeinerten Orte als Funktionen g
 )
 \to L^\prime = f(q^\prime_i, \dot{q}^\prime_i))
sowie die Größe
Noethers Theorem besagt, dass wenn L invariant ist
dann liegen entsprechende Erhaltungsgrößen vor:
Aber du hast recht, mein erster Satz "dass du mittels des Noether-Theorems nicht alle Erhaltungsgrößen findest" ist falsch, man muss die Transformation verallgemeinern:
 )
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 11. Nov 2024 09:26 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Derartiges ist übrigens der Grund, warum diverse Physiker meinen, sie würden Naturgesetze entdecken, nicht konstruieren. |
"Diverse"?
Gibt es Physiker, die das nicht meinen? |
Ja, das wäre die Konsequenz aus einigen Meinungen in dieser Diskussion hier.
Wenn ich eine mathematische Entität konstruiere, und der Auffassung bin, sie wäre meine ureigene jetzt gerade erfundene Konstruktion, hätte also keine von mir unabhängige Existenz, dann beißt sich das irgendwie mit der Ansicht, exakt diese mathematische Entität, die ich mir soeben ausgedacht habe, beschreibe ein schon immer gültiges physikalisches Gesetz. Entdecke ich also ein schon immer gültiges physikalisches Gesetz jetzt, dann entdecke ich logischerweise auch die entsprechende mathematische Entität.
Was war denn erhalten, bevor Newton die Differentialrechnung erfunden hatte? Impuls und Energie können es nicht gewesen sein. Auch die Anzahl der Planeten im Sonnensystem hat sich irgendwann sprunghaft von ? auf 8 geändert 🙃
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 11. Nov 2024 10:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich eine mathematische Entität konstruiere, und der Auffassung bin, sie wäre meine ureigene jetzt gerade erfundene Konstruktion, hätte also keine von mir unabhängige Existenz, dann beißt sich das irgendwie mit der Ansicht, exakt diese mathematische Entität, die ich mir soeben ausgedacht habe, beschreibe ein schon immer gültiges physikalisches Gesetz. Entdecke ich also ein schon immer gültiges physikalisches Gesetz jetzt, dann entdecke ich logischerweise auch die entsprechende mathematische Entität. |
Das kann ich nicht nachvollziehen. Naturgesetze sind Generalisierungen experimenteller Beobachtungen. Daraus folgt:
1. Naturgesetze können nicht immer "schon immer" gültig sein, sondern nur so lange, wie es die Beobachtungen gibt auf denen sie basieren. Sie bleiben auch nur so lange gültig, bis neue Beobachtungen gemacht werden, mit denen sie im Rahmen der Messgenauigkeit nicht mehr vereinbar sind. Das Newtonsche Gravitationsgesetz ist dafür ein sehr gutes Beispiel.
2. Wenn ein Naturgesetz mit Hilfe einer mathematischen Entität beschrieben wird, dann heißt das erst einmal nur, dass Menschen Gemeinsamkeiten dieser Entität mit Strukturen in den Daten erkannt haben. Es heißt nicht, dass sie da drin gesteckt hat. Selbst wenn eine mathematische Entität eigens zur Beschreibung experimenteller Beobachtungen entwickelt wird, dann ist sie nur nach deren Vorbild entstanden und nicht aus ihnen extrahiert.
