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In welche Richtung fliegt der Stein? - Seite 2
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Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 10. Jan 2022 15:42    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Mathefix hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Nein, kein Schreibfehler.

Es geht wirklich um die Entwicklung um den Punkt



Einfach das Binom auflösen und dividieren. Führt zum richtigen Ergebnis. Wenn das falsch sein soll, dann weiss ich nicht mehr weiter.
Dann musst Du in Deiner Herleitung den Wurm an anderer Stelle finden.

Dein Ergebnis ist nicht falsch, aber es ist nicht das, was ich sinnvollerweise haben will; deswegen entwickle ich in einer anderen Variable. Beides stimmt in der gewünschten Ordnung überein.

In meiner Herleitung ist kein Wurm drin.


... obwohl Dein Endergebnis falsch ist?

Ich geb's auf.
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 824

Beitrag Qubit Verfasst am: 10. Jan 2022 15:53    Titel: Antworten mit Zitat

Im Inertialsystem kann man das Problem auch vereinfacht in Polarkoordinaten ausdrücken und bekommt dann zwei Bewegungsgleichungen für die radiale und azimutale Richtung (im Inertialsystem):



Die Komponenten "mischen" dann in radialer und azimutaler Richtung:



und




Hier ist dann bei Beachtung der geographischen Breite (in Nähe Erdoberfläche):



[[man bekommt auch eine Kraftkomponente in Nord-Süd-Richtung, die hier unbeachtet bleibt]]

Aus Glg. (1) bekommt man nun die radiale Lösung [[wenn man den zweiten Term (~Zentripetalkraft) vernachlässigt]]:







Ausserdem gilt Drehimpulserhaltung (da Zentralkraft):



Nutz man dies nun in Glg. (2), erhält man für die Azimutalbeschleunigung:



Um die Azimutalgeschwindigkeit zu bekommen. lässt sich das Integral für f(t) elementar lösen und die Lösung bis zu den quadratischen Gliedern nähern:



Also:



Der erste Term ist die Rotationsgeschwindigkeit des Abwurfpunktes, der zweite das Delta.
Weitere Rechnung siehe Mathefix..
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 10. Jan 2022 16:22    Titel: Antworten mit Zitat

Mathefix hat Folgendes geschrieben:
... obwohl Dein Endergebnis falsch ist?

Ich geb's auf.

Es ist nicht falsch, sondern lediglich bzgl. des Breitengrades unvollständig; wie gesagt, ich muss mir das noch genauer ansehen.

Was du hier kritisierst ist eine völlig korrekte Taylorreihe, die mit dem Breitengrad nichts zu tun hat.

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 10. Jan 2022 23:19    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Zu 1. Der Breitengrad theta wird berücksichtigt, indem man in allen Formeln die Ersetzung



durchführt.

Das war falsch.

Und daher hat @Mathefix recht, es würde folgen

Mathefix hat Folgendes geschrieben:
… ergibt dann



[und] das stimmt dann nicht mit der Coriolis-Herleitung überein.


Man muss für jede Stelle prüfen, ob und wie man den Cosinus einführen muss.

Das ist zunächst der Fall beim Drehimpuls sowie bei der kinetischen Energie. Letzteres wirkt sich nur in der Ordnung h/r aus, die man ohnehin vernachlässigt. Ersteres kürzt sich exakt weg, wenn man das Verhältnis der Radien berechnet. Damit bleibt das bisherige Ergebnis für den Winkel phi für beliebige Breitengrade und kleine Höhen korrekt:



Zuletzt muss man den Cosinus bei der Berechnung der Strecke einführen. Es folgt



Der erste Term beschreibt den vom Abwurfpunkt zurückgelegten Weg, der zweite die Differenz. Das Ergebnis stimmt mit der Berechnung über die Corioliskraft überein.

Durch die Diskussion ist das ziemlich unübersichtlich geworden. Ich stelle morgen nochmal die um den Effekt des Breitengrades vervollständigte Rechnung ein.

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Jan 2022 00:03    Titel: Antworten mit Zitat

Hier die vollständige Rechnung unter Berücksichtigung des Breitengrades theta.

Drehimpulserhaltung:







Einsetzen liefert



Der erste Term entspricht genau dem Winkel, den der Abwurfpunkt während der Flugphase



bis zum höchsten Punkt überstreicht; der zweite Term liefert für die Abweichung den selben Wert wie die Rechnung mittels Corioliskraft.

Energieerhaltung:





Die Näherung ist anschaulich klar.

Damit folgt



Die Berechnung der insgesamt zurückgelegten Strecke als Summe der Strecke für den Abwurfpunkt und der Differenzstrecke, um die der Stein hinter dem Abwurfpunkt zurückbleibt, folgt mittels



Vorteil: kein rotierendes Bezugsystem, keine Corioliskraft, keine komplizierte Bewegungsgleichung, lediglich Anwendung von Erhaltungssätzen; das Zurückbleiben des Steins folgt letztlich aus der Drehimpulserhaltung.

Anmerkungen: nur gültig für kleine Höhen und damit genügend kleine Abwurfgeschwindigkeiten; dies ist für den senkrechten Wurf eines Steins auf der Erde sicher erfüllt.

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Beitrag Mathefix Verfasst am: 11. Jan 2022 10:59    Titel: Antworten mit Zitat



Dieser "Coriolis Term" in Deiner Herleitung stimmt nicht mit dem (richtigen) Ergebnis des Coriolis Ansatzes überein.

Würdest Du mir bitte die Plausibilität Deiner Gleichung


mit


erklären.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Jan 2022 12:45    Titel: Antworten mit Zitat

Mathefix hat Folgendes geschrieben:


Dieser "Coriolis Term" in Deiner Herleitung stimmt nicht mit dem (richtigen) Ergebnis des Coriolis Ansatzes überein.

Doch, natürlich.

Ich schrieb oben
Zitat:
Der erste Term entspricht genau dem Winkel, den der Abwurfpunkt während der Flugphase bis zum höchsten Punkt überstreicht; der zweite Term liefert für die Abweichung den selben Wert wie die Rechnung mittels Corioliskraft.

Daraus erklärt sich ein weiterer Faktor zwei, um von meiner Flugphase bis zum höchsten Punkt zu deinem

Mathefix hat Folgendes geschrieben:

für Steigen und Fallen zu gelangen. Ich betrachte die Hälfte der Bahn und erhalte demnach die Hälfte der Abweichung.

(ich bezeichne den Breitengrad mit theta, du mit phi)


Mathefix hat Folgendes geschrieben:
Würdest Du mir bitte die Plausibilität Deiner Gleichung



mit



erklären.

Bei mir gilt



d.h. der Radius r(t), bei dem sich der Stein zum Zeitpunkt t befindet, entspricht dem Radius r_0 am Abwurfpunkt plus der Höhe h(t) über dem Abwurfpunkt.


Ich verwende die Taylorreihe bis erste Ordnung



Außerdem gilt



da aber h/r bzw. h/r_0 bereits die Terme erster Ordnung sind, ist der letzte Term schon eine Korrektur zweiter Ordnung, und daher



in erster Ordnung.


Warum setzt du



an? Der Wurf erfolgt doch nach oben.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 11. Jan 2022 15:25, insgesamt 6-mal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 11. Jan 2022 13:37    Titel: Antworten mit Zitat

Oder ausführlich.

Sei im folgenden



Zunächst gilt



Für die Taylorentwicklungen gilt





Und damit insgesamt


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