Wärmekraftmaschine mit idealem Gas

Phil533 · Anmeldungsdatum: 15.01.2024 Beiträge: 3 Wohnort: Regensburg

Meine Frage:
Hallo, ich bin auf folgende Aufgabe gestoßen, finde aber einfach keine hilfreiche Formel:

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet mit 1 kmol eines idealen zweiatomigen Gases. Beginnend mit einer Temperatur T1 = 300 K wird das Gas zunächst von Zustand 1 in Zustand 2 sehr schnell expandiert bis es das doppelte Ausgangvolumen (V2 = 2*V1) erreicht hat. Dann erfolgt eine Abkühlung in den Zustand 3 auf die halbe Temperatur (T3 = T2/2), ohne das Volumen zu verändern. Eine sehr schnelle Kompression führt in Zustand 4 und eine Erwärmung bei wieder konstantem Volumen vervollständigt den Kreisprozess.

Frage: Berechne die Temperaturen T2 und T4 im zweiten und vierten Zustand. Ersatzlösung: T2 = 221 K, T4 = 141 K

Meine Ideen:
Meine bisher gesammelten Formeln sind folgende: p*V=n*R*T, U=Q*W, U=-p*V und EKin=1,5*N*k*T, N=2 -- Keine Garantie auf Richtigkeit!
Allerdings kann ich keine der Formeln anwenden, da ich bei jeder Berechnung scheinbar 3 Variablen angegeben sind, also der Druck p, das Volumen V und die Temperatur T - Jedoch ist nur T1 angegeben.

Kurzer Hinweis dazu: Die Aufgabe stammt aus dem Staatsexamen für Lehramt UF Physik, Bayern, Frühjahr 2021, eine Lösung zu dieser Aufgabe muss also existieren.

Vielen Dank für die Unterstützung!

Nobby1 · Anmeldungsdatum: 19.08.2019 Beiträge: 1549

Würde sagen T2 sind immer noch 300K, da pV = nRT, wenn p/2 bei 2V. T3 = T2/2 ist 150 K, was aber bei konstanten Volumen noch mal eine Halbierung des Druckes bedingt. Also p/4.
Die Kompression führt zu p/2 bei erreichen von V und die Erwärmung auf 300 k wieder zu p.
Kreislauf geschlossen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Zuerst würde ich eine Übersicht erstellen über die einzelnen Prozessschritte. Die 4 "einfachen" Zustandsänderungen sind: isotherm (T=const.), isobar (p=const.), isochor (V=const.), adiabatisch (dQ=0). Vielleicht den Kreisprozess auch in einem p-V-Diagramm skizzieren.
Das Wort "schnell" im Aufgabentext wird bedeuten, dass die betreffenden Prozesse so rasch ablaufen, dass zu wenig Zeit für einen Wärmeaustausch bleibt. D.h., der Prozess ist adiabatisch.
Die Übersicht beginnt also mit

Punkt 1: p1, V1, T1=300K
1 --> 2: adiabatisch
Punkt 2: p1,V2=2*V1,T2
2 --> 3: isochor
Punkt 3: p3, V3=V2,T3

Die genannten Gleichungen sind z.T. nicht richtig, zumindest nicht allgemein.
Grundsätzlich gilt für ein ideales Gas immer die Zustandsgleichung

(n=Stoffmenge). Für adiabatische Prozesse gelten bei einem idealen Gas die Adiabatengleichungen

Dabei ist kappa der Adiabatenkoeffizient, hier kappa=1.4 für ein zweiatomiges Gas.

T2 ist nicht gleich T1. Für T4 aber kann man die Rechnung etwas abkürzen und braucht nicht alle Schritte durchzurechnen. Das Volumen wechselt nur zwischen zwei verschiedenen Werten.

Nobby1 · Anmeldungsdatum: 19.08.2019 Beiträge: 1549

Warum geht nicht

Punkt 1: p1, V1, T1=300K
1 --> 2: isotherm
Punkt 2: p2 =0,5 p1,V2=2*V1, T2= T1
2 --> 3: isochor
Punkt 3: p3 = 0,25 p1, V3=V2,T3 = 0,5 T2
3--> 4: isotherm
Punkt 4: p4 = 0.5 p1 V4 = 0.5 V3, T4 = T3
4--> 1: isochor
Punkt 1: p1 = 2*p4 V1 = V4 T1 = 2 T4

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Bei einer isothermen Expansion muss Wärme zugeführt werden, damit die Temperatur konstant bleibt, z.B. durch einen Wärmeaustausch mit den Behälterwänden. Dafür wird Zeit benötigt. Im Aufgabentext steht jedoch

Phil533 · Anmeldungsdatum: 15.01.2024 Beiträge: 3 Wohnort: Regensburg

Vielen Dank für die Hilfe!

Also wenn ich es richtig verstehe, brauche ich in diesem Fall die Formel

, da die Änderung von 1 auf 2 adiabatisch abläuft.
Heißt also:

Daraus folgt dann:

und

.

Das wäre dann auch ziemlich ähnlich zu der angegebenen Zwischenlösung, könnte also stimmen?

Für T4 hätte ich einfach mal angenommen, dass das Volumen wieder auf das halbe Volumen verringert wird, damit wäre dann die Berechnung von T4 sehr ähnlich zu T2:

Stimmt das so?

Phil533 · Anmeldungsdatum: 15.01.2024 Beiträge: 3 Wohnort: Regensburg

Bzw. hier noch eine schönere Lösung mit dem gleichen Ergebnis wie meine Lösung, für alle, die das in Zukunft noch sehen sollten Big Laugh

Quelle: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik-abitur/artikel/adiabatische-zustandsaenderungen

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875