Max. Geschwindigkeit bei Aufprall

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Hallo,

ich habe hier ein Beispiel zur Berechnung der maximalen Geschwindigkeit, wenn man mit dem Kopf gegen das Lenkrad pralle bei einer der Auffahrt gegen eine Wand.

Erstmal ergibt sich folgende Bewegungsgleichung:

1. Ableitung:

Dann für v oben in s(t) einsetzen, auf t umformen bei s(t)=0 und t dann wieder in v(t) einsetzen.

Könnte das so stimmen, aber ehrlich gesagt ist es mir nicht ganz geläufig. Ich habe einfach Gleichungen gesucht und dann so umgeformt.

Aber die s(t)-Gleichung ist mir klar. -0,5m, weil man ja am Ende bei 0m gelandet ist, wenn der Kopf gegen das Lenkrad stößt und 2*g ist halt meine Beschleunigung. Das stimmt so oder?

Gruß
joe1

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Hallo,

es gibt einen ganz einfachen Zusammenhang zwischen Weg, Beschleunigung und Geschwindigkeit (ganz ohne die Zeit t).
Wäre es ein freier Fall, würde man "instinktiv" den Energieerhaltungssatz hinschreiben:

Der sich daraus ergebende Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Beschleunigung und Weg gilt aber natürlich auch ganz allgemein:

Nach v umstellen, fertig.

Gruß

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Ah ok, so einfach geht das?

Kannst du mir zeigen, wie du auf die zweite Gleichung kommst bitte? a*s ist doch Beschleunigung mal Weg, um die Geschwindigkeit zu erhalten, aber wie kommst du auf die linke Seite?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Moin,

beim freien Fall würde man doch die obere Gleichung verwenden, und anschließend die Masse rauskürzen.
Was für den freien Fall mit der Beschleunigung g und dem Weg h gilt, gilt natürlich auch ganz allgemein für gleichförmig beschleunigte Bewegungen.
Man kann also für die Beschleunigung statt g allgemein a schreiben und für den Weg allgemein s.

Die untere Gleichung kann man alternativ auch so herleiten:

Es gilt:

daraus folgt:

(Gl. 1)

weitergin gilt für den Weg:

(Gl.2)

Gl.1 in Gl.2 eingesetzt:

also:

oder:

Ich persönlich kann es mir aber über den Energieerhaltungssatz für den freien Fall besser merken.

Gruß

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Ahh okay danke, d.h. meine Formen die ich genannt haben braucht man nur für Parabelförmige und andere nicht gerade-förmige Bewegungen? Darum schreibt man sie ja auch als Vektorgleichung an.

Ist das so richtig?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

das würde ich so nicht unbedingt sahen.
Die Gleichungen, die Du verwendet hast, sind die Grundgleichungen für die gleichförmig beschleunigte Bewegung.

"Meine" Formel habe ich letztendlich ja auch aus diesen Grundgleichungen herleiten können. Und wenn z. B. die Zeit t gefragt wäre, müsstest Du auch mit diesen Gleichungen rechnen.

In der vorliegenden Aufgabe ist die Zeit aber weder gefragt, noch gegeben. Daher ist die Gleichung, die ich Dir gezeigt habe hier vorteilhaft.

Gruß

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Ah ok danke.

D.h. unter maximaler Geschwindikeit versteht man jene Geschwindigkeit bei der ich bei s=50cm bin, oder wie? Denn ab s=50cm wird ja negativ beschleunigt und wenn ich mit dem Kopf am Lenkrad bin ist ja v=0.

Aber muss ich da überhaupt die Beschleunigung einführen, wenn ich die Geschwindigkeit bei s=50cm wissen will?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Also hier würde ich eher den ursprünglichen Ansatz mit den Bewegungsgleichungen empfehlen. Dabei ist aber die Ableitung falsch: wenn Du gt^2 ableitest, dann kommt da 2gt raus. Du hast die 2 vergessen.

Das mit der Energie finde ich extrem schwierig: da muss man sich eigentlich ein Potential vorstellen, das durch die konstante Scheinkraft der konstanten Verzögerung erzeugt wird um dann die Analogie zum homogenen Gravitationspotential zu ziehen. Klar lässt sich das dann wie beim freien Fall ganz einfach mit den Energiegleichungen dann auch rechnen, aber streng genommen ist das nicht so trivial wirklich zu zeigen, dass man das in diesem Fall auch darf. Intuitiv mag das für den einen oder anderen eventuell total klar sein...

Gruß
Marco

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Hallo Marco,

also wäre folgende Argumentation zu "Hemdsärmlig"?:

Zum Zeitpunkt t=0 hat der Körper eine Geschwindigkeit v0, und damit die
kinetische Energie:

Während der Verzögerung wirkt auf den Körper die Konstante Kraft m*a.
Diese konstante Kraft wirkt über den gesamten Bremsweg s.
Es wird also während des Bremsvorganges die folgende Arbeit geleistet:

Diese Arbeit muss der kinetischen Energie des Körpers vor dem Bremsvorgang entsprechen, wenn dieser bis auf v=0 abgebremst wird:

Masse kürzt sich raus:

Die letzte Gleichung lässt sich ja auch ziemlich leicht über die Bewegungsgleichungen herleiten und stimmt daher auch. Ich würde nur gerne wissen, ob man auch wie oben argumentieren kann.

Danke und Gruß

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

OK, danke Leute. Ich möchte aber dennoch die Aufgabe mit der Bewegungsgleichung s(t) besprechen.

