Was ist ein Tensor?

Feldi · Anmeldungsdatum: 13.01.2018 Beiträge: 18

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Was ist ein Tensor?
Könnte man diesen Begriff hier am Beispiel als kleine Exkursion erklären?

Ich habe nur einen Verdacht!
Möchte ihn aber nicht äußern, da zu laienhaft.
Habe noch nie mit Tensoren in einem Studium oder einer Ausbildung zu tun gehabt.

Liebe Gruße
Feldi

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Feldi · Anmeldungsdatum: 13.01.2018 Beiträge: 18

Noch zu wenig.

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

Um Tensoren zu erklären ist es meiner Meinung nach ratsam in die Informatik zu wechseln. Da diese täglich mehrfach beweist was ein Tensor ist. Wir nehmen einfach das Beispiel "Minecraft", dass wird wohl am einfachsten sein.

Wenn in Minecraft eine Spielwelt erschaffen wird, dann ist diese Spielwelt ein Tensor. (Fachbegriff für Programmierer ist "Chunk") Man stelle sich einfach einen Würfel aus n³ Teilwürfeln vor. Dann bekommt jeder Teilwürfel durch einen eindeutigen Index eine eindeutige Adresse zugewiesen in dem auch die Koordinaten verknüpft sind.
Levi-Civita Tensor

Für den Computer erscheint der Tensor genau wie für Mathematiker als Tabellen Matritze. Für jede Koordination existiert ein Teilwürfel. Diesen Teilwürfeln wiederrum kann man Eigenschaften oder Werte zuweisen. Auch die Auswahl der Teilwürfel kann direkt gesteuert werden. Es können einzelne, zeilenweise, spaltenweise & flächenweise auch Teilwürfel selektiert und verändert werden.

Jetzt mal zum mathematischen Teil. Man kann es sich unglaublich schwer machen oder unglaublich einfach.

Ein 3 stufiger Tensor geht mit dem Einheitsquaternion konform.
Das wird schon durch das Levi-Civita-Symbol gezeigt.

Einheitsquaternion nach Hamilton.

Allerdings bietet der Levi-Civita Tensor die Möglichkeit eine Chiralität festzulegen. Sprich ob der Tensor links oder rechts orientiert ist.

Meine Empfehlung lautet um dieses Thema zu vertiefen sollte man einfach mal ein 3D Design Programm wie Blender oder 3Ds Max benutzen. Die Koordination innerhalb des Tensors wird numerisch an der unteren Seite des Bildschirms gezeigt und das Einheitsquaternion wird für jedes 3D Objekt welches man auswählt angezeigt und zeigt einem auch, warum sich das Objekt so verhällt wie es sich verhällt. Sogar kann man im vorraus die Rotation oder Bewegung selbst berechnen. Auch sehr zu empfehlen ist POV Ray.

Ich empfinde es wirklich sehr interessant, dass fast 70% aller Computernutzer gleichzeitig auch Spieler an diesem Gerät sind, aber anscheinend sich nie dafür interessierten wie ein Super Mario 3dimensional wurde.

Quantenphysik · Gast

Bei Tensoren handelt es sich um Multilinearformen.
Also um lineare Abbildungen, die n Vektoren eines Vektorraums V auf eine Zahl abbilden. Die Abbildungen sind dabei in jedem dieser Argumente linear.
Man spricht dann auch von einem kovarianten Tensor n-ter Stufe.
Handelt es sich bei diesen Vektoren um Elemente eines Dualraums über V spricht man von einem kontravarianten Tensor erster Stufe.
Im allgemeinen können n Vektoren aus V und m Vektoren aus dem Dualraum zu V einer Zahl zugeordnet werden. Dann spricht man von einem gemischten Tensor der Stufe (n+m) wobei kovariant der Stufe n und kontravariant der Stufe m.

Was hat das jetzt mit Matrizen oder allgemeiner n-dimensonalen Zahlenschemata zu sein?
Nun solche Abbildungen lassen sich in einer gegebenen Basis des zugrunde liegenden Vektorraums durch derartige Matrizen darstellen.
Sei A eine quadratische Matrix und x ein Spaltenvektor, dann induziert die Matrix A mit x^TAx eine bilineare Abbildung. In diesem Fall identifiziert man A mit dem kovarianten Tensor zweiter Stufe in der gegebenen Basis.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Genau!

