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Opt. Gitter mit 4 Spalten + Lage der Minima
 
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Shano



Anmeldungsdatum: 15.10.2006
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Beitrag Shano Verfasst am: 19. Nov 2006 17:25    Titel: Opt. Gitter mit 4 Spalten + Lage der Minima Antworten mit Zitat

Hallo, die aufgabe lautet:Gitter mit g=5,00 * 10^-5 m besteht aus 4 spalten. wellenlänge 590 nm. abstand(gitter;schirm)=2,4 m

--> Zeigen Sie dass zwischen dem Maximum 1. Ordnung und dem Maximum 0.Ordnung 3 Minima entstehen und berechnen sie deren Lage auf dem Schirm.

so, dass drei minima entstehen bekomme ich glaube ich noch halbwegs hin, aber wie kann ich denn berechnen wo die minima liegen?
und etwas hilfe zu erklärung wie die drei minima entstehen kann auch nicht schaden. mit der aufgabe bin ich reichlich bedient im moment.

Shano
Nikolas
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Beitrag Nikolas Verfasst am: 19. Nov 2006 18:05    Titel: Antworten mit Zitat

Kennst du die Idee des Zeigerdiagramms? Du nimmst dir einen Punkt und zeichnest von dort aus so viele Pfeile, wie du Spalten hast. Die Länge der Pfeile sollte die Intensität repräsentieren, in deinem Fall sind also alle gleich lang. Der Winkel zwischen 2 Pfeilen entspricht dem Phasenunteschied zwischen den zugehörigen Strahlen.
Die resultierende Intensität bestimmst du einfach als Vektoraddition dieser Pfeile.
Bei zwei Pfeilen hast du zuerst einen Winkel von 0° zwischen ihnen. Der resultierende Vektor hat die Länge 2. Das ist dann dein Nulltes Maximum. Bei 180° hat dann das Resulat eine Länge von Null -> erstes Minimum. Dazwischen hast du Intensitäten von 0 bis 2.

Bei vier Pfeilen hast du erst auch 0°, alle Pfeile in die gleiche Richtung, konstruktive Interferenz-> 0. Maximum.
Dann hast du z.B. 90 grad zwischen Benachbarten pfeilen, bzw. eine Phasendifferenz von pi/2 oder Gangunterschied Lambda/2. Die Pfeile zeigen in die vier Himmelsrichtungen, und du hast keine Intensität. Wenn du den WInkel zwischen zwei benachbarten Winkeln etwas erhöhst, bekommst du wieder ein bischen Intensität. Interessant wirds wieder bei 180° bzw. 270°, bei 360° hast du dein Maximum erster Ordnung.
Damit hast du erstmal die drei WInkel hergeleitet. (und kannst damit auch allgemein die WInkel von MInima/Maxima bei beliebig vielen Spalten berechnen). Bei jedem der interessanten WInkel hast du auch noch den Gangunterschied zwischen zwei benachbarten Strahlen gegeben. Dafür malst du dir am besten eine Skizze oder suchst hier im FOrum nach meiner Herleitung der Maxima und Minima bei Einzel-und Doppelspalt.
Es sollte sowas wie Gangunterschied=Spaltabstand*sin(Beobachtungswinkel) rauskommen.
Mit dem WInkel und dem Schirmabstand und ein bischen Trigonometrie kommst du dann auch noch auf die Positoinen der Nebenminima auf dem Schirm.

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Shano



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Beitrag Shano Verfasst am: 19. Nov 2006 18:45    Titel: Antworten mit Zitat

kann man auch so rangehen: man geht davon aus dass die minima voneinander den gleichen abstand haben. wenn man nun von 4 spalten ausgeht, weis man dass zwischen dem max 0. Ordnung un dem Max 1.Ordnung 3 Minima liegen. Nun berechnet man den Abstand d des Max 1.Ordnung von der opt. Achse bzw dem Max 0.Ordnung. an den stellen x1=1/4*d ; x2=2/4*d und x3=3/4*d müssen dann ja die minima liegen, oder?

