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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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 Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Jun 2022 18:08 Titel: Wieso ergibt Minus dividiert durch Minus Plus? |
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[jh8979: Ich habe den ersten Beitrag dieses Threads in den Spam verschoben, wo er schon immer hingehörte. Remzi trollt das Forum mit fundierter Unkenntnis. Da so viele geantwortet und diskutiert hatten, habe ich den Rest der Beiträge belassen. Die Ursprungsfrage war:
Wieso ergibt Minus dividiert durch Minus Plus?]
| [email protected] hat Folgendes geschrieben: | -5 * -1 = ?5
Die Gleichung etwas umgestellt.
-5 = ?5 : -1 |
Ich denke, dieser Schritt ist nicht zulässig. Denn damit du eine Gleichung umstellen kannst, musst du erstmal zeigen, dass diese Umstellung korrekt ist. Du hast ja gesagt, dass du ohne Vorannahmen auskommen willst, damit fallen aber auch alle Werkzeuge, mit denen man normalerweise Gleichungen umstellt alle weg.
EDIT:
| [email protected] hat Folgendes geschrieben: |
Bei der obigen Frage „wie oft“ (Anzahl), ist naturell eine positive Zahl! (Gebe zu das ist eine Annahme, auch wenn es logisch und selbstverständlich ist). |
Definiere "selbstverständlich". Das ist ein subjektiver Begriff und hat in einer Beweisführung nichts zu suchen.
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Ihr da Ohm macht doch Watt ihr Volt! |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Jun 2022 18:32 Titel: |
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warst etwas schneller, wollte ich auch gerade schreiben.
Zur Umstellung braucht man mindestens (!) die Voraussetzung der Assoziativität, das ist aber ein Axiom der Abelschen Gruppen, Ringe und Körper.
Weiterhin muss man vorher festlegen, was überhaupt Division ist, denn Division ist eigentlich keine mathematische Operation (sondern es ist die Multiplikation mit dessen Inversem Element).
Und wir müssen dazu vorher festlegen, was überhaupt ein Inverses Element ist, ob oder wann es überhaupt in welcher Zahlen-Menge existiert, und welche Eigenschaften es bzgl. der Multiplikation hat.
Das ist ebenfalls als Axiom der Abelschen Gruppen, Ringe und Körper festgelegt.
Ebenso wird die Distributivität benötigt, wenn man negative Zahlen als Vielfache von -1 und einer positiven Zahl herausmultiplizieren will: auch ein Axiom der Abelschen Gruppen, Ringe und Körper.
Ob hier und da auch noch Kommutativität erfüllt sein muss, wäre übrigens auch noch überlegenswert.
Also:
rechnen ohne Rechenregeln geht nicht: erst muss man die Regeln festlegen, und das sind genau die Axiome.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Jun 2022 18:55 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Ebenso wird die Distributivität benötigt, wenn man negative Zahlen als Vielfache von -1 und einer positiven Zahl herausmultiplizieren will: auch ein Axiom der Abelschen Gruppen, Ringe und Körper. |
Distributivität ist kein Gruppenaxiom.
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It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Jun 2022 19:02 Titel: |
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nein, ich schrieb ja Gruppen, Ringe und Körper - in diesem Falle sind die Zahlenmengen mit den Gruppen per Addition und ggf. den Gruppen per Multiplikation (ohne Null) untereinander betroffen, was man dann zu Ring- oder Körperaxiomen zusammenführen kann.
Oben ist aber noch nicht einmal beschrieben, in welchem Zahlenraum überhaupt gerechnet werden soll.
Aber es war unsauber formuliert, zugegeben.
Der wesentliche Punkt aber ist:
Erst braucht man die Axiome als Rechenregeln.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 22. Jun 2022 19:49 Titel: |
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Distributivität ist kein Axiom.
Wenn man jedoch Distributivität
 = a \cdot b + a \cdot c)
fordert, dann muss "Minus * Minus = Plus" aus Konsistenzgründen gelten.