Und deswegen ist die Minecraft-Spielwelt kein Tensor. Sie wird zwar auf den ersten Blick so dargestellt, aber ihr fehlen einige algebraische Eigenschaften eines Tensors, insbs. bzgl. Abbildung und Transformation.

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

Welche algebraischen Eigenschaften sollen denn das sein, die nicht in so einer virtuellen Welt enthalten sind? Gerade bezüglich der Abbildung und Transformation besitzen diese Tensoren alles was nötig ist. Da der Computer überhaupt keine Ahnung davon hat, dass es sich um ein "Spielfeld" handelt können sämtliche Transformationen und Abbildungen auf Teilmengen von Tensoren oder sich auf den ganzen Tensor beziehen.

"Bei Tensoren handelt es sich um Multilinearformen.
Also um lineare Abbildungen, die n Vektoren eines Vektorraums V auf eine Zahl abbilden." <- Das ist absolut richtig und genau ohne das ist eine virtuelle 3D Welt nicht möglich zu programmieren. Das fängt beim adressiern des Grids an, geht über das Collapse Modelling und hört beim Ray Tracing auf. Gerade beim Collapse Modelling ist eine Abbildung auf Tensoren nötig. Nämlich dem Tensor der einwirkenden Kraft & der entgegenwirkenden Stabilität der Struktur. Das selbe bei Oberflächen, Strukturen in Bezug zur Ray Tracing Technik. Dort werden Tensoren als Teilmengen für die Opazität, Form, Einstrahlwinkel, Lichtintensität, Absorption usw gegeneinander aufgerechnet.

Dafür das der Threadauthor gerade mal nur einen Verdacht hat, haut ihr aber gleich heftig auf die Pauke. Ich kann von euch nämlich gar keine Analogisierung bzw auch nur den Versuch finden, die dem Threaderauthor auch nur erlaubt eine Vorstellung davon im geringsten zu gewinnen.

Ansonsten könnten wir den Thread auch einfach so beantworten:
https://de.wikipedia.org/wiki/Tensor

Wäre kurz und bündig, vor allem muss man dann nicht selbst drüber nachdenken.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

"Es ist kein gesundes Zeichen, dass man etwas auswendig gelernt, aber die Materie dahinter nie verstanden hat, wenn einem die Worte fehlen um einem Laien die Wissenschaft zugänglich zu machen."
Zitat des Einleitungs- & Willkommensatzes eines Professors an der Uni Darmstadt.

Ich sag ja, man hätte auch einfach den Wiki-Artikel zu Tensoren posten können. Bestimmt versteht der Threadauthor es jetzt durch die Erklärungen die gefallen sind ganz genau.

Es ist nicht nur möglich, es ist so. Nehmen wir das Anfängerbeispiel der Informatik für Tensoren "Rutschender Sand". Am oberen rechten Bildschirmeck, wird immer ein Pixel vertikal von oben nach unten in einer bestimmten Geschwindigkeit fallen gelassen. Der Fallwinkel steht im rechten Winkel zur Oberfläche. Nun gehen wir von Sand aus, jedes Pixel ist ein Korn. Wir wissen alle, Pixel sind quadratisch und eigentlich können diese nicht voneinander "rutschen". Allerdings wird dies für den Effekt der langsamen Sandlavine gebraucht. Es wird also ein Tensor aufgespannt, der dazu da ist zu berechnen wie die Pixel übereinander rutschen und wie steil der Sandhaufen sein darf, bevor das nächste Pixel bis zum Fuß des Haufens rutscht. Beim Beispiel Minecraft wird das Fließen des Wassers auf diese Art und Weise berechnet. Gerade DirectX11 besitzt extra einen Tensor für Structure Collapses, dass ist das was DX11 so interessant macht. Die wohl älteste Anwendung von Tensoren in der Videospielbranche ist das "Pathfinding". Auch dies ist ein Tensor, der im Endeffekt wie Wasser über das Spielfeld läuft und dabei alle Indizes ausspart die nicht betretbar sein sollen.

