Lagrange-Funktion eines ebenen Pendels

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

Hallöchen, ich habe mal wieder eine Frage. Ich kann die Berechnung dieser Aufgabe nicht wirklich nachvollziehen. Ich frage mal, wenn es ok ist, schritt für schritt.

Aufgabe:
Finde die Lagrange Funktion und Bewegungsgleichugen des Ebenen Pendel mit der Masse

, dessen Aufhängepunkt (der die Masse

besitzt) sich entlang einer horizontalen Gerade bewegen kann, siehe Abbildung. Das Pendel befindet sich im Schwerefeld (Schwerebschleunigung sei g).

Erster Lösungsteil:
Zunächst müssen ja die Zwangsbedingungen festgelegt werden. Die lauten:

;

Hierzu ist schonmal meine erste Frage: 1) Wieso steht hier

? Hätte man nicht auch

schreiben können? Bei anderen Aufgaben war das so. Aber warum nicht hier?

Als nächstes müssen dann die übrig gebliebenen Freiheitsgrade bestimmt werden. Das sind dann

.
Das hier ist eigentlich ganz logisch.

Nun müssen zwei generalisierte Koordinaten bestimmt werden:

und

Frage: 2) WIe hat man hier die generalisierten Koordinaten nur bestimmt?
Wie kommt man darauf, das es

und

Dann wurden die Transformationsformeln ertellt:

;

Frage: 3) Wie stellt man die Transformationsformel auf? Wie kommt man auf diese?

Dann wurde die kinetische Energie berechnet:

Frage: 4) WIe kommt in dem ersten Summanden bloß die Masse

rein? Und wie wurde nur der zweite SUmmand errechnet? Ich blicke da eigentich überhaupt nicht durch.

SO, ich glaube das reicht erstmal an Fragen. Wäre echt super,wenn ihr mir helfen könntet, einen durchblick in solchen aufgaben zu verschaffen. Ich bin eigentlich total am verzweifeln, was Theo. Physik betrifft traurig

Vielen, vielen Dank für jegliche Hilfe

Bis dann

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Frage 1): Ja, könnte man. Aber wieso nicht auf 0 legen, das ist ja so wie so egal, wenn es konstant ist. Weder an der kinetischen noch an der potentiellen Energie ändert das dann was.

Frage 2): Man sucht sich Variablen, die man unabhängig voneinander variieren kann und dabei trotzdem immer die Zwangsbed. einhält. Dass der Abstand zwischen Masse 1 und 2 immer gleich bleibt ist mit diesen gen. Variablen ja schon sicher gestellt.

Frage 3): Wenn Du Dir die Zeichnung anschaust: q1 gibt ja direkt die x-Koordinate der Masse 1 an, also muss ja schon die erste erfüllt sein. Die zweite ist schon direkt durch die Zwangsbed. erfüllt. Die dritte: Das kannst Du doch direkt ausrechnen. Wenn Du den Winkel kennst und auch die x-Koordinate der Masse 1, dann kannst Du doch direkt die x-Koordinate der zweiten Masse berechnen. Ich verstehe nicht ganz, wo Du da nicht weiter kommst. Die y-Koordinate ist noch einfacher, weil der Aufhängepunkt des Pendels ja immer auf der Höhe der Schiene ist (also bei y=0), und mit Trigonometrie dann direkt der Kosinus da steht. Zeichne Dir vielleicht am besten mal ein horizontale und eine vertikale Linie durch Masse 2. Dann siehst Du zwei Dreiecke, die jeweils L als Hypotenuse haben. Dann siehst Du wahrscheinlich auch, wie man auf Sinus und Kosinus kommt.
Dass die z-Koordinate der zweiten Masse wieder gleich 0 sein muss, ist klar, weil sich ja alles bei z=0, also in einer Ebene, abspielen soll.

