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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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 pfnuesel Verfasst am: 23. Okt 2006 12:46 Titel: Kepler-Problem: Herleitung der Ellipsengleichung |
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Hallo
Ich habe da eine Frage bei der Herleitung der Ellipsengleichung beim Kepler-Problem. Im Scheck ist das leider etwas knapp beschrieben, wie ich finde, zumindest verstehe ich nicht, wie er auf die Lösung kommt.
Hier ist ein PDF der entsprechenden Seite.
Es geht um die Umformung im unteren Teil der Seite ( ). Die habe ich noch verstanden. Dann sollen aber die linearen Terme in  verschwinden, mittels geeigneter Wahl der Konstanten  . Und das verstehe ich nicht. Wie kommt man auf diesen Wert für ?
Vielen Dank an alle, die sich die Zeit nehmen, mir dabei zu helfen. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Okt 2006 13:06 Titel: |
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Da soll man etwas wählerisch sein und sich den zweiten und den vierten Ausdruck in der Gleichung herauspicken:
^2 + y^2 = [p-\varepsilon (x-c)]^2)
Wenn man das auf beiden Seiten ausmultipliziert, bekommt man für die Terme linear in , wenn sie verschwinden sollen, die Bedingung:
und damit
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 23. Okt 2006 13:09, insgesamt einmal bearbeitet |
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Patrick
Anmeldungsdatum: 05.07.2006
Beiträge: 417
Wohnort: Nieder-Wöllstadt
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| Patrick Verfasst am: 23. Okt 2006 13:08 Titel: |
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In der Gleichung
)^{2}=p^{2}-2p\epsilon(x-c)+(\epsilon(x-c))^{2})
musst du noch die binomische Formel auflösen.
Dann fasst du etwas nach x zusammen und schaust dir das lineare Glied an. Ein lineares Glied ist durch g*x definiert. Und hier muss g gleich 0
werden. Aufgelöst nach c ergibt dann das, wo er drauf gekommen ist. |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 23. Okt 2006 13:35 Titel: |
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Hey, vielen Dank euch beiden! War ja gar nicht so schwer...  |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 23. Okt 2006 16:04 Titel: |
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Ich bin's nochmal. Leider ist doch noch nicht alles klar. Zwar weiss ich jetzt wie ich berechne, damit die linearen Terme in verschwinden. Aber deswegen komme ich immer noch nicht auf die Gleichung  .  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 24. Okt 2006 02:05 Titel: |
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Durch Umformen von
mit Hilfe der Definitionen von c und a bin ich bisher noch nicht zum gewünschten Ergebnis gekommen.
Stehen vielleicht auf der Seite davor oder auf der folgenden Seite noch Dinge, die hier von Bedeutung oder hilfreich sind? |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
Wohnort: Zürich
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| pfnuesel Verfasst am: 25. Okt 2006 15:24 Titel: |
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Hallo Markus
Ja, es sind noch folgende Werte definiert:
Ich habe schon allerlei Rechnungen angestellt, komme aber nicht auf die Ellipsengleichung. Entweder habe ich ein Brett vor dem Kopf, oder es ist nicht ganz so trivial, wie einem der Professor Scheck glauben machen möchte. 
Falls du gerade eine Idee hast, wie du mit obigen Daten zum gewünschten Resultat kommst, wäre ich dir dankbar, wenn du mir deine Ideen mitteilen könntest. Ansonsten glaube ich das mit den Ellipsen jetzt einfach mal und werde mich später nochmal dransetzen.
Danke nochmals für deine Hilfe! |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 25. Okt 2006 23:42 Titel: |
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Nun bin ich durchgekommen. Ohne die Definitionen aus deinem letzten Beitrag zu verwenden, komme ich durch Ausmultiplizieren von
,
lineare Terme weglassen, die anderen Terme ordnen und Dividieren durch p*a auf
und kann zeigen, dass wegen  und 
 = a^2-a^2 \varepsilon^2 = a^2-c^2)
und dass
}{pa} \\ &=& 1-\varepsilon^2 + 2 \varepsilon^2 - \frac{\varepsilon^2(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon^2} \\&=&1) .
Dass in Büchern solche Stellen mit Einsetzen und Umformen oft nicht ausführlich gezeigt werden, muss nicht daran liegen, dass die Rechnung kurz oder einfach ist, sondern kann auch heißen, dass der Autor den Leser nicht mit "langwieriger" Mathematik langweilen möchte, sondern sich auf die Angabe der Zwischenergebnisse konzentriert, die "physikalische Erkenntnis" versprechen 
// edit: Tippfehler in Formel korrigiert
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 26. Okt 2006 01:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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pfnuesel
Anmeldungsdatum: 04.11.2004
Beiträge: 248
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| pfnuesel Verfasst am: 26. Okt 2006 00:40 Titel: |
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Wow, das klappt ja doch irgendwie mit vertretbarem Aufwand. Danke für deine Hilfe!
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | | Dass in Büchern solche Stellen mit Einsetzen und Umformen oft nicht ausführlich gezeigt werden, muss nicht daran liegen, dass die Rechnung kurz oder einfach ist, sondern kann auch heißen, dass der Autor den Leser nicht mit "langwieriger" Mathematik langweilen möchte, sondern sich auf die Angabe der Zwischenergebnisse konzentriert, die "physikalische Erkenntnis" versprechen |
Ja, okay. Aber in einem Schulbuch erwarte ich doch einen gewissen Hinweis, wie man vorzugehen hat, um zum gewünschten Ergebnis zu gelangen. Es müssen beileibe nicht alle Schritte durchgekaut werden, aber vielleicht hätte ich auch eher in der Geometrie-Vorlesung aufpassen sollen. |
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