Ohne Tensoren sind Games gar nicht möglich, vor allem wenn sie physikalische Effekte simulieren sollen. Eure User sitzen alle vor dem PC warum also nicht mit Informatik analogisieren? Sie ist schließlich ein direktes Produkt der Physik.

P.S
Hier zwei Beweise: Tensoren haben in der Hochsprache C++ sogar eine eigene Header File und besitzen daher einen komplett eigenen Namespace: https://www.tensorflow.org/versions/r1.0/api_docs/cc/class/tensorflow/tensor

... und ein visuelles Beispiel für "Stress-Tensors" aus Medieval Engineers von Keen Software House. https://youtu.be/qvaOfzU76SU?t=1m13s

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

G4mm4G0bl1n, kannst du für deine Aussagen Quellen anbringen? Ich bin kein Experte für Spieleprogrammierung, deswegen könnte mich mein Eindruck täuschen, dass du nur irgendwelches inkohärentes Zeug laberst.
Am besten gleich für die erste Behauptung, dass die Spielewelt von Minecraft ein Tensor in unserem Sinne sei, und dass der Fachbegriff für Tensor in der Informatik "Chunk" sei.

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

Aber sicher, ich wünsche ich viel Spaß beim lesen, sehen und lernen.

"P.S
Hier zwei Beweise: Tensoren haben in der Hochsprache C++ sogar eine eigene Header File und besitzen daher einen komplett eigenen Namespace: https://www.tensorflow.org/versions/r1.0/api_docs/cc/class/tensorflow/tensor

... und ein visuelles Beispiel für "Stress-Tensors" aus Medieval Engineers von Keen Software House. https://youtu.be/qvaOfzU76SU?t=1m13s"

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

Erklär mir bitte mal warum es mir nicht möglich sein soll eine algebraische Eigenschaft oder sprich mathematische Regelungen an einen Index innerhalb des Arrays zu hängen? Schonmal drüber nachgedacht, dass der Tensor erstmal als Schablonen Funktion dient?

Ich meine, das Video von Keen Soft. House zeigt es ja anschaulich, aber man kann nicht ganz glauben was man sieht.

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Ok, dann hat mich mein Eindruck also nicht getäuscht.

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

Hier nochmal für Ich, weil Chunks ja nicht existieren.
https://sites.google.com/site/letsmakeavoxelengine/home/chunks

Hat auch gar nichts mit den angesprochenen Themen zu tun ist alles reine Fantasterei.

Voxel (in Minecraft, Space Engineers & Medieval Engineers sind alle Blöcke Voxel!) können auch niemals in Chunks zusammenfasst werden, von Tensoren mathematisch unterstützt werden um anschließend selektiert und manipuliert zu werden, dass hab ich mir natürlich alles ausgedacht. Darüber hinaus, wer braucht schon Tensoren in Videospielen die versuchen via physikalischer Mathematik die Realität zu simulieren?

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Weder Chunks noch das, was die "Tensor"-Klasse definiert, sind mathematische Tensoren. Du redest von etwas anderem, und das hat man dir auch schon mitgeteilt.

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

Die Funktion Tensor, erschafft erstmal gar nichts außer einen "leeren" Tensor mit Arrays und Inidzes. Die mathematischen Eigenschaften um z.b den "Stress-Tensor" physikalisch korrekt zu simulieren müssen an die Indizes gehängt werden. Der Chunk und Tensor sind untrennbar miteinander verknüpft. Wenn also ein Voxel innerhalb des Chunks vom Spieler z.b entfernt wird reagiert der Stress-Tensor dementsprechend auf den Chunk und ändert die strukturelle Intigrität entsprechend der algebraischen Mathematik die mit den Indizes verknüpft sind.

Ein Vector in C++ hat auch keine feste Größe. Das liegt daran, weil alle Namespaces als Templates zu sehen sind.
https://de.wikibooks.org/wiki/C%2B%2B-Programmierung:_Vector

"Weder Chunks noch das, was die "Tensor"-Klasse definiert, sind mathematische Tensoren."
Ich weine wirklich, wenn ich soetwas lese. Die Klasse selbst definiert auch keine Mathematik innerhalb des Tensors .... sondern die Funktionen die an die Indizes gehängt werden!

