kinetische Energie einer Feder

cav · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 4

Meine Frage:
Hallo!
Ich suche die kinetische Energie einer Feder. Normalerweise ist es ja 1/2mv²

Aber bei Feder haben wir ja statt v die Winkelgeschwindigkeit und diese steht in Zusammenhang mit w = sqrt(D/m)
Also habe ich doch 1/2m*(sqrt((D/m))² = 1/2*k
Also ist das doch richtig oder nicht?

Meine Ideen:
Wenn nein, dann wie lautet die Formel für den Pendel?

E-Ing · Anmeldungsdatum: 30.10.2015 Beiträge: 9

Du kannst nicht einfach die Geschwindigkeit v mit der Winkelgeschwindigkeit w gleichsetzten. Das sind zwei paar Schuhe. Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz sagt:
v(t)=x^*w*cos(w*t)
wobei x^=Maximale Auslenkung
und t=Zeit zu der die Geschwindkeit bestimmt werden soll

Es ergibt sich:
Wkin=1/2*m*v²=1/2*m*x^²*w²*cos²(w*t)

cav · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 4

ok, danke.. kann man es denn icht anders lösen? ich arbeite jetzt ungern mit cosinus und so ^^ Also ich habe für pot. Energie bereits 1/2x²*D

Und Geschwindigkeit ist ja die Ableitung des Ortes. Daher kann ich doch schreiben:

1/2x¹*k+1/2m*(dx/dt)² = 0 (energieerhaltungssatz)
Kann ich auf diesem Wege Die GEsamtenergie berrechnen, was kommt dabei raus?

E-Ing · Anmeldungsdatum: 30.10.2015 Beiträge: 9

Wenn du mit Schwingungen arbeitest kommst du um sinus und cosinus nicht herum.
Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Strecke. Deine Potentielle Energie ist aber nicht vergleichbar mit der Strecke in einer gleichförmigen Bewegung.
Du suchst die Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit der Masse, die an der Feder hängt ändert sich aber ständig. Wenn die Feder in voller Auslenkung ist, dann ist die Geschwindigkeit kurzzeitig 0 weil ja die Richtung umgekehrt wird. Die größte Geschwindigkeit hat die Masse in der Mitte der Bewegung. Damit beschreibt die Geschwindigkeit bei solch einer Schwingung eine sinus bzw cosinusfunktion. Willst du jetzt die Geschwindigkeit außerhalb der Mitte bzw. Extrempunkte wissen, dann musst du wissen wie groß dein cosinus zu der gewünschten Zeit ist.

cav · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 4

ok und wie kann ich das herleiten?
Wenn ich mit sin/cos arbeite dann erhalte ich für Epot+Ekin:

1/2*k+x0²*sin²(w0t) + 1/2*k*x0²cos²(w0t)

Und hier bin ich hängen geblieben unglücklich

E-Ing · Anmeldungsdatum: 30.10.2015 Beiträge: 9

Herleiten ist hier etwas schwierig. Das geht auf eine Differentialgleichung zurück. Ich weiß nicht wie weit du da bist.
Du weißt deine Federkraft ist
F=-D*x
Eine Kraft ist definiert als Masse mal Beschleunigung
F=m*a
es folgt also
m*a=-D*x
Jetzt weißt du auch das a die Ableitung der Geschwindigkeit ist und die wiederrum die Ableitung der Strecke. Sprich die Beschleunigung ist die zweite Ableitung der Strecke:
m*x''=-D*x
Das ist eine Differentialgleichung 2.Ordnung
Gelöst ergibt das dann
x(t)=x0*sin(2pi*f*t+phi)
dabei ist w=2pi*f
die Geschwindigkeit ist wieder die Ableitung der Strecke:
v(t)=x'(t)=x0*w0*cos(w0*t)

und dann wie gehabt in dein Ekin=1/2*m*v² eingesetz und fertig.
Wenn du mit Differentialgleichungen nichts anfangen kannst wirst du die Grundgleichung x(t)=x0*sin(2pi*f*t+phi) einfach hinnehmen müssen...

Wenn du Epot+Ekin machst ergibt sich:
Epot=1/2*D*x(t)²=1/2*D*x0²*sin²(w0*t)
Ekin=1/2*m*v²=1/2*m*x0²*w0²*cos²(w0*t)
Eges=1/2*D*x0²*sin²(w0*t)+1/2*m*x0²*w0²*cos²(w0*t)
Da w0²*m=D:
Eges=1/2*x0²*D(sin²(w0*t)+cos²(w0*t))
Hier muss man wissen cos²+sin²=1
Eges=1/2*D*x0²

cav · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 4

jaaa, danke smile

habe es mit der Beziehung sin² = (1-cos(2x)*1/2 und cos² = (1+cos(2x)*1/2
gelöst und auch bei mir 1/2kx0² erhalten. Auf die Additionstheoreme muss ma nerstmal kommen Big Laugh

lucasnievelstein · Gast

Für die kinetische Energie der Federn (Gesamtfederlänge 𝑙 und Laufkoordinate 𝑠) gilt:
[latex]E_{k i n, F e d e r}=4 \cdot\left(\frac{1}{2} \int_{S=0}^{l} v(s)^{2} d m_{F}\right)=2 \int_{S=0}^{l} v(s)^{2} d m_{F}[\latex]

Für ein infinitesimales Massenelement der Feder gilt:
[latex]\frac{d m_{F}}{d s}=\frac{m_{F}}{l} \Leftrightarrow d m_{F}=\frac{m_{F}}{l} d s[\latex]

Und für die Geschwindigkeit:
[latex]\frac{\dot{x}}{l}=\frac{v(s)}{s} \Leftrightarrow v(s)=\frac{\dot{x}}{l} s[\latex]

Einsetzen ergibt dann:
E_{k i n, F e d e r}=2 \int_{S=0}^{l}\left(\frac{\dot{x}}{l} s\right)^{2} \frac{m_{F}}{l} d s=2 \frac{m_{F}}{l^{3}} \int_{S=0}^{l} s^{2} d s \dot{x}^{2}=\left.2 \frac{m_{F}}{l^{3}}\left(\frac{1}{3} s^{3}\right)\right|_{0} ^{l} \dot{x}^{2}=\frac{2}{3} m_{F} \dot{x}^{2}