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Freie Bewegung auf Kugel/ Metrischer Tensor
 
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vtxt1103



Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 276

Beitrag vtxt1103 Verfasst am: 01. Jun 2022 21:10    Titel: Freie Bewegung auf Kugel/ Metrischer Tensor Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo allerseits,

bei der folgenden Aufgabe habe ich bereits die und die B gelöst, allerdings weiß ich nicht wie es mit der c und der d weiter geht, sollen da die BGLs einfach gelöst werden? Wenn ja wie, denn wie ich sehe sind die Gekoppelt, was die Sache etwas schwieriger macht,

Aufgabe:

Betrachte ein Teilchen (Masse m), das sich ohne Einfluss von Kräften auf einer
Kugelfläche mit Radius R bewegt.
(a) Berechne den metrischen Tensor und gib die Lagrange-Funktion an.
(b) Leite mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen die Bewegungsgleichungen
ab.
(c) Zeige, dass Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit entlang der
Koordinatenlinien Lösungen dieser Bewegungsgleichungen sind.
(d) Zeige, dass Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit entlang derKoordinatenlinien im Allgemeinen keine Lösungen dieser Bewegungsgleichungen sind. Gibt es Ausnahmen?


Hinweis: Verwende hier die Winkel (q1, q2) = theta und phi der Standardkugelkoordinaten als generalisierte Koordinaten.


Meine Ideen:
Meine vorgehensweise zur a und b

a) Berechne metrischen Tensor:
Verwende Kugel koordinaten:


,








Metrik somit :


Stelle Lagrange Funktion auf.






Das war die a)

Jetzt b) Stelle Euler Lagrange Gleichungen auf:


Bgl für theta demnach:



Analog für phi:



BGL phi:



bzw



Wie gesagt bei der c und d weiß ich nicht weiter
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15736

Beitrag TomS Verfasst am: 01. Jun 2022 21:33    Titel: Antworten mit Zitat

Du solltest nach zyklischen Koordinaten bzw. allgemein Erhalungsgrößen suchen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.


Zuletzt bearbeitet von TomS am 02. Jun 2022 09:24, insgesamt einmal bearbeitet
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4999

Beitrag Myon Verfasst am: 02. Jun 2022 08:37    Titel: Antworten mit Zitat

Ich erhalte ganz leicht andere Bewegungsgleichungen:




Dass die beschriebenen Bahnen entlang der Koordinatenlinien Lösungen sind bzw. nur unter Einschränkungen Lösungen sind, sieht man auch direkt aus den Bewegungsgleichungen:

Bewegung entlang der -Koordinatenlinie mit konstanter Geschwindigkeit bedeutet ja:

,

entlang der Koordinatenlinie:

vtxt1103



Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 276

Beitrag vtxt1103 Verfasst am: 02. Jun 2022 13:16    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Myon

danke für deine Hinweise zur c und d, wäre mit dieser Arguementation die Aufgabe schon erledigt oder müsste man die Gleichungen noch Lösen, was ja eingentlich ziemlich Trivial ist
Zitat:






Ich habe das ^2 bei "phi-punkt" vergessen ja, allerdings bekomme ich für die Bewegungsgleichung der Phi Koordinate immer wieder die raus die ich auch hier angegeben habe.
Also
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4999

Beitrag Myon Verfasst am: 02. Jun 2022 15:34    Titel: Antworten mit Zitat

vtxt1103 hat Folgendes geschrieben:
(...) allerdings bekomme ich für die Bewegungsgleichung der Phi Koordinate immer wieder die raus die ich auch hier angegeben habe.
Also

Entschuldige bitte, ja, da ging bei mir ein Faktor 2 verloren.

Bei c) und d) würde ich einfach etwas wie folgt schreiben:

Eine Bahnkurve mit ist offensichtlich eine Lösung der Bewegungsgleichungen.
Eine Bewegung entlang der -Koordinatenlinien, also erfüllt die Bewegungsgleichungen nur, falls



Wobei für oder das Teilchen lediglich an den Polen ruhen würde.
vtxt1103



Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 276

Beitrag vtxt1103 Verfasst am: 02. Jun 2022 16:17    Titel: Antworten mit Zitat

Alles klar herzlichen Dank
!
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