Ist man denn im Kopf echt schon so verbacken, dass man sich nicht mal vorstellen kann wie eine Schablonen Funktion aussieht und wie diese zu behandeln ist?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

Jepp, es gibt zu verstehen. Das Leute die noch nie in ihrem Leben auch nur eine Zeile Code geschrieben haben um physikalische Effekt visuell sichtbar zu machen noch mehr auf dem Schlauch stehen. Stattdessen kaut man auf den Fachbegriffen rum obwohl der Threadauthor um eine für ihn verständlichere Form gebeten hat.

Warum dementiert eigentlich keiner das der Tensor für die strukturelle Integrität im Medieval Engineers Video ein Tensor ist? Der ist bestimmt nicht programmiert und auch bestimmt nicht mit den Funktionen die ich zeigte. Sondern das ganze geschah durch reine Magie. Warum sollte der Computer auch in der Lage sein einen physikalisch korrekten Tensor zu berechnen? Die Materialforschung würde soetwas natürlich auch nie tun.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Feldi hat nach einer Erklärung für Tensoiren gefragt.

Wir konnten ihm leider noch keine einfache Antwort liefern.

G4mm4G0bl1n konnte leider nur eine falsche Antwort liefern (nur weil Informatiker etwas "Tensor" nennen, bedeutet das noch lange nicht, dass es mit der mathematischen Definition übereinstimmt).

Also beenden wir das jetzt bitte.

Ich melde mich bei Feldi und frage nach Interesse und Neustart des Themas.

G4mm4G0bl1n · Anmeldungsdatum: 10.05.2017 Beiträge: 93 Wohnort: Darmstadt

Die Auswirkungen der im Tensor festgelegten algebraischen Parameter als Abbildung auf die Variabeln im Chunk, Voxel oder Objekt, die durch manipulationen stattfindet. Ebenfalls müssen manchmal die Arrays des Tensors neu definiert werden falls z.b eine Zeile, Fläche oder Spalte verschwindet, dafür müssen aber die Variabeln innerhalb der Indizes übertragen werden und oft müssen dafür die Koordinaten neu berechnet werden.

Algebraische Mathematik für Games gibts einige, hier ein paar Beispiele und man sucht eben dann das raus, was man benötigt und lässt das weg, was nicht in das physikalische Modell passt.
http://blog.wolfire.com/2009/07/linear-algebra-for-game-developers-part-1/
http://blog.wolfire.com/2010/07/Linear-algebra-for-game-developers-part-4

Es gibt noch andere Beispiele, wie drücken, ziehen, scheren usw. Was fehlt denn nun?

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

Es handelt sich hier um ein Forum der Physik, also bietet es sich an
eine physikalische Beschreibung des Tensorbegriffs in der Physik zu
formulieren um die etwas abstrakte mathematische Beschreibung aus
dem Wikipedia-Artikel zu vermeiden. Der Tensor ist ja Nichts exotisches.
Wie ich schon am Anfang geschrieben habe, hatte fast jeder schon mal mit Tensoren 0-ter und 1-ter Stufe zu tun gehabt. Bei der Behandlung von Tensoren ist auch eine klare Abgrenzung zur physikalischen Größe relevant.

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 676

Hier wird sehr schön erklärt, was ein Tensor ist, für "Laien":

https://www.youtube.com/watch?v=keQUeGEkCtQ

APWBDumbledoore · Gast

Eine etwas längere Erklärung mit Anspruch auf mathematische und physikalische Exaktheit, die aber hoffentlich verständlich ist (Schulmathematik bis 11. Klasse vorausgesetzt und die Kenntnis der inversen Matrix, aber ansonsten keine Hochschulmathematik: Wenn man ein Gleichungssystem

hat, wobei die A-Koeffizienten fest sind und die w und v variabel, kann unter bestimmten Umständen jeweils genau(!) ein Satz von

zu jedem(!) Satz von

bestimmt werden, und diese Umstände sind genau die, in denen A eine invertierbare Matrix ist, und es gilt