Beispiel:
 \cdot (4 - 7) = (-2) \cdot (-3) = 6)
Andernfalls d.h. für "Minus * Minus = Minus" folgt unter Verwendung weiterer Regeln ein Widerspruch:
 \cdot (4 - 7) = (-2) \cdot (-3) = -6)
 \cdot (4 - 7) = (-2) \cdot 4 + (-2) \cdot (-7) = -8 + (-14) = -22)
D.h. bei Verwendung der Regel "Minus * Minus = Minus" müssen zwingend andere Rechenregeln modifiziert werden, um Inkonsistenzen zu vermeiden.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Jun 2022 20:01 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Distributivität ist kein Axiom. |
Du mußt schon sagen auf welche Theorie du dich beziehst. Für Körper, wie die rellen Zahlen, verwendet man das Distributivitätsgesetz normalerweis als Axiom.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 22. Jun 2022 20:14 Titel: |
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Du hast recht, für Körper ist das der Fall.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 22. Jun 2022 20:47 Titel: |
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Ja, hatte ich ja oben schon gesagt, für Körper ist das der Fall.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Dass dann minus mal minus = plus folgt, ist klar, eben auf der Basis der Axiome (aber nicht ohne Axiome). |
Das ist aber keine Begründung.
Die Frage lautet “wieso ergibt Minus mal Minus Plus?” Die Antwort “weil das axiomatisch so festgelegt ist”, ist unbefriedigend.
Axiome sollen im günstigsten Fall einfach und natürlich sein. Im vorliegenden Fall ist unmittelbar einsichtig, dass die Verträglichkeit von Addition und Multiplikation vorliegen soll.
Konkretes Beispiel ist der zeitabhängige Abstand zweier Autos, die mit konstanter Geschwindigkeit fahren:
 = t \cdot v_1 - t \cdot v_2 )
Es wäre sehr unnatürlich, wenn die beiden folgenden Perspektiven nicht zu identischem Abstand führen würden:
links: die Relativgeschwindigkeit
ist bekannt; daraus folgt der Abstand
 = t \cdot v)
rechts: die Einzelgeschwindigkeiten und die jeweils zurückgelegten Strecken
 = t \cdot v_i)
sind bekannt; daraus folgt der Abstand
 = s_1(t) - s_2(t))
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Jun 2022 20:55 Titel: |
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| Zitat: | | Das ist aber keine Begründung. |
Selbstverständlich ist das eine.
Und jetzt hör doch auf, hier wieder spitzklickerisch und überkandidelt mit Formeltohuwabohu herumzuphilosophieren.
Wenn man die Axiome z.B. von Zahlen-Körpern (wie Q oder R, da darf man dann ja auch "dividieren") zugrundelegt (siehe Wikipedia-Links), dann kann man ganz einfach zeigen, dass minus mal minus = plus ist. Das ist nicht unbefriedigend, sondern logisch. Und welche Bedingungen für Körper gelten müssen, legen nun mal ihre Axiome fest.
Wir reden hier schlicht von Rechnen in angeordneten Körpern (wie Q oder R), wo es positive und negative Zahlen gibt.
Ohne irgendwelche Axiome aber geht hier überhaupt nichts, das war die Aussage. Erst die Axiome, dann das Rechnen.
Punkt.
(Dass Physiker ständig irgendwie was rechnen, ohne sich um irgendwelche Axiome zu scheren, weil sie wissen was rauskommt, steht auf einem anderen Blatt.)
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 22. Jun 2022 21:08, insgesamt einmal bearbeitet |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Jun 2022 21:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Andernfalls d.h. für "Minus * Minus = Minus" folgt unter Verwendung weiterer Regeln ein Widerspruch:
...