Natürlich kann man darüber spekulieren, ob mathematische Entitäten unabhängig von uns "existieren" (was auch immer das heißen mag). Aber ich sehe weder, wie man das experimentell überprüfen könnte, noch dass es einen praktischen Nutzen hat. Es erscheint mir eher wie ein Schritt zurück zur antiken Naturphilosophie, die davon ausging, dass man durch Denken allein Erkenntnisse über die Natur gewinnen kann. Davon hat sich die Naturwissenschaft spätestens in der Kopernikanischen Wende verabschiedet und ist sehr gut damit gefahren. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 498
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| Corbi Verfasst am: 11. Nov 2024 11:33 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn ich eine mathematische Entität konstruiere, und der Auffassung bin, sie wäre meine ureigene jetzt gerade erfundene Konstruktion, hätte also keine von mir unabhängige Existenz, dann beißt sich das irgendwie mit der Ansicht, exakt diese mathematische Entität, die ich mir soeben ausgedacht habe, beschreibe ein schon immer gültiges physikalisches Gesetz. |
Dieses "sich beißen" leuchtet mir nicht ein. Natürlich kann ich eine mathematische Entität konstruieren, die ein lange dagewesenes physikalisches Phänomen beschreibt, ohne dass diese mathematische Entität schon vorher dagewesen sein muss.
Ich kann doch auch einen neuen Satz formulieren, den vorher noch nie jemand gesagt hat, der aber irgendeinen Sachverhalt gut beschreibt. Nur weil der Sachverhalt schon vorher da war, heißt das doch nicht, dass auch der Satz schon vorher existiert hat. Oder haben etwa die Inhalte aller Sachbücher schon immer existiert?
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 11. Nov 2024 11:52 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Naturgesetze sind Generalisierungen experimenteller Beobachtungen. |
Dazu gibt es wohl unterschiedliche Meinungen:
| Zitat: | Zwischen den aktuell als gültig angesehenen wissenschaftlichen Gesetzen der Einzelwissenschaften (selbst der Physik) einerseits und Naturgesetzen im allgemeinen Sinn besteht zumindest dem Anspruch nach ein Unterschied. So wird z. B. im Pragmatismus oder Falsifikationismus angenommen, dass die wissenschaftlichen Gesetze nur eine Annäherung an die Naturgesetze darstellen, die Ausdruck einer das Naturgeschehen bestimmenden Notwendigkeit sind. Der logische Positivismus betrachtet dagegen die Naturgesetze lediglich als aus dem beobachteten Naturgeschehen abgeleitete Regeln, die sich erfahrungsgemäß immer wieder bestätigen; er geht davon aus, dass über die Erfahrung hinausgehend keine sinnvolle Aussage getroffen werden kann (Sinnkriterium des Empirismus).
https://de.wikipedia.org/wiki/Naturgesetz#Allgemeines
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Danach wären allenfalls die wissenschaftlichen Gesetze konstruiert. |
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Jakito
Anmeldungsdatum: 30.05.2024
Beiträge: 162
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| Jakito Verfasst am: 11. Nov 2024 12:59 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Natürlich kann man darüber spekulieren, ob mathematische Entitäten unabhängig von uns "existieren" (was auch immer das heißen mag). |
Das heißt vermutlich, dass Du das Wort "existieren" anders interpretierst als TomS, oder die ZFC basierte Lehrbuchmathematik, die TomS, ich, und viele andere hier einst an der Uni in den ersten Semestern gelernt haben.
Ob diese "mathematische Existenz" die umganssprachliche Bedeutung dieses Konzepts gut einfängt darf man natürlich bezweifeln. Aber innerhalb der Mathematik gibt es schon gute Gründe für diese Interpretation. Die Philosophie hingegen hat eigene Wege gefunden, dem Konzept "Existenz" Sinn zu verleihen.
Man könnte versuchen, das umgangssprachliche Konzept als "physikalische Existenz" zu bezeichnen, und durch ein paar Beispiele klarer zu machen, wie es gemeint ist:
| Zitat: | | Let mathematical existence mean no more than consistency of an otherwise arbitrary definition. Let physical existence be based on observations and experience. (Remember those arguments evoking the number of atoms in the universe?) Let philosophical existence mean that you either explicitly define what you mean by that word (like Quine did in On What There Is) or alternatively that you use your implicit ontological commitments (like Descartes did in ego cogito, ergo sum). |
| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Aber ich sehe weder, wie man das experimentell überprüfen könnte, noch dass es einen praktischen Nutzen hat. Es erscheint mir eher wie ein Schritt zurück zur antiken Naturphilosophie, die davon ausging, dass man durch Denken allein Erkenntnisse über die Natur gewinnen kann. Davon hat sich die Naturwissenschaft spätestens in der Kopernikanischen Wende verabschiedet und ist sehr gut damit gefahren. |
Was man experimentell überprüfen könnte ist, ob gewisse Gruppen es schaffen, sich auf eine Bedeutung des Wortes/Konzepts "Existenz" zu verständigen, die konstruktive Diskussionen und Fortschritte erlaubt. In der Mathematik schien es ja lange Zeit so, als wäre dies gelungen.