Shano
Nikolas
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Beitrag Nikolas Verfasst am: 20. Nov 2006 13:02    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn du zeigst, dass die Minima den gleichen Abstand haben, kannst du das so machen. Und das zu zeigen ist nicht möglich. Für kleine Winkel kannst du es als Näherung annehmen, aber allgemein ist es falsch.
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dermarkus
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 20. Nov 2006 14:44    Titel: Antworten mit Zitat

Shano hat Folgendes geschrieben:
Nun berechnet man den Abstand d des Max 1.Ordnung von der opt. Achse bzw dem Max 0.Ordnung.

Ich finde, das ist eine gute Idee, das solltest du mal als allererstes machen. Wo liegt das Maximum erster Ordnung auf dem Schirm? Kannst du mal deine Rechnung dafür samt Formeln hier hinschreiben?

Welche Bedingung für den Gangunterschied zwischen den Strahlen von zwei benachbarten Spalten verwendest du, um das auszurechnen?

-----------------

Wenn nun zwischen dem Maximum nullter Ordnung und dem Maximum erster Ordnung Minima sein sollen, dann muss ja für diese Minima der Gangunterschied zwischen den Strahlen von zwei benachbarten Spalten kleiner sein als der für die Maxima. Also lohnt es sich sicher, mal genauer hinzuschauen, was bei solchen Gangunterschieden passiert. Hast du dir dazu schon eine Skizze gemacht?

Für welchen Gangunterschied löschen sich denn die Strahlen zweier Spalte gerade gegenseitig aus? Welche Spaltabstände kommen in deinem Gitter von vier verschiedenen Spalten vor? Für welche Werte des Gangunterschiedes zwischen zwei benachbarten Spalten wirst du folglich Minima erhalten? Kannst du sogar vermuten, welche dieser Minima stärker ausgeprägt sein werden und welche weniger stark?
Shano



Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 16

Beitrag Shano Verfasst am: 20. Nov 2006 15:28    Titel: Antworten mit Zitat

also, zur ersten frage von markus:


sin(alpha)=lambda/g=....=59/5000

--> alpha=0,6761°

damit wäre der abstand d=tan 0,6761° * 2,4 m=2,83cm


so richtig?

also ich weis dass man die 4 spalte als ausgangspunkt einer elementarwelle sehen kann und man daher sagen kann dasss sie um 90°,180°,270° phasenverschon sein müssen damit sie sich in weiter entfernung am schirm auslöschen....gangunterschied würde ich mal lambda/2 sagen?!
dermarkus
Administrator


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Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 20. Nov 2006 15:38    Titel: Antworten mit Zitat

Shano hat Folgendes geschrieben:

sin(alpha)=lambda/g=....=59/5000

--> alpha=0,6761°

damit wäre der abstand d=tan 0,6761° * 2,4 m=2,83cm


so richtig?

Einverstanden smile Da hast du angesetzt, dass der Gangunterschied zwischen zwei Strahlen von benachbarten Spalten gleich lambda sein muss, damit man das Maximum erster Ordung erhält.

Zitat:

und man daher sagen kann dasss sie um 90°,180°,270° phasenverschon sein müssen damit sie sich in weiter entfernung am schirm auslöschen....

Das hast du jetzt aber geraten und nicht mit einer Skizze überlegt, nicht wahr? Mit dieser geratenen Vermutung bin ich nämlich nicht einverstanden.

Zitat:

gangunterschied würde ich mal lambda/2 sagen?!

Ich vermute, du möchtest damit sagen, dass sich die Strahlen zweier Spalte gegenseitig auslöschen, wenn ihr Gangunterschied gleich lambda/2 ist. Dann bin ich damit einverstanden.

Hast du dir nun schon eine konkrete Skizze aufgemalt? Vielleicht am besten mit einer Nummerierung der Spalte: Spalt 1, Spalt 2, Spalt 3 und Spalt 4.

Welchen Abstand haben diese Spalte jeweils voneinander? Welche verschiedenen Abstände kommen dabei vor?