;
um die inverse Matrix zu berechnen, gibt es Verfahren: Zum Rechnen mit Hand die Cramersche Regel, die aber außer für 2*2-Matrizen niemand wirklich verwendet, zum effizienten Rechnen das Gauß.Verfahren)

Es ist bekannt, dass ein endlichdimensionaler Vektorraum zu seinem Dualraum isomorph ist (Dualraum = alle linearen Funktionale auf diesem Vektorraum; diese bilden selber wieder einen Vektorraum). Genauer gesagt, sind zwei endlichdimensionale Vektorräume genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben, d.h. wenn je zwei Basen dieselbe Mächtigkeit haben: Zu jeder Basis

, d.h. jedem System von Vektoren in V, so dass jedes

genau eine Zerlegung

besitzt, kann man die so genannte duale Basis konstruieren:

wobei das Symbol rechts das Kronecker-Delta ist (die rechte Seite ist 1, wenn i = j, ansonsten 0).
Das heißt, die

(Notation für Dualraum) sind lineare Funktionale, die auf ein beliebiges

mit der obigen Zerlegung gemäß

wirken. D.h. der duale Basisvektor mit dem Index i liefert genau den Entwicklungskoeffizienten bezüglich des i-ten Basisvektors (welcher gemäß der Definition einer Basis existiert und eindeutig ist).
Beachte aber, dass die Entwicklungskoeffizienten im allgemeinen nur durch Lösen eines Gleichungssystems bestimmt werden können (bzw. mit Matrizenrechnung, was im Prinzip nichts anderes ist). Einfache Methoden wie Berechnen des Skalarproduktes funktionieren nur im Speziallfall, dass man eine Orthonormalbasis hat (was voraussetzt, dass man überhaupt ein Skalarprodukt hat; aber wir sind ja Physiker, d.h. wenn wir auf einem Vektorraum ein Skalarprodukt postulieren, sollte dieses eine physikalische Bedeutung haben, und das ist nicht bei jedem Vektorraum der Fall, den man in der Physik betrachtet).
Daher sollte die folgende Tatsache, die man formal beweisen kann, nicht allzu verwunderlich sein: Es ist möglich, einen einzigen Vektor aus der e-Basis zu verändern, während man alle anderen so lässt, wie sie sind, und so alle Funktionale der Dualbasis zu verändern (die Idee ist, das man die anderen Basisvektoren dazu addiert und ihnen somit etwas vom Entwicklungskoeffizienten "klaut"). Also

hängt wirklich von der gesamten e-Basis ab, und nicht nur vom Element

.

Das heißt: Obwohl V und V* isomorph sind, ist es ohne weitere Struktur (Skalarprodukt oder Wahl einer speziellen Basis von V) nicht möglich, genau einen speziellen Isomorphismus zwischen V und V* anzugeben, d.h. Vektoren und Funktionale können dann nicht einfach miteinander identifiziert werden, sondern sind als verschiedene Objekte aufzufassen.
Das ist nicht der Fall, wenn man ein Skalarprodukt hat: Dann kann man jedes lineare Funktional auf V als Skalarprodukt mit einem bestimmten Vektor auffassen (Darstellungssatz von Riesz-Frechet).

Im allgemeinen werden wir zum Rechnen eine Basis wählen. Die Frage ist, wie sich die Wahl der Basis auf unsere Ergebnisse auswirkt. Man spricht vom Transformationsverhalten (unter Basiswechsel). D.h. wir können einen alternativen Standpunkt einnehmen (der meistens in der Physik eingenommen wird) und sagen, dass sowohl Vektoren als auch lineare Funktionale zunächst mal einfach nur Zahlenreihen sind (d.h. indizierte Größen: Größen mit einem Index, der die Werte 1,...,n annimmt, wobei n die Dimension von V ist), die sich aber unterschiedlich transformieren. Bezeichnen wir zwei Basen von V mit

bzw.

