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Chander
Anmeldungsdatum: 04.08.2019
Beiträge: 7
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 Chander Verfasst am: 30. Jun 2021 11:56 Titel: Eindringtiefe in Kunststoff bei Aufprall |
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Ein Körper der Masse m bewegt sich horizontal und prallt mit der Geschwindigkeit v auf eine senkrecht stehende Wand aus Kunststoff. Die Stirnfläche des Körpers ist flach und sei A. Der Kunststoff verformt sich elastisch. Gesucht sind die Eindringtiefe und die Dauer bis zum Erreichen der maximalen Eindringtiefe.
Es handelt sich um eine Praxisanwendung, d.h. fehlende Angaben zu Material etc. kann ich jederzeit recherchieren. Mein Problem ist, ich komme bereits beim Ansatz nicht weiter. Wenn man die kinetische Energie mit der Verformungsarbeit gleichsetzt, dann scheitert es bei mir an Letzterer. Wie berechnet man die Verformungsarbeit eines Werkstoffes? |
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gast_free
Gast
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| gast_free Verfasst am: 30. Jun 2021 13:17 Titel: |
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Der Ansatz ist ein energetischer. Die Bewegungsenergie von m wird in Verformungsenergie der Masse m und der Aufprallfläche umgewandelt. Geht man davon aus, das sich m nicht oder fast gar nicht verformt muss man nur doch die Wandverformung berücksichtigen.
Der Verformung der Wand liegt ein Kraftgesetz zugrunde. Bezeichnet man x als die Koordinaten der Verformung gilt:
)
Die Verformungsarbeit errechnet sich aus:
=\int_{x=0}^{x_v} F(x) dx)
Energieerhaltung:
 dx)
Hier aus lässt sich die Verformung berechnen, sofern die Verformung von m vernachlässigbar ist.
Beispiel:
=k\cdot x)
=\frac{k}{2}\cdot x_v^2)
Verformung bei linearen Kraftgesetz und nur einem Körper.
Wenn sich beide Körper verformen gilt Actio=Reactio. Die Summe aus beiden Verfomungsenergien sind mit der Aufprallenergie identisch. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 30. Jun 2021 14:30 Titel: |
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Der Aufprall erfolgt elastisch - für die Verformung gilt das Hooke'sche Gesetz
E = Elatizitätsmodul
F = Druckkraft
A = Aufprallfläche
l_0 = Dicke der Platte
m = Aufprallende Masse
v = Aufprallgeschwindigkeit
Delta l = Längenänderung
Kinetische Energie
Formänderungsarbeit
 )
^{2} )
Energieerhaltung
^{2})
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gast_free
Gast
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| gast_free Verfasst am: 01. Jul 2021 09:01 Titel: |
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Mit dem Hookschen Gesetz für den eindimensionalen Fall kann man die Konstante k aus den Materialparametern berechnen.
A: Aufprallfläche
D: Dicke vor dem Aufprall in x-Richhtung
E: Elastizitätsmodul des elastischen Aufprallkörpers
Somit ist k:
und die Verformung xv.
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Chander
Anmeldungsdatum: 04.08.2019
Beiträge: 7
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| Chander Verfasst am: 02. Jul 2021 14:37 Titel: |
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Herzlichen Dank für Eure Antworten. Insbesondere für die Berechnung von k.
Unter Vernachlässigung einer Materialverdichtung und somit einer möglichen Erhöhung von k, sowie der willkürlichen Annahme, dass wir hier eine Schwingungsgleichung nutzen können, lassen sich t, v und a berechnen.
=C_{1}\cos(\omega t) + C_{2}\sin(\omega t) )
=-\omega C_{1}\sin(\omega t) + \omega C_{2}\cos(\omega t) )
Aus den Bedingungen im Moment des Aufpralls bei t=0 mit Geschwindigkeit v folgt
Für die Ermittlung der Dauer des Vorgangs setzt man v(t)=0, d.h. kurzzeitiger Stillstand der Masse bei Abschluss der elastischen Verformung, und löst nach t auf; arccos(0) ist pi/2. Somit:
Was mich fasziniert ist, dass die Dauer des Vorgangs ausschließlich von Masse und Federkonstante abhängt.
Nur bei einer Sache bin ich noch nicht so ganz dabei:
Daraus folgt: Je dicker die Prallwand, desto geringer die Federkonstante und folglich umso größer die Eindringtiefe. Dies führt zu unrealistischen Eindringtiefen.
Wie lässt sich das in den Griff bekommen? Kennt jemand eine Alternative für die Bestimmung der Federkonstante oder eventuell einen alternativen Ansatz? |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 02. Jul 2021 14:53 Titel: |
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| Chander hat Folgendes geschrieben: | Nur bei einer Sache bin ich noch nicht so ganz dabei:
Daraus folgt: Je dicker die Prallwand, desto geringer die Federkonstante und folglich umso größer die Eindringtiefe. Dies führt zu unrealistischen Eindringtiefen. |
Wenn ich es richtig sehe, dann wird die Wand hier als masselose Feder modelliert. Das ist natürlich unrealistisch.
| Chander hat Folgendes geschrieben: | | Wie lässt sich das in den Griff bekommen? Kennt jemand eine Alternative für die Bestimmung der Federkonstante oder eventuell einen alternativen Ansatz? |
Du könntest die Wand durch eine Reihe (oder ein ganzes Netz) von Massepunkten ersetzen, die durch Federn mit ihren Nachbarn verbunden sind. Ich fürchte allerdings, dass sich das nicht mehr explizit berechnen lässt. Das wirst Du dann wohl simulieren müssen. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 02. Jul 2021 18:39 Titel: |
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Ich werde morgen einen alternativen Ansatz zeigen. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 03. Jul 2021 11:31 Titel: |
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Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass gefragt ist, wie tief die Masse in die Kunststoffplatte eindringt.
Gleichung von Poncelet:
Annahmen: Keine Verformung der auftreffenden Masse - Querschnitts- und Mantelfläche bleiben konstant. Masse m << Masse Platte oder Platte fest eingespannt.
c_o = Scherspannung
c_1 = Reibungswiderstand (1/2*Dichte Platte * Reibwert Platte/Masse)
A = Querschnittsfläche auftreffende Masse oder Platte fest eingespannt.
m = Auftreffende Masse
v = Auftreffgeschwindigkeit
d = Dicke der Platte
Äussere Kraft
Verformungskraft (Scherkraft + Reibungskraft)
 )
DGL
 = 0)
 )
 Platte wird durchschlagen
 )
Oder hast Du gemeint, wie stark sich die Platte durchbiegt?
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 03. Jul 2021 19:21, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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Chander
Anmeldungsdatum: 04.08.2019
Beiträge: 7
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| Chander Verfasst am: 03. Jul 2021 13:40 Titel: |
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Hallo Mathefix, vielen Dank. Das ist genau das, an was ich interessiert war. Werde nun gleich mal bzgl. C_o, C_1 und Poncelet recherchieren.
Danke! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 03. Jul 2021 19:56 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Gleichung von Poncelet |
Gilt die auch für rein elastische Verformung des Ziels? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 03. Jul 2021 21:15 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Gleichung von Poncelet |
Gilt die auch für rein elastische Verformung des Ziels? |
Das hängt von der Masse , ihrem Querschnitt, Auftreffgeschwindigkeit und den Werkstoffparametern ab.
Wenn die Scherspannung im Hooke'schen Bereich bleibt, bildet sich der Auftreffeindruck zurück.
Man kann auch das Eindrücken eines starren Stempels in eine elastische Halbebene betrachten. Da müsste ich tief einsteigen - ist schon sehr lange her. |
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