Aber selbst da ist das anscheinend gar nicht mehr so einfach, seit die Diskussionen u.a. durch Vladimir Voevodsky und seine "univalent Foundations" wieder aufgeflammt sind. Was soll ich sagen? |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 11. Nov 2024 13:00 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | [
Es scheint die Mathematik müsse wirklich mehr als Naturwissenschaft und nicht nur bloße Theorie angesehen werden. |
Von wem?
Wer hält Mathematik für eine "bloße Theorie"?
Was soll das überhaupt sein?
Mathematik ist eine Strukturwissenschaft. |
Ok. Ich meine, wenn die Hypothese des math. Universums zutrifft, die Mathematik dann nicht einfach nur eine Strukturwissenschaft ist, sondern die Wissenschaft über die Struktur des Universums (und damit näher an den Prinzipien der Natur ist, wie alle anderen Wissenschaften).
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Hinterfrage alles! Warum?
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 11. Nov 2024 13:13 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Danach wären allenfalls die wissenschaftlichen Gesetze konstruiert. |
In dem Fall gilt aber die Aussage von TomS, auf die ich ich oben beziehe, nur für diese wissenschaftlichen Gesetze. Die Naturgesetze selbst kennen wir ja schließlich nicht. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5740
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| DrStupid Verfasst am: 11. Nov 2024 13:26 Titel: |
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| Jakito hat Folgendes geschrieben: | | Das heißt vermutlich, dass Du das Wort "existieren" anders interpretierst als TomS, oder die ZFC basierte Lehrbuchmathematik, die TomS, ich, und viele andere hier einst an der Uni in den ersten Semestern gelernt haben. |
Soweit ich weiß, gibt es in der Mathematik auch nur die Möglichkeit, die Existenz eines Objektes zu definieren oder aus bereits als existent anerkannten Objekten abzuleiten. Ein Objekt kann in diesem Sinne nur dann als von uns unabhängig als existent gelten, wenn seine Definition oder die Definition der Objekte, aus denen sie folgt, zwangsläufig ist. Anders ausgedrückt, müsste die Mathematik, die wir kennen, die einzig mögliche sein und die Menge der darin vorkommenden Objekte irgendwie begrenzt. Ich habe nicht den Eindruck, dass darüber Einigkeit besteht.
Ich sehe lediglich eine Art potentieller Existenz in Form der Möglichkeit, ein mathematisches Objekt direkt oder indirekt zu definieren. Das wäre dann die Existenz im Sinne von Michelangelo, die ich oben schon erwähnt habe - oder nach dem Infinite-Monkey-Theorem. |
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Frankx
Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 1022
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| Frankx Verfasst am: 11. Nov 2024 15:27 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Ich kann doch auch einen neuen Satz formulieren, den vorher noch nie jemand gesagt hat, der aber irgendeinen Sachverhalt gut beschreibt. Nur weil der Sachverhalt schon vorher da war, heißt das doch nicht, dass auch der Satz schon vorher existiert hat. |
Besser hätte ich es nicht sagen können.
Und es bedeutet auch nicht, dass man den Sachverhalt eventuell auch noch anders oder genauer bzw. ausführlicher beschreiben könnte.
Das deckt sich sehr gut mit meiner Meinung zum Wesen der Mathematik als vom Menschen erschaffenes Werkzeug/Sprache zur Beschreibung von Erfahrungen.
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