, die dazugehörigen Entwicklungskoeffizienten eines Vektors v mit

bzw.

und die entsprechenden Dualbasen mit

bzw.

. Dann gilt, falls

, wobei A eine n*n-Matrix ist (mit Determinante ungleich Null, die also tatsächlich eine Basis in eine Basis überführt),

, wobei

die inverse Matrix ist.

Das heißt, die Dualbasis zeigt formal(!!!! es sind ganze Vektoren, keine Koeffizienten, die hier transformiert werden !!!) dasselbe Transformationsverhalten wie die Entwicklungskoeffizienten. Anders herum gilt auch: Formal zeigen Entwicklungskoeffizienten eines linearen Funktionals bezüglich der Dualbasen dasselbe Transformationsverhalten wie die Basis von V.
Man kennzeichnet das auch durch die Stellung der Indizes: Man sagt, ein Vektor und ein Funktional sind beide Tensoren von Rang 1, aber ein Vektor ist kontravariant, wohingegen ein Funktional kovariant ist. Daher:

(

sind die

von oben!)

(

sind die

von vorhin; wir können jetzt e benutzen, weil wir die Stellung der Indizes dem Transformationsverhalten anpassen)

.

(egal ob das Quadrat für einen Entwicklungskoeffizienten oder ein Basiselement steht).

Von Interesse sind auch andere Objekte:
1. Lineare Abbildungen V --> V; so genannte Endomorphismen. Beispiele sind z.B. Scherungen, Drehungen, Spiegelungen, Drehspiegelungen (ob ich zwei Vektoren erst addiere und dann die Summe drehe oder ob ich erst die beiden Vektoren drehe und dann die gedrehten Vektoren addiere, liefert dasselbe Ergebnis, genauso kann ich vor oder nach der Drehung skalieren; insofern sind Drehungen lineare Abbildungen). Diese werden durch eine quadratische n*n Matrix beschrieben. Entscheidend ist die Stellung der Indizes: Ein Endomorphismus hat einen oberen und einen unteren Index:

(Beachte, dass je ein oberer und ein unterer Index gepaart werden)
Und er transformiert sich unter Basiswechsel:

Ein physikalisches Beispiel ist z.B. der Trägheitstensor in der Rolle, dass er die Winkelgeschwindigkeit nimmt und den Drehimpuls liefert:

.

2. Bilinearformen, d.h. Objekte

die zwei Vektoren v und w als Argumente nehmen und eine Zahl liefern, wobei sie jeweils in beiden linear sind (in obigem Sinne). Äquivalent zu Bilinearformen sind auf reellen Vektorräumen quadratische Formen, die einfach entstehen, indem man in einer Bilinearform zweimal dasselbe Argument einsetzt. Beispiele für Bilinearformen sind Skalarprodukte, Beispiele für quadratische Formen sind die kinetische Energie (die die Geschwindigkeit als Argument nimmt) oder z.B. der Trägheitstensor in der Rolle, dass der die Winkelgeschwindigkeit nimmt und die kinetische Rotationsenergie zurückgibt (doch

, insofern sind beide Sichtweisen äquivalent, da wir ja auch ein Skalarprodukt haben; trotzdem könnte man natürlich in die Verlegenheit kommen, aus irgendeinem Grund mit einer nicht orhonormalen Basis rechnen zu wollen, und dann müsste man sehr wohl das unterschiedliche Transformationsverhalten beachten).
Eine Bilinearform hat zwei untere Indizes:

Basiswechsel:

Wenn man ein Skalarprodukt hat, ist die allgemeine Bilinearform von der Bauart

und zwischen kovariant und kontravariant besteht daher im wesentlichen kein Unterschied (obwohl die geometrische Natur natürlich trotzdem unterschiedlich hat).

In der Relativitätstheorie gibt es aber zum Beispiel kein beobachterunabhängiges Skalarprodukt auf dem Raum (was sich in der Längenkontraktion äußert), nur so etwas ähnliches wie ein Skalarprodukt auf der Raumzeit. In der allgemeinen Relativitätstheorie gibt es auch das nicht mehr kanonisch, sondern es ist über die Einsteinsche Feldgleichung von der Energie-/Materie-Verteilung im Universum abhängig. Daher sind das die natürlichen Felder, wo man mit Tensoren in Berührung kommt. In der nichtrelativistischen Physik kann man einfach sagen, dass ein Tensor ein Objekt ist, dass eine bestimmte Anzahl (= Rang des Tensors) an Vektoren nimmt und daraus eine Zahl liefert.