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Hallo TomS,
zwei Kritikpunkte:
1. Bei dem Widerspruchbeweist, nimmst du an, dass es überhaupt ein konsistentes Regelwerk gibt (Möglichkeit 1 führt zum Widerspruch, also muss die Möglichkeit 2 korrekt sein). Es könnte aber auch sein, dass es überhaut keine konsistente Mathematik gibt und beide Varianten zu Widersprüchen führt.
2. Du verwendest die Regel Minus * Plus = Minus. Dies müsste man vorher erstmal beweisen.
Viele Grüße,
Nils
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Jun 2022 21:16 Titel: |
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egal was hier jemand auch annehmen will, und sei es noch so anden Haaren herbeigezogen:
Ohne Rechenregeln (Axiome) geht nichts.
Aber nachdem zB Q und R angeordnete Körper (+,⋅) sind, gelten nun mal die Axiome für angeordnete Körper und keine anderen.
Und hier kann nicht (a ⋅ x) = a ⋅ (-x) = -(a ⋅ x) sein (für a>0, x>0)
und auch nicht ((-a) ⋅ (-x)) = (a ⋅ (-x)) = -(a ⋅ x)
denn sonst wäre ein Element ungleich Null gleichzeitig sein eigenes Inverses, was aber wegen der Eineindeutigkeit des Inversen (Axiom!) nicht möglich ist.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 22. Jun 2022 21:34 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Andernfalls d.h. für "Minus * Minus = Minus" folgt unter Verwendung weiterer Regeln ein Widerspruch:
...
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Hallo TomS,
zwei Kritikpunkte:
1. Bei dem Widerspruchbeweist, nimmst du an, dass es überhaupt ein konsistentes Regelwerk gibt (Möglichkeit 1 führt zum Widerspruch, also muss die Möglichkeit 2 korrekt sein). Es könnte aber auch sein, dass es überhaut keine konsistente Mathematik gibt und beide Varianten zu Widersprüchen führt.
2. Du verwendest die Regel Minus * Plus = Minus. Dies müsste man vorher erstmal beweisen.
Viele Grüße,
Nils |
Du hast natürlich recht.
Ich wollte ja nur zeigen, was schief gehen kann, wenn man eine andere Regel für die Multiplikation einführt. Ob und wie man das anders als üblich repariert, interessiert mich nicht ;-)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 22. Jun 2022 21:37 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | egal was hier jemand auch annehmen will, und sei es noch so anden Haaren herbeigezogen:
Ohne Rechenregeln (Axiome) geht nichts. |
Klar.
Wie gesagt, es geht nur darum, zu erklären, warum das Distributivgesetz sinnvoll ist.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 22. Jun 2022 21:40 Titel: |
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@terminus - zu deinem andern Beitrag: wenn du jetzt meinst, dich wieder mal im Ton vergreifen zu müssen, dann ist - wieder mal - Sendepause.
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Jun 2022 21:56 Titel: |
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Ich denke man benötigt zumindest folgende 3 Axiome:
Axiom 1: Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation, genannt "0", sodass für alle Zahlen a stets gilt:
a*0 = 0
Axiom 2: Jede Zahl besitzt ein inverses Element der Addition, bezeichnet als "-a", sodass gilt:
a + (-a) = 0
Die Zuordnung einer Zahl zu seinem inversen Element ist eineindeutig, d.h. es gilt stets:
a + x = 0 => x = -a
(-a) + x = 0 => x = a
Axiom 3: Es gilt das Distributivgesetz:
a + (b * c) = a*b + a*c
Nun kann man für beliebige Zahlen a und b folgende zwei Sätze beweisen
1. Satz: a*(-b) = -(a*b)
Beweis:
0 = a*0 = a*(b + (-b)) = a*b + a*(-b)
Wegen Axiom 2 muss a*(-b) das inverse Element von a*b sein, es gilt also:
a*(-b) = -(a*b)
q.e.d.