Also: s(t) ist doch der Ort an dem ich mich zum Zeitpunkt t befinde.
S0 ist der anfangsort sozusagen. Und naja ich habe die Beschleunigung und dir Geschwindigkeit hier drinnen.

Kann man das nun als Extremwertaufgabe sehen oder wie bekomme ich die max. Geschwindigkeit?

Die wird ja kurz vorm Aufprall mit dem Kopf aufbdas Lenkrad erreicht, oder? Denn wenn der Kopf auf das lenkrad prallt, dann ist v=0.

Kann mir das einer erklären bitte?

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Kann mir jemand weiterhelfen bitte smile

?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Hallo,

in der Funktion s(t) kommt noch die (unbekannte) Zeit t vor.
Du brauchst also eine weitere Gleichung, z. B. v(t).
Diese könntest Du dann nach t auflösen und in s(t) einsetzen, so wie ich es im 4. Beitrag getan habe.

Gruß

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Okay, dann habe ich:

Ja aber was ist dann v(t) und v_0? Klar, v(t) aktuelle geschwindigkeit beim Zeitpuknt t und v_0 ist die Startgeschwindigkeit.

Aber ich brauche doch die maximale Geschwindigkeit, wo steckt die drinnen?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Deine Bewegungsgleichung s(t) ist falsch. Da fehlt ein 1/2 vor dem a*t^2
Und die Beschleunigung würde ich mit a kennzeichnen und nicht mit g.

v0 ist dann die gesuchte Anfangsgeschwindigkeit. Du weißt ja, dass am Ende des Vorgangs sowohl der Weg als auch die Geschwindigkeit Null sind. Also kannst Du in den Gleichungen s(t) und v(t) Null setzen, wenn Du mit t den Zeitpunkt des Auftreffens am Lenkrad betrachtest.

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Achso, schon langsam wird die ganze Sache klarer, danke dir!

Wenn ich auf t umforme, dann habe ich ja die Anfangsgeschwindigkeit V_0 drinnen, doch wenn ich dann in s(t) dieses t einsetze, dann habe ich ja v_0 und v drinnen stehen.

Ist dieses V auch die Anfangsgeschwindigkeit? Müsst doch sein, denn wenn ich s(t) ableite steht dieses v genau alleine da, nur wird es als V_0 gekennzeichnet.

Habe ich das so richtig verstanden?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

ja, das hast Du soweit richtig verstanden.
Zeig doch mal, auf welches Ergebnis Du kommst.

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Okay:

Also ich war mir nicht sicher, ob ich für s_0 jetzt -0,5m oder +0,5m einsetzen muss, aber wenn ich -0,5m einsetze, dann würde das ein neg. Ergebnis unter der Wurzel ergeben und das ergibt dann keinen Sinn mehr.

Ich komme mit -0,5m auf: v=3,962 m/s

Ohne das jetzt mit der neg. Wurzel zu begründen: Warum muss ich für s_0 = -0,5m einsetzen? Weil ich eine pos. Beschleunigung habe und ich ja dann runterzählen muss, um auf 0m zu kommen? Bzw. ich habe ja auch s(t)=0 gesetzt.

Aber es ginge auch mit +0,5m und einer neg. Beschleunigung, oder?

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

Hallo,

da hast Du irgendwo Murks gebaut.
Den Anfangsweg s0 würde ich positiv angeben. Die negative Beschleunigung hast Du doch schon durch das negative Vorzeichen in der Gleichung s(t) berücksichtigt.

Wie sehen jetzt Deine Anfangsgleichungen aus?

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Also hier mal mit rein formelmäßig:

Aber da ist irgendetwas falsch, wenn ich für a eine neg. Beschl. machen kommt etwas neg. raus unter der Wurzel. Komme nicht drauf.

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

in der Gleichung v(t) ist eine 2 zuviel.
Und beim Einsetzen von t in die Gleichung s(t) hast Du das Quadrat beim t^2 nicht berücksichtigt.

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Ach, verdammt.

Hm so müsste es jetzt stimmen, aber es kommt doch immer noch neg. unter der Wurzel raus :o? grübelnd

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

@joe1
Dass Dein Ergebnis nicht stimmen kann, lässt sich aus dem Vergleich mit dem anerkannt richtigen Ergebnis aus dem Energieerhaltungssatz leicht erkennen.

Hier geht sowohl auf Seiten von joe1 als auch auf Seiten von hansguckindieluft Einiges durcheinander. Da sind Vorzeichen von s0 mal positiv und mal negativ, da wird gesagt, es fehle in einer Gleichung der Faktor 1/2, obwohl die Verzögerung mit a=2*g gegeben ist usw.

Ich würde ja der Einfachheit halber die wohlbekannten Gleichungen für die gleichmäßig verzögerte Bewegung bis zum Stillstand nehmen.

Bremsweg

und Geschwindigkeit (im Stillstand)

In Bremsweggleichung einsetzen:

Nach v_0 auflösen:

und mit a=2*g

hansguckindieluft · Anmeldungsdatum: 23.12.2014 Beiträge: 1212

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Hmm ok danke.

1. Aber warum kann man das nicht so lösen, wie ich es tun wollte?
2. Wie leitet man die Bremsweggleichung her?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

joe1 · Anmeldungsdatum: 28.10.2015 Beiträge: 90

Schon langsam wirds klarer. - danke!

Aber eins ist noch unklar:
Warum brauch ich bei einer neg. anfangsposition eine neg. Beschleunigung?
Wäre es nicht logischer von +0,5m zu starten und dann neg. Beschleunigung bis 0m?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861