Frage 4): Es wurden einfach alle x/y-Koordinaten nach den Formeln von vorher ersetzt. Da muss man dann natürlich noch die Ableitungen nach der Zeit bilden.
Bei

steht ja außer dem Sinus noch ein

drin. Wenn man das aus multipliziert und dannwieder die q1 und q2 zusammenfasst, dann steht es doch direkt da. Setze einfach mal für die x/y-Koordinaten die Formeln von Frage 3 ein. Wenn Du dann nach den generalisierten Variablen (bzw. ihren Ableitungen) zusammenfasst, solltest Du auf das selbe Ergebnis kommen.

Gruß
Marco

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

Hi as_string,

schonmal danke für deine Antwort.

Also, zu Frage 3: Ich glaube ich habe meine Frage irgendwie falsch formuliert.
Wenn ich die so stehen habe, sind ja eigentlich alle Transformationsformeln (bis auf die dritte, die versteh ich noch nicht wirklich) so ziemlich nachvollziehbar. ABer wie komme ich nur auf diese? Was muss also eine Transformationsformel erfüllen, um als solche zu gelten? Was sagt also im Prinzip eine solche Transformationsformel aus?

Dann noch zu Frage 4:
Also, ich schaue mir jetzt nur mal den ersten Sumannten an. Dann steht da ja:

So, und

bzw. müsste ja gelten

und wenn ich das jetzt einsetze hätte ich für

da folgendes stehen:

Und da steht bei mir kein

. Irgendwie verstehe ich das anscheinend hier schon nicht. Wie muss ich also das

behandeln? Du sagtest auch noch nach der Zeit ableiten, was ich nicht wirklich verstehe.
Könntest du mir das vielleicht exemplarisch an diesem Beispiel versuchen zu erklären? ginge das?

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

Oder ist

irgendwie noch anders definiert? so dass man am ende doch noch auf den summanten kommt?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, für den ersten Summanden ist das richtig. Aber im zweiten Summanden steht dann ja:

Und wenn Du das noch ausmultiplizierst und den Summanden

mit dem ersten zusammen bringst, dann steht schon alles so da, wie in der Formel, die Du aufgeschrieben hattest.

Gruß
Marco

skywalker · Anmeldungsdatum: 01.04.2006 Beiträge: 198

Achso geht das. Ich hatte nicht gewusst, dass man hier

bei

nach

und

ableitet. Ich dachte, dass man nur nach

ableiten würde. Und

wäre eine konstante. somit konnte ich ja ganrnichtauf die Lösung kommen.

Danke :-)

Aber dann hätte ich noch nee Frage zu den Transoformatinsformeln:

Mir persönlich sind glaube ich eigentlich alle Transformationsformeln (bis auf die dritte, die versteh ich noch nicht wirklich) so ziemlich nachvollziehbar. ABer wie komme ich nur auf diese? Was muss also eine Transformationsformel erfüllen, um als solche zu gelten? Was sagt also im Prinzip eine solche Transformationsformel aus? Wie kommt man auf die Idee, dass sie so lauten?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Nein, Du leitest nicht nach q1 oder nach q2 ab, sondern nach der Zeit (deshalb der Punkt über x und y). Allerdings hängen die beiden auch von der Zeit ab, so dass Du die Kettenregel verwenden musst.
Wenn Du also hast:

Dabei habe ich im letzten Schritt dann die Kettenregel verwendet. Das Argument vom Sinus ist ja eine von t abhängige Funktion (nämlich q2). Die Kettenregel sagt jetzt, dass ich die innere Ableitung, also

mit der äußeren, also cos(q2) multiplizieren muss. Genau das steht da.

Gruß
Marco

PS: Wie man auf die Transformation kommt:
Du überlegst Dir ja diese generalisierten Variablen so, dass Du sie alle unabhängig voneinander variieren kannst, ohne dabei die Nebenbedingungen zu verletzen. Jetzt musst Du Dir nur noch überlegen, wie Du die x- und y-Koordinaten der Massen in Abhängigkeit von den generalisierten Variablen ausdrücken kannst. Das ist dann die Transformation, die zwischen den Koordinaten, also den x/y-Koordinaten und den q1/q2-Koordinaten umwandelt.