| Autor |
Nachricht |
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
 frage1 Verfasst am: 11. Jun 2022 18:24 Titel: Mittelwerte der Ekin und Epot |
 |
|
Hallo alle!
Es geht hier um die folgende Aufgabe (siehe Anhang). Könnt ihr mir erklären, wie ich hier genau vorgehen muss? Ich versteh´ nicht was ich hier genau machen muss. Da hier das standardintegral gegeben ist, muss ich hier bestimmt die Wellenfunktion normieren. Das habe ich auch getan, aber wie soll es dann weitergehen? Könnt ihr mal bitte einen Blick werfen?
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
F7785391-D13C-44F9-8D56-97B7C298579C.jpeg |
| Dateigröße: |
59.67 KB |
| Heruntergeladen: |
133 mal |
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
95938945-E680-4A20-8410-CD1366BEFA49.jpeg |
| Dateigröße: |
60.57 KB |
| Heruntergeladen: |
98 mal |
|
|
 |
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 11. Jun 2022 22:32 Titel: |
|
|
Normiert ist es doch schon (Bei deiner Rechnung fehlen anscheinend die Winkel also die 4 pi)
Für den Mittelwert ist es die übliche Rechnung
|
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 12. Jun 2022 00:50 Titel: |
|
|
Danke für deine Rückmeldung jmd!
Also so? Stimmt der Ansatz?
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
5723503C-6EAF-4760-95E6-43776C9801EC.jpeg |
| Dateigröße: |
51.16 KB |
| Heruntergeladen: |
78 mal |
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 12. Jun 2022 10:38 Titel: |
|
|
Du musst den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten verwenden, vgl. hier.
Da psi nur von r abhängt, bleibt
)
Ich will Dich nicht entmutigen, aber die Rechnung wird etwas mühsam, und es gibt zahlreiche Gelegenheiten, sich zu verrechnen. Rechne zuerst  aus und setze das dann ins Integral ein.
Zum Erwartungswert der pot. Energie: hierzu muss man natürlich wissen, dass es um das Wasserstoffatom geht - etwas seltsam, dass dies nicht angegeben ist. Das Potential ist also
=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r})
|
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 12. Jun 2022 10:44 Titel: |
|
|
|
Muss man die kinetische Energie überhaupt ausrechnen. Ist die nicht Null beim s Orbital?
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 12. Jun 2022 11:13 Titel: |
|
|
|
Wäre die mittlere kinetische Energie gleich null, wäre auch die Gesamtenergie gleich null (Virialsatz), und dies wäre auch im Widerspruch zur Unschärferelation.
|
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 12. Jun 2022 13:32 Titel: |
|
|
Myon, wie bist du auf diese Umformung gekommen 1/r^2 d/dr (r^2 dpsi/dr)?
Muss man das auswendig können oder gibt es da eine Tabelle?
Und wie soll ich psi ausrechnen? Ich muss dann die Wellenfunktion normieren und die Normierungskonstante berechnen, oder?
Edit: Normalerweise muss ich bei solchen Aufgaben zuerst einmal die Wellenfunktion quadrieren und dann den operator der Ekin und den Operator der Epot auf die WF wirken lassen. Stimmt der Gedankengang so?
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 12. Jun 2022 14:38 Titel: |
|
|
| frage1 hat Folgendes geschrieben: | Myon, wie bist du auf diese Umformung gekommen 1/r^2 d/dr (r^2 dpsi/dr)?
Muss man das auswendig können oder gibt es da eine Tabelle?
Und wie soll ich psi ausrechnen? Ich muss dann die Wellenfunktion normieren und die Normierungskonstante berechnen, oder? |
Ich habe nichts nichts umgeformt, sondern nur den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten hingeschrieben, wie man ihn z.B. im oben verlinkten Artikel findet. Die weiteren Terme des Operators fallen weg bzw. sind gleich null, da psi nicht von theta und phi abhängt.
Man kann den Operator in Kugelkoordinaten herleiten, indem man schreibt
etc. und dann alles durch  ausdrückt und nochmals ableitet. Aber das wäre eine eigene Übungsaufgabe und man kann das nachschlagen.
 ist gegeben. Es handelt sich um die Wellenfunktion für den Zustand n=2, l=m=0 des Wasserstoffatoms, vgl. hier. Die Funktion ist bereits normiert.
