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Licht auf Kristall mit Tensor: Berechnungen machen Probleme
 
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Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 16. Jan 2014 14:46    Titel: Licht auf Kristall mit Tensor: Berechnungen machen Probleme Antworten mit Zitat

Hallo,

folgendes Problem:

linearer, optisch anisotroper Kristall, der nicht magnetisch und frei von Ladung und Strom ist, ist gegeben. Für den Kristall gilt:




a) Zeigen sie mit Hilfe der Maxwell-Geichungen, dass für eine ebene Welle gilt:



b) Was Ergibt Gleichung aus a für k und E, wenn die Welle z-Ausbreitungsrichtung hat?

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, welche der vielen verschiedenen Formen der Maxwell-Geichungen ich nutzen soll.
Könnt ihr mir helfen?

Grüße
Sunny
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 16. Jan 2014 14:56    Titel: Antworten mit Zitat

Setz doch mal eine ebene Welle in die Maxwell-Gleichungen ein (soviel Möglichkeiten gibt es da ja nun nicht). Dann wird es vllt klarer wie es weitergeht.
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 16. Jan 2014 15:12    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die Antwort:
Naja, die ebene Welle sieht so aus:



Die Maxwell-Gleichungen, die mir spontan einfallen wären:







mit den Materialgleichungen:



Sind das die richtigen MW-Gleichungen?
Aber da stehen ja Stromdichte j drinnen. Kann ich das dann wegen "Strom und Ladungsfreitheit" j=0=rho setzten?

Wie sieht div D aus, wenn im D eine Matrix steckt?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 16. Jan 2014 16:00    Titel: Antworten mit Zitat

Das es nur vier Maxwell-Gleichungen gibt werden das schon die richtigen sein smile
Und ja, Dein Raum ist frei von ungebundenen/überschüssigen Ladungen und Strömen.

Jetzt also nur noch einsetzen und mit zwei Gleichungen geeignet B eliminieren. Da du als Tipp schon etwas hast wie k x (k x E), kann man sich schon sehen welche beiden Gleichungen man dafür wohl am besten nimmt.
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 16. Jan 2014 17:11    Titel: Antworten mit Zitat

Ok. Also ist rho=j=0

Aber woher soll ich nun wissen, welche Gleichungen ich zum rechnen nehmen soll…

Ich würde nun:



Da ja nicht magnetisch gilt und daher mu=mu_0*mu_r=1

Und dann noch:


Aber damit sehe ich irgendwie auch nicht, wie ich die Gleichung da zeigen kann…?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 17. Jan 2014 11:02    Titel: Antworten mit Zitat

Soviel Möglichkeiten gibt es ja nicht:
Nimm doch mal die beiden rot-Gleichungen und eliminier B.
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 17. Jan 2014 14:54    Titel: Antworten mit Zitat

Hi, danke für den Tipp. Da wir ebene Wellen haben, habe nun folgendes gemacht:




Da ja nicht magnetischer Kristall, mu = 1 = mu_0*mu_r

Meinst du das? Mir fehlt noch die Wellenzahl k und das c. Was wäre der nächste Schritt?

Grüße
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 17. Jan 2014 14:57    Titel: Antworten mit Zitat

Beim Aufschreiben ist wohl ein wenig schiefgelaufen, die zweite Zeile sieht arg merkwürdig aus (auch wenn am Ende das richtige dasteht).

Jetzt einfach die ebene Welle einsetzen, ausrechnen und fertig.
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 17. Jan 2014 15:05    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

dann schaue ich das noch mal an. Aber gut, dass das im Bild richtig ist.

Wie meinst du "Ebene Welle" einsetzten? Ich habe bei der Aufgabe ja kein E explizit gegeben. Oder meinst du diese Lösung:



Frage nur da dann noch: wie sieht die Amplitude aus?


oder

oder

oder


Danke und Grüße



Bildschirmfoto 2014-01-17 um 15.00.38.png
 Beschreibung:
Das, worin ich E einsetzten soll
 Dateigröße:  5.07 KB
 Angeschaut:  1817 mal

Bildschirmfoto 2014-01-17 um 15.00.38.png


jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 17. Jan 2014 15:10    Titel: Re: Licht auf Kristall mit Tensor: Berechnungen machen Probl Antworten mit Zitat

Sunny94 hat Folgendes geschrieben:

a) Zeigen sie mit Hilfe der Maxwell-Geichungen, dass für eine ebene Welle gilt:



b) Was Ergibt Gleichung aus a für k und E, wenn die Welle z-Ausbreitungsrichtung hat?