Welche Beugungswinkel für Minima bekommst du also, und die Strahlen welcher Spalte löschen sich dabei jeweils gegenseitig aus?
Shano



Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 16

Beitrag Shano Verfasst am: 20. Nov 2006 17:43    Titel: Antworten mit Zitat

es kann sein dass ich dich vllt falsch verstehe, oder vllt auch du mich, da ich mich nicht richtig ausdrücke...

auf jeden fall habe ich für abstand d1(1.minimum nach dem Max 0. Ord. ; opt.Achse) heraus: d1=0,7080 cm....

ist das nun korrekt oder nicht?


ja, ich habe mir schon skizzen gemacht, aber inwieweit sie mir helfen die stellen der minima zu finden ist mir ehrlich gesagt nicht klar.....
danke für deine bisherige geduld...
dermarkus
Administrator


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Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 20. Nov 2006 17:58    Titel: Antworten mit Zitat

Shano hat Folgendes geschrieben:

auf jeden fall habe ich für abstand d1(1.minimum nach dem Max 0. Ord. ; opt.Achse) heraus: d1=0,7080 cm....

ist das nun korrekt oder nicht?

Das ist nicht korrekt, ich bekomme da einen anderen Wert.

Die Herleitung für diesen Abstand scheint mir auf deiner gefühlsmäßigen bzw. geratenen Annahme zu beruhen, die Minima, um die es hier geht, hätten aus irgendeinem Grund immer den gleichen Abstand voneinander. Diese Annahme ist, wie Nikolas es auch schon gesagt hat, nicht richtig.

Zitat:

ja, ich habe mir schon skizzen gemacht, aber inwieweit sie mir helfen die stellen der minima zu finden ist mir ehrlich gesagt nicht klar.....
danke für deine bisherige geduld...

Was bekommst du denn zum Beispiel konkret für ein Minimum, wenn du annimmst, dass sich die Strahlen von Spalt 1 und Spalt 2 gegenseitig auslöschen? Welchen Abstand haben diese beiden Spalte voneinander? Welchen Gangunterschied, sagtest du, müssen diese beiden Strahlen haben, damit ein Minimum entsteht? Welchen Wert für den Sinus des Beugungswinkels bekommst du also aus dem Dreieck in deiner Skizze?

Kannst du dieselbe Überlegung auch für Spalt 1 und Spalt 3 machen? Welchen Beugugswinkel bekommst du damit?

Findest du eine weitere Kombination von zwei Spalten, die noch einen anderen Abstand voneinander haben und damit noch einen anderen Beugungswinkel für ein Minimum?
Shano



Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 16

Beitrag Shano Verfasst am: 20. Nov 2006 18:15    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Was bekommst du denn zum Beispiel konkret für ein Minimum, wenn du annimmst, dass sich die Strahlen von Spalt 1 und Spalt 2 gegenseitig auslöschen? Welchen Abstand haben diese beiden Spalte voneinander? Welchen Gangunterschied, sagtest du, müssen diese beiden Strahlen haben, damit ein Minimum entsteht? Welchen Wert für den Sinus des Beugungswinkels bekommst du also aus dem Dreieck in deiner Skizze?



>>ok, die spalte haben den abstand 5,00*10^-5 m voneinander. damit sich die welle vom 1. spalt und die welle vom 2.spalt auslöschen müssten sie einen gangunterschied von 0,5 lambda haben. ich bekomme dann sinus(alpha)=0,5lambda/g ist das dann richtig?


wenn ja, kommt für alpha=0,33805° uns es geht so weiter: d1=tan(0,33805°*2,4m=0,01416m=1,4cm...

was mir aber komisch vorkommt, da laut meiner rechnung dass erste minumum fast in der mitte zwischen dem Max. 0. und dem Max 1. ordnung....[/quote]
dermarkus
Administrator


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Beitrag dermarkus Verfasst am: 20. Nov 2006 18:19    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden, da hast du schon mal ein Minimum gefunden smile

Findest du nun noch andere Minima, indem du dasselbe für zwei Spalte machst, die einen anderen Abstand als 5,00*10^-5 m voneinander haben?
Shano



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Beiträge: 16

Beitrag Shano Verfasst am: 20. Nov 2006 18:25    Titel: Antworten mit Zitat

ok, dann einfach den doppelten bzw dreifachen spaltabstand nehmen, würde heißen die minima liegen bei:

d3=0,01416m
d2=0,00708m
d1=0,004720m

richtig?
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 20. Nov 2006 18:31    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden smile Damit hast du die Aufgabe komplett und richtig gelöst smile

