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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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 index_razor Verfasst am: 16. Jan 2023 12:10 Titel: Re: Hodge Stern und Skalarfeld |
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Für Aufgabe a) mußt du zeigen, daß
\rm{vol}) ,
wobei  = g^{\mu\nu}\omega_\mu\eta_\nu) das Skalarprodukt zwischen 1-Formen und  die Volumenform ist. So definiert man üblicherweise den Hodge-Operator auf 1-Formen. Aber die Aufgabe erwartet offenbar, daß du dies alles aus der gegebenen Formel für _{i_1,\cdots i_{d-p}}) herleitest. Das klingt zwar etwas mühsam, sollte aber auch machbar sein. Der erste Schritt wäre also die Berechnung von _{i_1i_2i_3}) mittels Gl. (6).
Mir kommt es aber einfacher vor, die Wirkung von  auf die Basisformen auszurechnen und zu verwenden, daß linear ist. Das geht in 4 Dimensionen auch noch ohne viel Kombinatorik und  -Gymnastik. Das einzige was man beachten muß, ist die richtige Reihenfolge der Basisformen und die Vorzeichen. Siehe dazu auch diesen Artikel.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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| TryingToUnderstandIt Verfasst am: 16. Jan 2023 13:55 Titel: |
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Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Wenn es einfaches Ausrechen ist, habe ich als erste Lösung für den Hodge-Stern:  = \frac{\sqrt{|det(g)|}}{1!} \epsilon_{i_{1}i_{2}i_{3}j_{1}}(d \phi)^{j_{1}} = \sqrt{|det(g)|} d\phi^{0} d\phi^{1} d\phi^{2} d\phi^{3} )
So richtig soweit ?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Jan 2023 15:05 Titel: |
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Nein, in der Formel kommt kein Produkt von  -Komponenten vor. Das kann auch nicht sein, da, wie gesagt, der Hodge-Operator linear ist.
Außerdem stimmt das Indexbild nicht;  ist ein Tensor 3. Stufe. Gl. (6) lautet angewendet auf die 1-Form
_{i_1i_2i_3} = \sqrt{|\det g|}\varepsilon_{i_1i_2i_3i_4}(\dd\phi)^{i_4}.)
Das stellt jede der vier Komponenten  von als Linearkombination der Komponenten von dar. (Wegen der Eigenschaft von  und der Orthogonalität der Basis bleibt von dieser Linearkombination jeweils nur ein Term stehen.)
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TryingToUnderstandIt
Anmeldungsdatum: 23.05.2022
Beiträge: 58
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| TryingToUnderstandIt Verfasst am: 16. Jan 2023 21:05 Titel: |
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Kurz zu deiner Schreibweise: Dein i4 ist mein j1, oder? Wenn ja, warum kann ich dieses bei der Lin. Komb. vernachlässigen? Ist es, weil es durch das Setzen von i1-i3 schon gegeben ist, was i4 sein soll, weil für gleiche Indizes ja 0 beim Levi-Civita-Symbol rauskommt?
Dann noch zum weiterführenden: Wenn ich den Hodge ausrechnen mit dem Levi-Civita, komme ich auf nur 2 Werte, weil sonst entweder =0 ist oder es sich gegenseitig rauskürzt. _{012}) = d \phi ^{3} | (\star d\phi)_{123}) = d \phi ^ {0} )
Dass kann aber schon allein deswegen nicht sein, weil im Endintegral ja 4 verschiedene Komponente gebraucht werden, wie du ja auch schon gesagt hast. Auch bin ich mir nicht sicher, wie ich dass im Wedge später gebrauchen kann.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 17. Jan 2023 12:58 Titel: |
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| TryingToUnderstandIt hat Folgendes geschrieben: | Kurz zu deiner Schreibweise: Dein i4 ist mein j1, oder?
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Ja, wie man den Index nennt, spielt keine Rolle, solange man ihn von den anderen drei unterscheidet.
| Zitat: |
Wenn ja, warum kann ich dieses bei der Lin. Komb. vernachlässigen? Ist es, weil es durch das Setzen von i1-i3 schon gegeben ist, was i4 sein soll, weil für gleiche Indizes ja 0 beim Levi-Civita-Symbol rauskommt? |
Ja, das ist der Grund, warum nur ein Term in der Linearkombination übrigbleibt (d.h. ungleich null ist; vernachlässigt wird nichts). Drei Indizes sind durch die Komponente von festgelegt. Sie alle sind voneinander verschieden, und es gibt nur eine Zahl von 0 bis 3, die von allen anderen drei verschieden ist.
| Zitat: |
Dann noch zum weiterführenden: Wenn ich den Hodge ausrechnen mit dem Levi-Civita, komme ich auf nur 2 Werte, weil sonst entweder =0 ist oder es sich gegenseitig rauskürzt.
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Dann hast du dich bei den anderen Komponenten verrechnet. Bei _{123}) fehlt außerdem ein Minuszeichen, wenn ich mich nicht täusche. Schreibe am besten mal auf, was du gerechnet hast.
| Zitat: | | Auch bin ich mir nicht sicher, wie ich dass im Wedge später gebrauchen kann. |
Wie habt ihr denn das äußere Produkt definiert?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 17. Jan 2023 18:14 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Bei fehlt außerdem ein Minuszeichen, wenn ich mich nicht täusche. Schreibe am besten mal auf, was du gerechnet hast.
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Ich habe gerade den Verdacht, daß in Gl. (6) ein Fehler steckt und es eigentlich
_{i_1\cdots i_{d-p}} = \frac{\sqrt{|\det g|}}{p!} \varepsilon_{j_1\cdots j_p, i_1\dots i_{d-p}} \omega^{j_1\cdots j_p})
heißen müßte. Wenn das stimmt, dann fehlt das Minuszeichen in der Komponente _{012}) .
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