Zu berechnen ist also
\frac{-\hbar^2}{2m}\Delta\psi(r)\,r^2\,\dd r)
Zuerst würde ich einmal nur ausrechnen.
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 12. Jun 2022 14:52 Titel: |
|
|
Also so beginnen:
\exp(-\frac{r}{2a_0})\right)\right))
\exp(-\frac{r}{2a_0}))=...)
mit
^\frac{3}{2})
edit: (vermutlicher) Vorzeichenfehler korrigiert.
Zuletzt bearbeitet von Myon am 12. Jun 2022 21:08, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 12. Jun 2022 17:48 Titel: |
|
|
Vielen vielen Dank Myon für deine ausführliche Erklärung und Geduld!
Wenn ich das ganze ableite, kommt bei mir was anderes heraus, und zwar das hier:
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
C8429BEE-A275-4F43-A155-AC852A6C325E.jpeg |
| Dateigröße: |
59.04 KB |
| Heruntergeladen: |
70 mal |
|
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 12. Jun 2022 19:49 Titel: |
|
|
| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Zu berechnen ist also
Zuerst würde ich einmal nur ausrechnen. |
Man benötigt nur  , da
 = \|\nabla\psi\|^2 + \psi^\ast\cdot\Delta\psi)
und das Integral über die linke Seite verschwindet. Wegen der Kugelsymmetrie ist außerdem  , was die Rechnung erheblich vereinfacht
 .
_________________
It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 12. Jun 2022 21:15 Titel: |
|
|
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Man benötigt nur , da
und das Integral über die linke Seite verschwindet. |
Danke, ich schau mir das morgen gerne an, zumindest im Moment ist es mir zu hoch. Weshalb verschwindet das Integral über die linke Seite?
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 12. Jun 2022 21:28 Titel: |
|
|
@frage1: Ich konnte Deine Rechnung nicht recht nachvollziehen.
\exp(-\frac{r}{2a_0})\right)}\right))
Wenn wir uns jetzt mal nur den oben markierten Teil anschauen:
}_u\underbrace{\exp(-\frac{r}{2a_0}))}_v=\underbrace{-\frac{1}{a_0}}_{u'}\underbrace{\exp(-\frac{r}{2a_0})}_v+\underbrace{(2-\frac{r}{a_0})}_u\underbrace{(-\frac{1}{2a_0}\exp(-\frac{r}{2a_0}))}_{v'})
\exp(-\frac{r}{2a_0}))
Dann dies mit r^2 multiplizieren und nochmals nach r ableiten, dabei wiederum die Produktregel anwenden.
Rechenfehler vorbehalten!
|
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 12. Jun 2022 21:48 Titel: |
|
|
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Weshalb verschwindet das Integral über die linke Seite? |
Weil es sich in ein Oberflächenintegral über  umwandeln läßt, was rapide für  verschwindet. Das muß auch so sein, weil
wegen der Hermitezität von  .
_________________
It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 13. Jun 2022 14:40 Titel: |
|
|
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Weil es sich in ein Oberflächenintegral über umwandeln läßt, was rapide für verschwindet. |
Dass sich das Integral in ein Oberflächenintegral umwandeln lässt und dieses gegen null abfällt, darauf hätte ich eigentlich noch selber drauf kommen können. Aber sonst wäre ich nie auf den Trick mit dieser Umformung gekommen, dazu fehlen mir die Erfahrung und Sicherheit im Umgang mit den Differantialoperatoren. Und vieles habe ich wieder vergessen.
Aber ich habe mir nun alles herausgeschrieben. Und ich habe <Ekin> auf beide Wege berechnet -nicht, weil ich an der Umformung gezweifelt hätte, aber ich wollte es einfach durchrechnen. Hab mich zwar mehrmals blöd vertan, aber dann ging alles schön auf. Da auch der Virialsatz bestätigt wird, sollte tatsächlich alles stimmen - ein kleines Erfolgserlebnis.
Vielen Dank für den Tipp, über solche Hinweise freue ich mich sehr!
|
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 13. Jun 2022 20:23 Titel: |
|
|
Erstmal vielen Dank für die ganzen Erklärungen Leute!
Aber ich bin ehrlich gesagt nicht wirklich mitgekommen. Also ich leite jetzt 2x ab, wie du´s schon gesagt hast Myon. Was muss ich als nächstes machen?
