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Physik des Segelns
Gast
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 Physik des Segelns Verfasst am: 04. Jan 2022 10:32 Titel: Was ist ein Tensor? |
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Meine Frage:
Ich habe mich durch Erklärungen und Definitionen gekämpft und bin nun noch unwissender als vorher, darum frage ich einmal hier nach:
Was genau ist ein Tensor?
Vor allem bezogen auf die Physik. Der Begriff erschien mit in der Elektrodynamik aber auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie, als auch bei maschinellem Lernen.
Meine Ideen:
Wie stellt man Tensoren dar? Und wofür sind die gut?
Gehören jetzt Vektoren und Matrizen auch zu den Tensoren, nur dass der Begriff weiter geht? Ist ein Tensor eine mehrdimensionale Matrix? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 04. Jan 2022 11:36 Titel: |
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Fangen wir mal einfacher an: was genau ist deiner Meinung nach ein Vektor?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Gastantwortet
Gast
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| Gastantwortet Verfasst am: 04. Jan 2022 11:56 Titel: Re: Was ist ein Tensor? |
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| Physik des Segelns hat Folgendes geschrieben: |
Wie stellt man Tensoren dar? Und wofür sind die gut?
Gehören jetzt Vektoren und Matrizen auch zu den Tensoren, nur dass der Begriff weiter geht? Ist ein Tensor eine mehrdimensionale Matrix? |
Ein Skalar ist ein Tensor nullter Stufe.
Ein Vektor ist ein Tensor erster Stufe
Eine Matrix ist eine Darstellung eines Tensors.
Mit einem 3D-Vektor kann man z.B. Eigenschaften eines Punktes in drei verschiedenen Raumrichtungen darstellen.
Mit einem als 3x3-Matrix darstellbaren Tensor zweiter Stufe kann man 6 weitere Eigenschaften, die von Kombinationen zweier Raumrichtungen abhängen darstellen.
Siehe hier z.B. die Verwendung des Spannungstensors, um die Werte der drei Normalspannungen und der sechs Schubspannungen in einem Punkt darzustellen:
youtube.com/watch?v=jVr3mh1wsuY
hier eine Einführung, wie Tensoren in der ART verwendet werden:
youtube.com/watch?v=keQUeGEkCtQ |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 04. Jan 2022 11:59 Titel: |
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Und ich würde davon abraten, für das Grundverständnis überhaupt auf Komponenten und Matrizen zu verweisen.
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Gastantwortet
Gast
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| Gastantwortet Verfasst am: 04. Jan 2022 12:21 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Und ich würde davon abraten, für das Grundverständnis überhaupt auf Komponenten und Matrizen zu verweisen. |
Nach Matrizen wurde explizit gefragt.
Aber gut, dann lösch meinen Beitrag oben und ich bin gespannt, wie Du das vermittelst. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 04. Jan 2022 12:55 Titel: |
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Müssen wir nicht löschen ;-)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 04. Jan 2022 14:10 Titel: Re: Was ist ein Tensor? |
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| Physik des Segelns hat Folgendes geschrieben: | | Was genau ist ein Tensor? |
Fangen wir mit dem Vektor an.
Ein Vektor ist eine mathematische Größe mit einer Länge und einer Richtung. Zum Beispiel wird deine Position bzgl. eines anderen Ortes auf der Erdoberfläche durch den Abstand von diesem Ort sowie die Richtung zu diesem Ort beschrieben. Dies kann man auf andere Größen übertragen wie auf Geschwindigkeiten.
Darüber hinaus hat ein Vektor ein definiertes Transformationsverhalten. Zum Beispiel ändert sich die Richtung zu der Landmarke bezogen auf deine aktuelle Blickrichtung, wenn du dich um die eigene Achse drehst. Für alle anderen Vektoren wie Geschwindigkeiten gilt das selbe: wenn du dich nach links drehst, dreht sich die Richtung des betrachteten Geschwindigkeitsvektors bezüglich deiner Blickrichtung nach rechts. Natürlich ändert sich die Geschwindigkeit dieses anderen Objektes nicht bezüglich des Vektors von dir zu der Landmarke, es handelt sich nicht um eine „reale“ Drehung des Geschwindigkeitsvektors sondern um eine Transformation des Bezugssystems = deiner Blickrichtung.
Neben der Rotation ist auch die Geschwindigkeitstransformation, der sogenannte Boost, wichtig. Wenn du dich selbst bezüglich eines anderen Objektes mit einer gewissen Geschwindigkeit bewegst, ändert dies die Relativgeschwindigkeit zwischen dir und diesem Objekt.
Darüberhinaus spielt die Translation eine wesentliche Rolle. Alle drei Transformationen - Rotation, Boost und Translation - werden in der Newtonschen Mechanik zur so genannten Galileisymmetrie zusammen gefasst (in der speziellen Relativitätstheorie zur Poincaresymmetrie). Ein Vektor über dem dreidimensionalen euklidischen Raum ist nun ganz allgemein eine Größe, die das Transformationsverhalten von dem zu Beginn definierte Abstandsvektor „erbt“.
Ebenfalls relevant in der Physik sind Vektorfelder, zum Beispiel das Strömungsfeld in einem Fluss. Hier wird jedem einzelnen Punkt im Wasser eine Strömungsgeschwindigkeit - also ein Vektor - zugeordnet.
(Vektoren können mittels Komponenten dargestellt werden, aber nicht jede Ansammlung von Komponenten ist auch ein Vektor im oben diskutierten Sinne, wenn nämlich kein geeignetes Transformationsverhalten gegeben ist; zum Beispiel die Auflistung der Kontostände von Bankkunden).