Das ist doch recht genau gegeben was verlangt ist. Wie das E-Feld einer ebenen Welle aussieht solltest Du wissen.
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 18. Jan 2014 09:27    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

Mit Hilfe von

und der Wellengleichung


Komme ich zu folgendem Ausdruck:











Nun bleiben leider weiterhin 2 Probleme bestehen:
1. Was mach mit grad(div(E))? div(E) ist hier ja nicht =0, wegen dem Kristall!
2. Wie bekomme ich jetzt noch meinen Wellenvektor k bzw. k^2 in die Gleichung?

Brauche also noch mal deine Hilfe….

Grüße
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jan 2014 10:08    Titel: Antworten mit Zitat

Du solltest die Wellengleichugn nicht benutzen, da hier k^2/omega^2/c^2 i.A. nicht gilt (das ist ja der ganze Witz dieser Rechnung). Die räumlichen Ableitungen werden einfach zu ik und dann steht die Gleichung schon da, die Du herleiten solltest.
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 18. Jan 2014 10:39    Titel: Antworten mit Zitat

Sunny94 hat Folgendes geschrieben:
Hi,









Ok, dann lasse ich die Wellengleichung einfach Weg…
Stimmen die folgenden Ableitungen?




Du siehst, den k^2-Term bekomme ich, aber der Rest klappt nicht. Insbesondere der w^2/c^2 Term erscheint einfach nicht beim Rechnen.
Wo liegt mein Fehler?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jan 2014 10:56    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn Du mal alles zusammen hinschreiben würdest und nicht immer nur kleine Fetzen, würdest Du sehen, dass Du schon alle Teile zusammen hast.
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 18. Jan 2014 21:30    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,
danke für die Antwort. Leider sehe ich es eben nicht, dass es genau passt, obwohl ich es mir im Ganzen hingeschrieben habe... Hammer

Ich sehe nicht, warum folgendes gelten soll, nachdem ich die Gleichung mit iw malgenommen habe:



Außerdem ist mir nicht klar, warum aus grad(div(E)) folgt, dass dann k*k^T. Für mein Verständnis kommt da k*k = |k|^2 heraus.

Kannst du mir diese beiden Punkte noch erklären?
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 18. Jan 2014 21:30    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,
danke für die Antwort. Leider sehe ich es eben nicht, dass es genau passt, obwohl ich es mir im Ganzen hingeschrieben habe... Hammer

Ich sehe nicht, warum folgendes gelten soll, nachdem ich die Gleichung mit iw malgenommen habe:



Außerdem ist mir nicht klar, warum aus grad(div(E)) folgt, dass dann k*k^T. Für mein Verständnis kommt da k*k = |k|^2 heraus.

Kannst du mir diese beiden Punkte noch erklären?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jan 2014 22:57    Titel: Antworten mit Zitat

Punkt 1 ist einfach ein Einheitenproblem. Du hast irgendwo mu0 vergessen. epsilon0*mu0=1/c^2. (Oder mach das ganze gleich in Gauss-Einheiten.)

Punkt 2: Schreib es Dir mal ausführlich bin mit allen Indizes ausgeschrieben, wenn Du die Ableitungen ausführst. Dann solltest Du es sehen.

(PS: Diese Aufgabe ist von der Schwierigkeit eine Klausuraufgabe, nur so zum Einordnen..)
Sunny94



Anmeldungsdatum: 01.03.2013
Beiträge: 158

Beitrag Sunny94 Verfasst am: 19. Jan 2014 09:26    Titel: Antworten mit Zitat

HI, danke für die Antwort.

Ja, ich habe ein mu_0 vergessen. Wusste nicht, dass die Notation mu=1 im Buch heißt, dass dann nur mu_r=1 ist.
Auch mit dem "Transponiert" ist nun klar.
Vielen Dank dafür.

Nun zur b)
Wen sich die Welle in Z-Richtung ausbreitet, heißt das dann:
\vec{k} = k \vec{e}
?

Wie bekomme ich dann etwas für E?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 19. Jan 2014 11:54    Titel: Antworten mit Zitat

Sunny94 hat Folgendes geschrieben:

Nun zur b)
Wen sich die Welle in Z-Richtung ausbreitet, heißt das dann:
\vec{k} = k \vec{e}
?

Eigentlich nicht, weil die Ausbreitungsrichtung eher durch die Gruppengeschwindigkeit gegeben ist. Aber ich denke das was Du geschrieben hast ist in der Aufgabenstellung gemeint. Du erhaelst Dann eine Matrixgleichung die dir die Dispersationsrelation liefert und auch was über die Polarisation aussagt (Achtung ist nicht Null, nur ).
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