2. Satz: (-a)*(-b) = a*b
Beweis:
0 = (-a)*0 = (-a)*(b + (-b)) = (-a)*b + (-a)*(-b) = -(a*b) + (-a)*(-b)
wobei für das letzte Gleichheitszeichen der zuvor bewiesene Satz 1 verwendet wurde.
Nach dem 2. Axiom muss (-a)*(-b) die Zahl zur Gegenzahl -(a*b), sein d.h.
(-a)*(-b) = a*b
q.e.d
Viele Grüße,
Nils
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 22. Jun 2022 22:03 Titel: |
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Schön 
Probier doch mal, was hier passiert: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Near-field_(mathematics)
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 22. Jun 2022 22:07, insgesamt einmal bearbeitet |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Jun 2022 22:03 Titel: |
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@nils:
genau so habe ich es oben gemeint und auch schon angedeutet.
Aus den Axiomen folgt der Beweis, dass minus mal minus = plus ist.
Das ist die logische Begründung und das ist auch befriedigend.
(Und ich habe mich nirgends im Ton vergriffen; dass Physiker rechnen wie sie wollen, weil sie wissen was raus kommt, war ein bereits schon früher gebrachtes Zitat von Prof. Claus, Uni Münster, bezogen auf seine Vorlesung "Mathematik für Physiker".)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 22. Jun 2022 22:12 Titel: |
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Klar, du bist hier der Schlaubi-Schlumpf.
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Jun 2022 22:14 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Schön
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Danke!
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jun 2022 22:17 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: |
Axiom 1: Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation, genannt "0", sodass für alle Zahlen a stets gilt:
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Kleiner Schönheitsfehler: 0 ist nicht das, was man als neutrales Element der Multiplikation bezeichnet. a*0=0 ist alles andere als neutral für a.  |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Jun 2022 22:25 Titel: |
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das hier stimmt aber nicht:
| Zitat: | Axiom 1: Es gibt ein neutrales Element der Multiplikation, genannt "0", sodass für alle Zahlen a stets gilt:
a*0 = 0 |
das neutrale Element der Multiplikation ist die 1., das ist bereits axiomatisch festgelegt.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Jun 2022 22:26 Titel: |
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edit,
uups, jh8979 war schneller, das wurde mir komischerweise beim Posten vorher nicht angezeigt.
Es gilt aber:
| Zitat: | | Jeder Körper ist nullteilerfrei: Ein Produkt zweier Elemente des Körpers ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. |
| Zitat: | Das neutrale Element 0 der Addition ist absorbierendes Element der Multiplikation:
0 ⋅ a = ( 0 + 0 ) ⋅ a (0 als neutrales Element der Addition)
= ( 0 ⋅ a ) + ( 0 ⋅ a ) (rechte Distributivität)
= 0 (Eindeutigkeit des neutralen Elements)
Gespiegelt:
a ⋅ 0 = 0 . |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 22. Jun 2022 22:50 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
Kleiner Schönheitsfehler: 0 ist nicht das, was man als neutrales Element der Multiplikation bezeichnet. a*0=0 ist alles andere als neutral für a. :) |
Danke für den Hinweis! Ihr habt natürlich Recht, 0 ist nicht neutral, sondern sozusagen der Terminator der Multiplikation :)
Das 1. Axiom muss also richtigerweise heißen: Es gibt ein neutrales Element der Addition, bezeichnet als "0", sodass für alle Zahlen a gilt:
a + 0 = a
Und als 0. Satz muss man zunächst zeigen, dass a*0 = 0 ist, was ich hiermit nachhole:
Satz 0: Für alle Zahlen a gilt: a*0 = 0
Beweis:
a*0 = 0 + a*0 = -(a*0) + a*0 + a*0 = -(a*0) + a(0+0) = -(a*0) + a*0 = 0
q.e.d
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[email protected]
Anmeldungsdatum: 16.01.2022
Beiträge: 74
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| [email protected] Verfasst am: 22. Jun 2022 23:42 Titel: Re: NEU - Wieso ergibt Minus dividiert durch Minus Plus? |
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Als Antwort für Alle:
Siehe nachträglich eingefügter Teil im Haupt-Beitrag.
