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Wärmekraftmaschine mit idealem Gas
 
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Phil533



Anmeldungsdatum: 15.01.2024
Beiträge: 3
Wohnort: Regensburg

Beitrag Phil533 Verfasst am: 15. Jan 2024 23:19    Titel: Wärmekraftmaschine mit idealem Gas Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo, ich bin auf folgende Aufgabe gestoßen, finde aber einfach keine hilfreiche Formel:

Eine Wärmekraftmaschine arbeitet mit 1 kmol eines idealen zweiatomigen Gases. Beginnend mit einer Temperatur T1 = 300 K wird das Gas zunächst von Zustand 1 in Zustand 2 sehr schnell expandiert bis es das doppelte Ausgangvolumen (V2 = 2*V1) erreicht hat. Dann erfolgt eine Abkühlung in den Zustand 3 auf die halbe Temperatur (T3 = T2/2), ohne das Volumen zu verändern. Eine sehr schnelle Kompression führt in Zustand 4 und eine Erwärmung bei wieder konstantem Volumen vervollständigt den Kreisprozess.

Frage: Berechne die Temperaturen T2 und T4 im zweiten und vierten Zustand. Ersatzlösung: T2 = 221 K, T4 = 141 K

Meine Ideen:
Meine bisher gesammelten Formeln sind folgende: p*V=n*R*T, U=Q*W, U=-p*V und EKin=1,5*N*k*T, N=2 -- Keine Garantie auf Richtigkeit!
Allerdings kann ich keine der Formeln anwenden, da ich bei jeder Berechnung scheinbar 3 Variablen angegeben sind, also der Druck p, das Volumen V und die Temperatur T - Jedoch ist nur T1 angegeben.

Kurzer Hinweis dazu: Die Aufgabe stammt aus dem Staatsexamen für Lehramt UF Physik, Bayern, Frühjahr 2021, eine Lösung zu dieser Aufgabe muss also existieren.

Vielen Dank für die Unterstützung!
Nobby1



Anmeldungsdatum: 19.08.2019
Beiträge: 1558

Beitrag Nobby1 Verfasst am: 16. Jan 2024 00:54    Titel: Antworten mit Zitat

Würde sagen T2 sind immer noch 300K, da pV = nRT, wenn p/2 bei 2V. T3 = T2/2 ist 150 K, was aber bei konstanten Volumen noch mal eine Halbierung des Druckes bedingt. Also p/4.
Die Kompression führt zu p/2 bei erreichen von V und die Erwärmung auf 300 k wieder zu p.
Kreislauf geschlossen.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5950

Beitrag Myon Verfasst am: 16. Jan 2024 08:59    Titel: Antworten mit Zitat

Zuerst würde ich eine Übersicht erstellen über die einzelnen Prozessschritte. Die 4 "einfachen" Zustandsänderungen sind: isotherm (T=const.), isobar (p=const.), isochor (V=const.), adiabatisch (dQ=0). Vielleicht den Kreisprozess auch in einem p-V-Diagramm skizzieren.
Das Wort "schnell" im Aufgabentext wird bedeuten, dass die betreffenden Prozesse so rasch ablaufen, dass zu wenig Zeit für einen Wärmeaustausch bleibt. D.h., der Prozess ist adiabatisch.
Die Übersicht beginnt also mit

Punkt 1: p1, V1, T1=300K
1 --> 2: adiabatisch
Punkt 2: p1,V2=2*V1,T2
2 --> 3: isochor
Punkt 3: p3, V3=V2,T3

Die genannten Gleichungen sind z.T. nicht richtig, zumindest nicht allgemein.
Grundsätzlich gilt für ein ideales Gas immer die Zustandsgleichung



(n=Stoffmenge). Für adiabatische Prozesse gelten bei einem idealen Gas die Adiabatengleichungen



Dabei ist kappa der Adiabatenkoeffizient, hier kappa=1.4 für ein zweiatomiges Gas.

