Energie eines Wasserpendels

felipe_luis · Anmeldungsdatum: 16.11.2023 Beiträge: 2

Meine Frage:
Wie kann man die Energie eines Wasserpendels so beschreiben, dass die Summe der Spann- und kinetischen Energie genau null ergeben.

Meine Ideen:
Bei harmonischen mechanischen Schwingungen gilt ja allgemein der Energieerhaltungssatz. So hat man beim Federpendel z.B:

Eges = Espann + Ekin = 1/2*D*x^2 + 1/2^m*v^2 = 1

x und x? kann man ja mithilfe der Lösungen der DGL bestimmen, also die Bewegungsgleichungen.

Diese sind ja immer trigonometrisch, bei der Spannenergie macht der Cosinus Sinn und bei der kinetischen Energie der Sinus.
Durch den trigonometrischen Pythagoras erhält man ja:

sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1, also ein schönes Diagramm, in der die Summe der beiden Energien immer 1 ergeben.

Nun frage ich mich allerdings, wie das mit der Energie jetzt beim Wasserpendel aussieht. Auf der einen Seite habe ich ja die Lageenergie und auf der anderen Seite die kinetische Energie.

Da bei der Lageenergie aber ja kein Quadrat drin steckt, erreiche ich mit meinem Ansatz vom trigonometrischen Phytagoras ja nicht ein solches Diagramm wie beim Federpendel.

Kann mir da jemand weiterhelfen, bitte.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5873

Die potentielle Energie eines Körpers mit konstanter Masse ändert sich linear mit der Höhe seines Schwerpunkts. Bei einer Wassersäule ändern sich aber der Schwerpunkt (halbe Höhe der Wassersäule) und die Masse mit der Höhe, das ergibt insgesamt eine quadratische Abhänggkeit der potentiellen Energie von h.

Rechnerisch: Mit Höhe h, Dichte rho, Grundfläche A

Ebenso ist bei einem Wasserpendel die potentielle Energie proportional zur Höhendifferenz im Quadrat. Die rückttreibende Kraft ist proportional zur Höhendifferenz, es resultiert eine harmonische Schwingung.

felipe_luis · Anmeldungsdatum: 16.11.2023 Beiträge: 2

hi muon, danke für deine antwort. leider verstehe ich noch nicht, wieso es eine quadratische abhängigkeit der höhe benötigt, bzw. man hierbei ein integral braucht.
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TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18080

Die potentielle Energie einer infinitesimalen Masse m auf der Höhe h beträgt.

dabei ist

dV ist das Volumenelement der Masse, dA das horizontale Flächenelement, dh die infinitesimale Höhe.

Für eine Wassersäule gilt also

Bei konstanter Querschnittsfläche A folgt

Das liefert eine quadratische Abhängigkeit von der Höhe.

Nun betrachtet man zwei verbundene Wassersäulen und deren Höhen

die um die Ruhelage schwanken. Die gesamte potentielle Energie entspricht der Summe der beiden einzelnen Beiträge.

y(t) ist die dynamische Variable.

Aruna_Gast · Gast