Sicherheitshalber lade ich mein aktuelles Ergebnis mit der Ableitung hier hoch:
Zuletzt bearbeitet von frage1 am 14. Jun 2022 10:20, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18016
|
| TomS Verfasst am: 13. Jun 2022 20:50 Titel: |
|
|
Du kannst zweimal ableiten
und integrieren, oder du benutzt
 (\nabla \psi ) + \nabla ( \psi^\ast \nabla \psi ))
d.h. einmal ableiten und integrieren, wobei das Integral über den zweiten Term verschwindet.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
jmd
Anmeldungsdatum: 28.10.2012
Beiträge: 577
|
| jmd Verfasst am: 14. Jun 2022 21:44 Titel: |
|
|
Ich frage mich ob man  auch vereinfachen kann
Das wäre von Bedeutung wenn man  berechnen will
Auch der Kommutator  wäre interessant
|
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 15. Jun 2022 08:51 Titel: |
|
|
Ich weiß nicht, ob ich da richtig gerechnet habe. Aber ich kann hier das standardintegral nicht anwenden. Habe ich falsch zusammengefasst?
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
A7B200C8-FAAF-49AF-814C-30E2A38E158D.jpeg |
| Dateigröße: |
60.83 KB |
| Heruntergeladen: |
78 mal |
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 15. Jun 2022 10:36 Titel: |
|
|
Ich glaube, es sieht eigentlich recht gut aus, aber ich erhalte z. T. leicht andere Terme. Da ich nicht genau sagen kann, wo (wahrscheinlich) Fehler passiert sind, hier zum Vergleichen:
Mit
\exp(-\frac{r}{2a_0})))
\exp(-\frac{r}{2a_0}))
\exp(..))
\exp(-\frac{r}{2a_0}))
Nun ins Integral einsetzen. Der Faktor 1/r^2 hebt sich weg, wenn über das Volumen integriert wird.
\Delta\psi(r)r^2\,dr)
(-\frac{4r}{a_0}+\frac{5r^2}{2a_0^2}-\frac{r^3}{4a_0^3})\exp(-\frac{r}{a_0})\,dr)
Nun noch ausmultiplizieren und dann das Integral mit der Formel aus dem Aufgabentext lösen.
edit: Faktor r^2 im Integral fehlte.
Zuletzt bearbeitet von Myon am 15. Jun 2022 12:31, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18016
|
| TomS Verfasst am: 15. Jun 2022 11:54 Titel: |
|
|
Erst mal sinnvoll x = r/2a substituieren.
Außerdem hier prüfen: https://www.wolframalpha.com/input?i=%281%2Fx%5E2%29+*+%28+d%2Fdx+%28%28x%5E2%29+*+%28+d%2Fdx+%28+%281-x%29+e%5E%28-x%29+%29%29%29%29
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 15. Jun 2022 12:34 Titel: |
|
|
|
Man kann eigentlich direkt die Formel aus dem Aufgabentext verwenden mit a=1/a0.
|
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 16. Jun 2022 19:31 Titel: |
|
|
Erstmal vielen lieben Dank für all die ausführlichen Erklärungen! Ich werde alles nachrechnen und dann das Endergebnis hier hochladen. Aber was mir momentan fehlt ist das theoretische Verständnis. Was haben wir da genau gemacht?
Wir haben zuerst den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten umgeformt und diesen dann auf die Wellenfunktion wirken lassen, richtig? Dann haben wir den Operator der Ekin auf die Wellenfunktion, die sich aus dem laplace operator und der wellenfunktion zusammensetzt, wirken lassen? Ist die Überlegung so richtig?
Edit: Wir haben natürlich nicht 2 x den operator angewendet, sondern nur 1x. Davor hatte ich einen Denkfehler.
Und noch eine Frage: Wir haben den laplace operator in kugelkoordinaten umgeformt, weil wir hier eine radialabhängige Wellenfunktion haben, oder?
|
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 17. Jun 2022 06:33 Titel: |
|
|
So sieht‘s momentan aus bei mir. Ich wollte die ganze Berechnung in Wolfram Alpha eingeben, aber der Rechner hat mir kein Ergebnis geliefert.
Die Substitution habe ich hier weggelassen, aber ich lade noch eine Rechnung hoch wo ich das ganze mit der Substitution rechne.