Ein abstrakteres Beispiel für einen Tensor (kontravariant von Rang 3) wäre ein orientiertes Volumen, d.h. ein Spat, wobei allerdings nur die Ausrichtung der Vektoren gegeben ist und das Volumen, aber kein Wert auf die individuellen Längen der Vektoren gelegt wird (wie gesagt: abstrakteres Beispiel, das allerdings in der Quantenmechanik und Quantenchemie den Slaterdeterminanten entspricht und dort sehr konkret wird). Bedeutender ist eine Volumenform (kovariant von Rang 3): Nimmt drei Vektoren und gibt das Volumen des von ihnen aufgespannten Spates zurück.
Die Daseinsberechtigung für kontravariante Tensoren von Rang 3 ergibt sich daraus, dass man eine Volumenform auch alternativ als lineare Funktion eines orientierten Volumens ansehen kann (d.h. man kann Tensoren von Rang 3 kontravariant mit Tensoren von Rang 3 kovariant "paaren" und erhält einen Skalar; darüber hinaus ist das eine Veranschaulichung dessen, was man in der Algebra als universelle Abbildungseigenschaft des Tensorprodukts kennt). Das heißt, mit kontravarianten Tensoren kann man den Rang von kovarianten Tensoren reduzieren, indem man die Einsetzungen(!) in einem einzigen Objekt zusammenfasst.

Abschließende Bemerkung: Auch, wenn man nicht zwischen kovariant und kontravariant unterscheiden muss, ist ein Tensor in der Physik (und darüber hinaus auch in bestimmten Teilbereichen der Mathematik, insb. in der Differentialgeometrie) ein Objekt mit einem konkreten Transformationsverhalten. Nicht jedes einfach indizierte Objekt ist ein Vektor, und nicht jedes mehrfach indizierte Objekt ist ein Tensor (z.B. gibt es in der Differentialgeometrie und damit auch in der allgemeinen Relativitätstheorie die Christoffelsymbole, die auch drei Indizes haben, aber keine Tensoren sind, da sie ein komplizierteres Transformationsverhalten besitzen). Aus algebraischer Sicht ist natürlich eine 3*3-Matrix ein Tensor und mit demselben Recht auch ein Vektor, aber das ist nicht die Bedeutung des Begriffs in der Physik, da der

genau unter den Bedingungen, unter denen man den Begriff "Tensor" in der Physik verwendet, strukturell nicht geeignet ist, unsere Natur zu beschreiben (ein Punkt im Raum ist zunächst ein Punkt im Raum und nicht eine Sammlung von drei Zahlen, bevor ich mich nicht auf ein konkretes Koordinatensystem festlege). Und da sollte sich auch ein Informatiker klarmachen, dass man nur dann etwas simulieren kann, wenn man spezifiziert hat, wie das numerische Ergebnis physikalisch zu interpretieren ist (Wahl eines Koordinatensystems, Wahl von Einheiten, usw.), wohingegen die Mathematik abstraktere Objekte als Zahlen bereitstellt, von denen die Physik auch Gebrauch macht. Und die vector<T>-Klasse aus der C++-Standardbibliothek ist kein exaktes Abbild eines mathematischen Vektors, da insb. ein Vektorraum über einem Körper (und nicht etwa einem Ring oder einer Pflanzengattung) definiert ist, wohingegen T ein beliebiger typename sein kann. Es wird wohl auch keinen Streit darüber geben, in welchem Gebiet der Name "vector" zuerst vorhanden war und Pate für die Verwendung im jeweiligen anderen Gebiet gestanden hat.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Vielen Dank für diese ausführliche Darstellung!

Hättest du etwas dagegen, dass ich diesen Beitrag dupliziere, etwas editiere und unter unseren FAQs abspeichern?