Falls du nun noch Lust auf die Bonusfrage hast, die ich oben gestellt habe (welche dieser drei Minima sind am stärksten ausgeprägt, also am dunkelsten, und welches dieser drei Minima ist am hellsten?), dann kannst du dir nun noch überlegen, welcher Spalt mit welchem weginterferiert beim jeweiligen Spaltabstand, und ob es einen Spaltabstand gibt, für den nicht alles Licht sich gegenseitig auslöscht, sondern etwas Licht an der Stelle des Minimums übrigbleiben wird smile
Shano



Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 16

Beitrag Shano Verfasst am: 20. Nov 2006 18:41    Titel: Antworten mit Zitat

ok,freut mich dass es nun richtig ist, aber ne andere frage: wie komme ich an die stelle des ersten minumums nach dem Max. 1.Ordnung?

denn ich sehe keine stelle in der rechnung bei der sich was ändert irgendwie....
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 20. Nov 2006 18:57    Titel: Antworten mit Zitat

Hm, gut dass du nachfragst.

Ich verrate erstmal die Lösung zu der Bonusfrage: Das Minimum für den dreifachen Spaltabstand ist kein völlig dunkles Minimum, weil da nur die Strahlen von Spalt 1 und Spalt 4 miteinander weginterferieren. Die Spalte 2 und 3 schicken also durchaus noch Licht auf den Schirm.

Die Minima für den einfachen und den doppelten Spaltabstand sind ganz dunkel, weil da jeweils Spalt 1 und 2 sowie Spalt 3 und 4 (einfacher Abstand) bzw. Spalt 1 und 3 sowie 2 und 4 miteinander weginterferieren.

---------------------------------

Deine berechtige Frage geht nun in die Richtung der Minima höherer Ordnung (die Minima, die wir bisher betrachtet haben, waren die Minima erster Ordnung.)

Mit welcher Bedingung für den Gangunterschied findest du nun diese Minima höherer Ordnung? Wo liegen diese Minima auf dem Schirm? Findest du also damit noch zusätzliche Minima zwischen 0. und 1. Maximum? Welche dieser Minima höherer Ordnung sind komplett dunkel?

---------------------

Ich vermute, wenn du das berechnet hast, und nur die komplett dunklen Minima zählst, dann wirst du am Ende etwas herausbekommen, das deiner anfänglichen Vermutung näher liegt als dem, was ich und Nikolas oben gesagt hatten!
Shano



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Beitrag Shano Verfasst am: 20. Nov 2006 22:31    Titel: Antworten mit Zitat

ohne jez gerechnet zu haben...das heisst dann dass die "dunklen minima" die strecke zwischen der optischen achse und dem maximum erster ordnung doch in gleiche teile trennen?

ist das richtig dass bei d=2,1241cm auch noch ein minima liegt irgendwie?
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 21. Nov 2006 00:05    Titel: Antworten mit Zitat

Um das herauszufinden, müssen wir das mal ausrechnen.

Was ist denn der Gangunterschied für die Minima höherer Ordnung? Nicht mehr 1*lambda/2, sondern ?
Shano



Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 16

Beitrag Shano Verfasst am: 21. Nov 2006 13:05    Titel: Antworten mit Zitat

Das wäre dann 3*lambda/2 Gangunterschied zwischen der 1. und 2. Elementarwelle.
Damit ergibt sich dann sin(alpha)=1,5lambda/g=(1,5*590*10^-9)/(5*10^-5)=0,0177 >>alpha=1,014188°

d_min=tan(1,014188°)*2,4m=4,25cm

für den gangunterschied 1,5 lambda zwischen dem 1. und dem 3. spalt ergibt sich dann sin(alpha)=1,5lambda/2g=...=0,00885 und alpha=0,50707°....d_2min=tan(alpha)*2,4m=2,124cm...

so und nun...denn das erste Max ist ja 2,8 cm entfernt. deswegen finde ich es sehr komisch...