Wenn das soweit klar ist, können wir Tensoren diskutieren.
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Physik des Segelns
Gast
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| Physik des Segelns Verfasst am: 04. Jan 2022 16:15 Titel: Re: Was ist ein Tensor? |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Physik des Segelns hat Folgendes geschrieben: | | Was genau ist ein Tensor? |
Fangen wir mit dem Vektor an.
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Wenn das soweit klar ist, können wir Tensoren diskutieren. |
Danke! Ist soweit klar.
Was ist denn nun ein Tensor? Auf die Elektrodynamik und ART bezogen... |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 04. Jan 2022 18:26 Titel: Re: Was ist ein Tensor? |
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| Physik des Segelns hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Physik des Segelns hat Folgendes geschrieben: | | Was genau ist ein Tensor? |
Fangen wir mit dem Vektor an.
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Wenn das soweit klar ist, können wir Tensoren diskutieren. |
Danke! Ist soweit klar.
Was ist denn nun ein Tensor? Auf die Elektrodynamik und ART bezogen... |
Die allgemeine Beantwortung der Frage kann leicht ein ganzes Buch füllen. Ich empfehle Dirschmid, Tensoren und Felder. Eine kürzere Antwort erfordert vermutlich, daß du deine Frage etwas konkretisierst. Wir könnten vielleicht mit den Erklärungen anfangen, die du schon kennst und nicht verstanden hast.
Bis dahin nur ganz allgemein: Unter Tensoren versteht man verschiedene Arten von Abbildungen, die einer Menge von Vektoren (oder Kovektoren) linear in jedem Argument einen Wert zuordnen. Bei diesem Wert kann es sich z.B. um eine Zahl oder einen Vektor handeln. Ein paar Beispiele:
1) Der Spannungstensor  in der Elektrodynamik ist (an jedem Ort x) ein Tensor 2. Stufe. Diesen Tensor kann man auf verschiedene Weise auffassen: i) als bilineare, skalarwertige Abbildung, die zwei Vektoren  , die Zahl ) zuordnet. Oder ii) als lineare, vektorwertige Abbildung, die einem Vektor  einen weiteren Vektor ) zuordnet. In diesem Fall ist die Auffassung ii) nützlich. Jedem Vektor ordnet dann T die Impulsstromdichte des elektromagnetischen Feldes durch ein Flächenelement mit normale in Richtung zu, d.h.
/\delta A = T(\vec{n}, \cdot) \equiv T\cdot \vec{n}) bzw.
\dd A = \int_A T\cdot\vec{n}\dd A = \int_A T\cdot\dd\vec{A} )
2) In der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik gibt es den Faradaytensor F, der das elektromagnetische Feld beschreibt. Er hat folgenden Eigenschaften: i) Für einen Beobachter mit Vierergeschwindigkeit u ist ) das von diesem Beobachter gemessene elektrische Feld. ii) Für einen in Bezug auf denselben Beobachter räumlichen Vektor ist  = \vec{B}\times \vec{n}) , mit dem von diesem Beobachter gemessenen Magnetfeld B.
3) In der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es den Energie-Impuls-Tensor T, der die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Dies ist ebenfalls (an jedem Raumzeitpunkt) ein Tensor zweiter Stufe. Für einen Beobachter mit momentaner Vierergeschwindigkeit u, ergibt z.B. ) die von diesem Beobachter gemessene Viererimpulsstromdichte. Insbesondere ist ) die gemessene Energiedichte und ) die Komponente der Energiestromdichte (oder der Impulsdichte) in Richtung des räumlichen Vektors relativ zu diesem Beobachter.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 04. Jan 2022 19:29, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18109
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| TomS Verfasst am: 04. Jan 2022 19:06 Titel: |
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Ein Tensor ist ebenfalls eine Größe mit definiertem Transformationsverhalten
(In Spezialfällen kann man aus zwei Vektoren einen Tensor konstruieren, z.B den elektromagnetischen Feldstärkentensor als Kombination aus elektrischem und magnetischem Feld).
In vielen Fällen ist es jedoch einfacher, sich unter einem Tensor eine lineare Abbildung vorzustellen, die Vektoren auf Vektoren oder auch Tensoren auf Tensoren abbildet.
Beispiel Leitfähigkeit:
Die elektrische Stromdichte j sowie die elektrische Feldstärke E sind Vektorfelder; üblicherweise ist der Zusammenhang zwischen beiden durch die skalare Leitfähigkeit sigma gegeben:
In inhomogenen und anisotropen Festkörpern sind alle drei Größen i.A. ortsabhängig; die Leitfähigkeit wird zu einem Tensor zweiter Stufe; Stromdichte und Feldstärke sind Vektoren = Tensoren erster Stufe.
In Komponentendarstellung mittels 3er-Vektoren und einem 3x3 Tensor gilt
(über doppelt auftretende Indizes wird summiert, d.h. hier liegt ein Produkt Matrix mal Vektor vor)
Beispiel Polarisierung:
Gleiches gilt für den Zusammenhang zwischen elektrischer Polarisierung P mit dem elektrischen Feld E vermöge der elektrischen Suszeptibilität chi
Im Falle nicht-linearer und zugleich anisotroper Medien erhält man
}_{ab} \, E_b + \chi^{(2)}_{abc} \, E_b \, E_c+ \ldots)
Die Suszeptibilität führt zu mehreren Termen, die man sich als Taylorreihe im elektrischen Feld vorstellen darf. Ein Term chi mit Index (n) ist dabei ein Tensor der Stufe n+1.
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