T2 ist nicht gleich T1. Für T4 aber kann man die Rechnung etwas abkürzen und braucht nicht alle Schritte durchzurechnen. Das Volumen wechselt nur zwischen zwei verschiedenen Werten.
Nobby1



Anmeldungsdatum: 19.08.2019
Beiträge: 1558

Beitrag Nobby1 Verfasst am: 16. Jan 2024 09:56    Titel: Antworten mit Zitat

Warum geht nicht

Punkt 1: p1, V1, T1=300K
1 --> 2: isotherm
Punkt 2: p2 =0,5 p1,V2=2*V1, T2= T1
2 --> 3: isochor
Punkt 3: p3 = 0,25 p1, V3=V2,T3 = 0,5 T2
3--> 4: isotherm
Punkt 4: p4 = 0.5 p1 V4 = 0.5 V3, T4 = T3
4--> 1: isochor
Punkt 1: p1 = 2*p4 V1 = V4 T1 = 2 T4

Zitat:
Punkt 1: p1, V1, T1=300K
1 --> 2: adiabatisch
Punkt 2: p1,V2=2*V1,T2
2 --> 3: isochor
Punkt 3: p3, V3=V2,T3


Warum Punkt 1 zu 2 adiabatisch und nicht isobar Druck bleibt doch gleich
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5950

Beitrag Myon Verfasst am: 16. Jan 2024 11:07    Titel: Antworten mit Zitat

Bei einer isothermen Expansion muss Wärme zugeführt werden, damit die Temperatur konstant bleibt, z.B. durch einen Wärmeaustausch mit den Behälterwänden. Dafür wird Zeit benötigt. Im Aufgabentext steht jedoch

Zitat:
Beginnend mit einer Temperatur T1 = 300 K wird das Gas zunächst von Zustand 1 in Zustand 2 sehr schnell expandiert bis es das doppelte Ausgangvolumen (V2 = 2*V1) erreicht hat.


Bei einer adiabatischen Zustandsänderung ändern sowohl Volumen, Druck als auch Temperatur. Im p-V-Diagramm verlaufen die Adiabaten steiler als die Isothermen, da die Druckänderung bei gleicher Volumenänderung grösser ist als im isothermen Fall (z.B. schnelle Kompression --> Druck steigt stark, da auch Temperatur steigt, vgl. Fahrradpumpe).
Phil533



Anmeldungsdatum: 15.01.2024
Beiträge: 3
Wohnort: Regensburg

Beitrag Phil533 Verfasst am: 16. Jan 2024 14:39    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für die Hilfe!

Also wenn ich es richtig verstehe, brauche ich in diesem Fall die Formel , da die Änderung von 1 auf 2 adiabatisch abläuft.
Heißt also:

Daraus folgt dann:
und .

Das wäre dann auch ziemlich ähnlich zu der angegebenen Zwischenlösung, könnte also stimmen?

Für T4 hätte ich einfach mal angenommen, dass das Volumen wieder auf das halbe Volumen verringert wird, damit wäre dann die Berechnung von T4 sehr ähnlich zu T2:


Stimmt das so?
Phil533



Anmeldungsdatum: 15.01.2024
Beiträge: 3
Wohnort: Regensburg

Beitrag Phil533 Verfasst am: 16. Jan 2024 14:46    Titel: Antworten mit Zitat

Bzw. hier noch eine schönere Lösung mit dem gleichen Ergebnis wie meine Lösung, für alle, die das in Zukunft noch sehen sollten Big Laugh
Quelle: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/physik-abitur/artikel/adiabatische-zustandsaenderungen



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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5950

Beitrag Myon Verfasst am: 16. Jan 2024 15:08    Titel: Antworten mit Zitat

Phil533 hat Folgendes geschrieben:
Stimmt das so?

Ja, sehr gut! Thumbs up!
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