und wenn man mal so vorgeht, dass man animmt dass die drei minima die strecke zwischen dem 0.Max und dem 1.Max in wirklich 4 gleichlange teilstrecken teilt. dann ergibt sich:

d_1min=1/4*0,02832197m=0,708cm
d_2min=2/4*0,02832197m=1,4161cm
d_3min=3/4*0,02832197m=2,124cm und das ähnelt meinem ergebnis oben genau......ich weis gerade wirklich nicht mehr welche stellen denn nun die komplett dunklen minima zwischem dem max 1.Ordnung und der opt. achse sind, vllt ist es das beste wenn du oder wer anders mal die lösungen hinschreibt und wir dann gemeinsam noch mal besprechen wie man draufkommt, denn dann verstehe ich es glaube ich am ehesten...

So long,shano
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 21. Nov 2006 13:25    Titel: Antworten mit Zitat

Shano hat Folgendes geschrieben:
Das wäre dann 3*lambda/2 Gangunterschied zwischen der 1. und 2. Elementarwelle.
Damit ergibt sich dann sin(alpha)=1,5lambda/g=(1,5*590*10^-9)/(5*10^-5)=0,0177 >>alpha=1,014188°

d_min=tan(1,014188°)*2,4m=4,25cm

für den gangunterschied 1,5 lambda zwischen dem 1. und dem 3. spalt ergibt sich dann sin(alpha)=1,5lambda/2g=...=0,00885 und alpha=0,50707°....d_2min=tan(alpha)*2,4m=2,124cm...

Einverstanden smile

Das sind nun die beiden Minima 2. Ordnung.

Wie du aus meiner Erklärung oben ("Lösung der Bonusfrage") sehen kannst, sind alle diese Minima "richtig dunkle" Minima, denn sie entstehen durch Auslöschung der Strahlen von direkt benachbarten Spalten oder (für den doppelten Spaltabstand) durch Auslöschung der Spalte 1 und 3 sowie der Spalte 2 und 4.

Die Aufgabenstellung hat also mit "Minima" nur die Stellen gemeint, an denen es ganz dunkel wird. Die Minima, die sich durch Auslöschung von Spalt 1 mit Spalt 4 ergeben, sind nicht komplett dunkel, also hat die Aufgabenstellung diese Mimima mit dreifachem Spaltabstand nicht mit gemeint.

Magst du dir nun mal den Spaß machen und das ganze auf einer Achse aufmalen? Zum Beispiel

rote Punkte an die Stellen des Maximums 0. Ordnung (d=0), 1. Ordnung (d=2,8 cm), 2. Ordnung (d= ?) und 3. Ordnung (d= ?),

schwarze Punkte an die Stellen des Minimums (von Spalt 1 und 2) erster Ordnung (d=1,416 cm), zweiter Ordnung (d=4,25 cm), dritter Ordnung (d= ?) und vierter Ordnung (d= ?)

und blaue Punkte an die Stellen des Minimums (von Spalt 1 und 3) erster Ordnung (d=0,708 cm), zweiter Ordnung (d=2,124 cm), dritter Ordnung (d= ?), ..., bis siebter Ordnung (d= ?)?

Ich glaube nämlich, so eine grafische Auftragung könnte deine verbleibenden Fragen sehr schnell klären smile
Shano



Anmeldungsdatum: 15.10.2006
Beiträge: 16

Beitrag Shano Verfasst am: 21. Nov 2006 13:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ok,
d_1min=1/4*0,02832197m=0,708cm
d_2min=2/4*0,02832197m=1,4161cm
d_3min=3/4*0,02832197m=2,124cm

die drei müssten dann die komplett dunklen minima sein.....
die "anderen minima" sind dann die nebenmaxima oder?
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 21. Nov 2006 13:50    Titel: Antworten mit Zitat

Einverstanden smile

Die "anderen" Minima sind dann dabei die Minima, die zum dreifachen Spaltabstand gehören. Die sind nicht komplett dunkel, also höchtenst reltive Minima, aber laut Aufgabenstellung keine "richtigen" Minima.

Die Minima höherer Ordnung, die du dir als blaue oder schwarze Punkte aufmalen würdest, sind allerdings echte, dunkle, richtige Minima.
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