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
F96068D1-FD0D-4F3C-9144-5A7DAF6333B8.jpeg |
| Dateigröße: |
71.12 KB |
| Heruntergeladen: |
87 mal |
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
76D93500-7A32-49C1-B025-53BDD59A8DD3.jpeg |
| Dateigröße: |
71.45 KB |
| Heruntergeladen: |
75 mal |
|
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 17. Jun 2022 08:43 Titel: |
|
|
| frage1 hat Folgendes geschrieben: | | Dann haben wir den Operator der Ekin auf die Wellenfunktion, die sich aus dem laplace operator und der wellenfunktion zusammensetzt, wirken lassen? Ist die Überlegung so richtig? |
Der Operator der kinetischen Energie
wird auf die Wellenfunktion angewendet.
| Zitat: | | Wir haben den laplace operator in kugelkoordinaten umgeformt, weil wir hier eine radialabhängige Wellenfunktion haben, oder? |
Ja genau.
Zu Deiner Lösung: beim 2. Blatt ist beim Übergang von der 5. zur 6. Zeile wahrscheinlich ein Fehler, 18/2=9, nicht 6. Der Rest sollte richtig sein. Nach der Korrektur ergibt sich nach meiner Rechnung
|
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 17. Jun 2022 09:43 Titel: |
|
|
In der letzten Zeile ist außerdem ein Vorzeichenfehler und die Masse m ist am Ende verlorengegangen. Die erste Zeile mit dem Integral stimmt auch nicht. Der Faktor  gehört da nicht hin und darf ohnehin auch nicht unter dem Integral rausgekürzt werden. (Dieser Fehler scheint allerdings folgenlos zu sein.)
_________________
It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 17. Jun 2022 13:21 Titel: |
|
|
Vielen dank Myon für deine Rechnung!
Index_razor, soll ich dann 1/r^2 einfach hinein multiplizieren? Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann sollte das so aussehen?
Zuletzt bearbeitet von frage1 am 19. Jun 2022 09:37, insgesamt einmal bearbeitet |
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5850
|
| Myon Verfasst am: 17. Jun 2022 14:12 Titel: |
|
|
Ab der 2. Zeile sollte im Exponent der Exponentialfunktion nicht -r/(2a0) stehen, sondern -r/a0. Durch diesen Fehler ergeben sich nach dem Integrieren falsche Vorfaktoren.
In der 3. Zeile sollte der letzte Term in der Klammer nicht r^3/(4a0^2) sein, sondern r^2/(4a0^2).
|
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 19. Jun 2022 09:40 Titel: |
|
|
Danke dir vielmals Myon für deine Hilfe.
Das ist echt frustrierend wenn man sich ständig verrechnet. Ich hab´s mal ausgebessert. Ich hoffe, dass die Rechnung jetzt stimmt. Ich habe auch die Lösung zu der Aufgabe bekommen, die ich nicht nachvollziehen kann. Sie lautet: e^2/32pi*e0*a0. Kann die so stimmen oder habe ich das wieder falsch berechnet?
| Beschreibung: |
|
Download |
| Dateiname: |
2775FC4D-D965-4520-AB3F-4D7AF3DE9663.jpeg |
| Dateigröße: |
64.64 KB |
| Heruntergeladen: |
71 mal |
|
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 19. Jun 2022 10:19 Titel: |
|
|
In der dritten Zeile von unten hast du beim Zusammenfassen der Terme einen Faktor  vergessen. In der vorletzten Zeile hast du wieder den Faktor m im Nenner verloren. Beim Einsetzen von  ist ein weiterer Faktor  verschwunden.
Das korrekte Ergebnis steht übrigens zum schon oben zum Vergleich
_________________
It is just this lack of connection to a concern with truth -- this indifference to how things really are -- that I regard as of the essence of bullshit. -- Harry G. Frankfurt |
|
|
frage1
Anmeldungsdatum: 20.02.2021
Beiträge: 569
Wohnort: bayern
|
| frage1 Verfasst am: 19. Jun 2022 10:39 Titel: |
|
|
|
Super, vielen vielen Dank!! Jetzt hab ich’s richtig. Als Übung rechne ich die Aufgabe noch mit der Substitutionsregel. Falls ich nicht weiterkommen sollte, melde ich mich hier wieder. Nochmals danke, dass ihr mir geholfen habt die Aufgabe zu verstehen.
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