Grüße
Remzi Öztürk
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Nichts ist unmöglich. THINK DIFFERENT! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jun 2022 23:48 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: |
Danke für den Hinweis! Ihr habt natürlich Recht, 0 ist nicht neutral, sondern sozusagen der Terminator der Multiplikation
|
"Terminator" find ich ziemlich geil als Bezeichnung   |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 22. Jun 2022 23:56 Titel: Re: NEU - Wieso ergibt Minus dividiert durch Minus Plus? |
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| [email protected] hat Folgendes geschrieben: |
Als Antwort für Alle:
Siehe nachträglich eingefügter Teil im Haupt-Beitrag.
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Das ist die dämlichste Art eine Konversation in einem Forum zu führen.
Als Moderator:
Ich hätte Deinen ersten Beitrag als Moderator sofort gelöscht. Du schreibst hier nur Spam. Du bist ein Foren-Troll (wer 50 von 58 Beiträgen im Spam hat, muss sich diese Bezeichnung gefallen lassen).
Es gab aber Leute, die hier ernsthaft mit Dir diskutieren wollten. Du hast gezeigt, dass Du das nicht möchtest. Feierabend hier. Erster Spam-Beitrag von Dir gelöscht. |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 23. Jun 2022 06:31 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | Ich denke man benötigt zumindest folgende 3 Axiome: [..]
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Jup, vorausgesetzt, man versteht überhaupt was ein mathematischer Beweis ist und ist in der Lage, mit abstrakten mathematischen Strukturen zu hantieren 
Was man zumindestens einsehen können sollte, ist, dass (-1)*(-1)=1 ist, was wiederum aus deinen 3 Axiomen folgt:
-a = 0-a = (-1)*a = a*(-1) und -(-a)=a
-> 1=-(-1)=(-1)*(-1)
Draus folgt, dass Paare von (-1) zu 1 "kontrahieren" und aufgrund der Eindeutigkeit der Inversen auf beiden Seiten einer Gleichung die gleiche "Signatur" (+/-) vorhanden sein muss.
Da sich Divisionen auf Multiplikationen zurückführen lassen, sind dann auch alle Vorzeichenregeln festgelegt, auch für beliebige Produktterme [zB. a*(-b)*c*(-d)*..] |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 23. Jun 2022 11:39 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: |
Danke für den Hinweis! Ihr habt natürlich Recht, 0 ist nicht neutral, sondern sozusagen der Terminator der Multiplikation :)
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"Terminator" find ich ziemlich geil als Bezeichnung :D :thumb: |
der Fachterminus heißt "absorbierendes Element", s. mein obiger Post 8-)
(das braucht man auch nicht als Axiom zu formulieren, dessen Existenz samt Rechenregeln folgt aus den anderen Axiomen wie gezeigt).
@mods/admins:
bitte die mehrfachen redundanten c+p Posts von [email protected] löschen!
@alle:
dass man ausgehend z.B. von den Axiomen zu angeordneten Körpern völlig eindeutig folgern kann, dass "minus mal minus = plus" ist, haben nun schon viele Leute (inkl. mir) dargelegt.
Der Punkt ist:
Es geht NICHT OHNE Axiome, und das ist es, was [email protected] einfach verstehen muss - er setzt ja auch selber Axiome stillschweigend und suggestiv voraus in seiner angeblich (!) axiomfreien "Beweis"-Führung.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 23. Jun 2022 17:50 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | Der Punkt ist:
Es geht NICHT OHNE Axiome ... |
Richtig.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18074
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| TomS Verfasst am: 23. Jun 2022 17:51 Titel: |
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Ich denke, es gibt hier keinen Diskussionsbedarf mehr. Falls doch, gerne eine PN.
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