Gesamtenergie mathematisches Pendel

Laplace · Anmeldungsdatum: 25.11.2013 Beiträge: 6

Hallo....ein tolles Forum hier =)
Habe ein Problem bei einer Aufgabe....ich komme nicht auf dem Ansatz...vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen....
Hier die Aufgabe

Gegeben sei ein mathematisches Pendel (masseloser Faden der Länge L, punktförmige Masse m, keine
Reibungsphänomene) im Schwerefeld der Erde, dessen Auslenkung
(

t) und dessen maximale Auslenkung

max (in rad) << 1 sei.

a) Leiten Sie aus der zeitlichen Invarianz der Gesamtenergie die Bewegungsgleichung für die Koordinate (

t) her.

b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung aus a) für die Randbedingung

(0) = 0.

c) Zeigen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus b), dass die Gesamtenergie des Systems auch räumlich konstant ist, indem Sie die Differentiale dU (

) und dEkin (

) direkt vergleichen

Wäre für jede Hilfe oder Ansatzhinweis sehr dankbar

mbg
Laplace

asdsds · Gast

Schreibe erstmal die Gesamtenergie als Summe der kinetischen und potentiellen Energien. Zeitlich invariant heißt, die Ableitung der Gesamtenergie nach der Zeit ist Null. Leite die Gesamtenergie nach der Zeit und setze das Ergebnis gleich Null, dann hast du deine Bewegungsgleichungen.

chaosqueen · Anmeldungsdatum: 27.11.2013 Beiträge: 25

Hallo Laplace , oder alle anderen im Forum,

habe das gleiche Problem zu lösen. Bist du damit weitergekommen?
Dank asdsds habe ich zwar grundsätzlich einen ANsatz bekommen hänge aber an den Energien, dh den Ableitungen.

Ekin = 1/2 mv^2 oder w^2 - WInkelgeschwindigkeit oder w= phi/t ???
Epot = mgl(1-cos(phi)) und phi = wt+phi0

Die Ableitung der Gesamtenergie ist gleich null, also alle beiden Energieformen ableiten und summieren.

Eges = 1/2m(phi/t)^2 + mgl(1-cos(phi))

Aber irgendwie verheddere ich mich da immer sind die gleichungen schon falsch?

Wäre über jede Hilfe dankbar.

Gruß!

asdasds · Gast

Erstmal

wo l der Radius ist, außerdem

womit dann

Das ganze nun nach der Zeit ableiten. Nutze Kettenregle und bedenke, dass Phi von der Zeit abhängt.

chaosqueen · Anmeldungsdatum: 27.11.2013 Beiträge: 25

Vielen Dank!!

Laplace · Anmeldungsdatum: 25.11.2013 Beiträge: 6

Hallo, danke mal asdasds mal für den Ansatz....ist jetzt verständlich aber ich bekomme die Ableitung nicht hin.... sind m g und l konstante faktoren oder was muss ich noch berücksichtigen....
danke im voraus

Laplace · Anmeldungsdatum: 25.11.2013 Beiträge: 6

und wenn ich Ekin und Epot einzeln nach pi ableite was in c) gefragt ist komme ich auf null oder?

chaosqueen · Anmeldungsdatum: 27.11.2013 Beiträge: 25

Hallo habe auch nochmal das gleiche Problem... habe es einzeln versucht (also Ekin und Epot) und dachte dann ich kann ja die EInzelableitungen summieren um die Ableitung der Gesamtenergie zu ahben (SUmmenregel ist doch so zulässig?!) ... aber ich habs einfach nicht hinbekommen :-( trotzdem danke für die tipps.

asdsdsd · Gast

Ich gebe euch die Ableitungen, dann könnt ihr die Bewegungsgleichung selbst zusammensetzen.

Rest sind die Konstanten; Summanden kann man selbstverständlich getrennt ableiten und dann aufsummieren.

chaosqueen · Anmeldungsdatum: 27.11.2013 Beiträge: 25

ist es dann wirklich

d/dt E = mgl *sin Phi *phi(punkt) + ml^2 *phi (punkt) *phi (2punkt) = 0

=> ml^2 phi (punkt) *(g/l *sin phi + phi (2punkt)) = 0

wäre ja null für

phi (punkt) = 0 (erster Term) oder für

g/l *sin phi + phi (2punkt)) = 0 (zweiter Term)

ich kann leider aber nicht wirklich sagen dass ich es verstanden habe..... vll schaff ich auch einfach nur nicht mehr gradaus zu denken.....

trotzdem danke.... !!!

chaosqueen · Anmeldungsdatum: 27.11.2013 Beiträge: 25

moment mal...

phi (2punkt)) = - g/l *sin phi

so müsste doch dann die Bewegungsgleichung sein?

ich hab doch bei SChwingungen die Gleichungen

Phi (t) = A *sin phi
Phi '(t) = A * cos phi
Phi ''(t) = - A * sin phi ---> siehe oben wenn A = -g/l

ich glaub ich seh grad etwas klarer... (oder mach ich mir da nur was vor..?)

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Du bist auf dem richtigen Wege. Aber denke daran, dass

eine Funktion der Zeit ist.

chaosqueen · Anmeldungsdatum: 27.11.2013 Beiträge: 25

ich hab mir grad auch nochmal die Ableitungen durch den kopf gehen lassen....

und ich glaubs einfach nicht ..... .. dass ich sowas am anfang machen wollte weil ich dachte ach ich schreibs einfach immer als dphi/dt oder dann abgeleitet als d^2 phi/dt^2 und dachte dann so ists ja bestimmt nicht.... mmmppff
und dann hab ich mich total verlaufen weil ich weiss der kuckuck was auf x Blättern fabriziert habe....
das glaubt mir ja jetzt keiner ;-)))) aber kann ich verstehen ;-)))

Auf jeden fall finde ich das Forum klasse und an >adsasdas< vielen Dank für die Hinweise !!! manchmal kommt man eben durch die Hintertür rein.

bis dann

Chaosqueen (heute hab ich meinem Namen alle Ehre gemacht ;-))

chaosqueen · Anmeldungsdatum: 27.11.2013 Beiträge: 25

Hilfe ich bin noch nicht angekommen??? GvG, meinst du damit dass ich statt Phi schreibe w*t oder ?

asdsdd · Gast

Nein, was er meinst ist, dass du die innere Ableitung nicht vergessen darfst. Wenn

dann ist

mit

chaosqueen · Anmeldungsdatum: 27.11.2013 Beiträge: 25

ja und phi '' ist eigentlich

phi''(t) = -A *w^2*sin wt

ich muss jetzt einfach fragen... ich hab jetzt einfach die ensprechenden Gleichungen in die Ableitungen der Energien eingesetzt... also oben das für phi'' usw....