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Nachricht |
mathprob1
Gast
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 mathprob1 Verfasst am: 29. Apr 2021 13:30 Titel: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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Meine Frage:
Kennt jemand einen Beweis dafür, dass
 \cdot d\vec{r} )
ist.
Ich hab im Internet nur Beispiele gefunden aber keinen konkreten Beweis.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
vielen Dank schoon einmal im Vorraus
Meine Ideen: |
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gast_free
Gast
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| gast_free Verfasst am: 29. Apr 2021 13:57 Titel: |
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Wenn sich das beschriebene Integral um eine infinitesimal kleine Fläche bilden lässt, ist es mit der Rotation eines Vektorfeldes idetisch. Wenn diese Rotation in allen Punkten des Kraftfeldes den Wert Null besitzt ist es Wirbelfrei und die Arbeit unabhängig vom Weg.
Diese Identität lässt sich über einen der Greenschen-Integralsätze zeigen. Hat man ersteinmal die Rotation am Wickel wird der Beweis ganz einfach. Man nimmt eine skalare Potentialfunktion deren partielle Ableitungen das Kraftfeld ergeben. Man hat bei der Rotation zweifache partielle Ableitungen im Ausdruck. Da sich die Reihenfolge der Ableitungen vertauschen lässt verschwinden die Ausdrücke und die Rotation wird zu Null. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18133
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| TomS Verfasst am: 29. Apr 2021 14:42 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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| mathprob1 hat Folgendes geschrieben: | Kennt jemand einen Beweis dafür, dass
ist. |
Du meinst einen Beweis dafür, dass das Kurvenintegral entlang einer geschlossene Kurve, die ein Gebiet S berandet, verschwindet
- unter den Voraussetzungen, dass
sowie dass das Gebiet S einfach zusammenhängend ist und F darauf bestimmte Bedingungen erfüllt.
Das funktioniert direkt mittels des Theorems von Stokes
 \cdot d\vec{S} )
und
 = 0 )
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Apr 2021 10:49, insgesamt einmal bearbeitet |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 29. Apr 2021 17:44 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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| mathprob1 hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Kennt jemand einen Beweis dafür, dass
ist.
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Du musst schon die Voraussetzungen dafür nennen (siehe TomS), denn allgemein gilt das nicht.
Du kannst zB. vom mechanischen Energierhaltungssatz (E_pot, E_kin) ausgehen und dann zwei Wege wählen, bei denen sich die Änderungen der potientellen Energie aufheben (der Weg muss also nichtmal geschlossen sein):
 \; \Delta E_{pot} = 0 \rightarrow \Delta E_{kin} = 0)
Jetzt betrachtest du für zwei solcher Wege (1), (2):
} = \frac{1}{2} \int \limits_{(1)} m \; d(v^2) = \int \limits_{(1)} m v \; d v = \int \limits_{(1)} m a \; v dt = \int \limits_{(1)} F \; dr)
} = \int \limits_{(2)} F \; dr)
und somit nach (*)
+(2)}\}} = \Delta E_{kin,(1)} + \Delta E_{kin,(2)} = \int \limits_{\{(1)+(2)\}} F \; dr = 0) |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 29. Apr 2021 19:20 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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| mathprob1 hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Kennt jemand einen Beweis dafür, dass
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Das ist nicht allgemein der Fall, sondern nur, wenn man konservative Kräfte hat, d.h. solche, die sich als Gradient eines Potenzials schreiben lassen.
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5049
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| DrStupid Verfasst am: 29. Apr 2021 23:25 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: | | Das ist nicht allgemein der Fall, sondern nur, wenn man konservative Kräfte hat, d.h. solche, die sich als Gradient eines Potenzials schreiben lassen. |
Nicht nur. Es gilt z.B. auch für die Lorentzkraft. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18133
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| TomS Verfasst am: 30. Apr 2021 08:10 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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Wie definierst du denn für die Lorentzkraft den Ausdruck
 \times \vec{B}(r) \right) \cdot d\vec{r} )
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5049
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| DrStupid Verfasst am: 30. Apr 2021 08:36 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Wie definierst du denn für die Lorentzkraft den Ausdruck
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Das muss ich gar nicht. Es genügt
und somit
 \cdot dr = 0)
Ein Integral über diesen Ausdruck ist dann ebenfalls Null. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18133
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| TomS Verfasst am: 30. Apr 2021 10:06 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Wie definierst du denn für die Lorentzkraft den Ausdruck
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Das muss ich gar nicht. Es genügt
und somit
Ein Integral über diesen Ausdruck ist dann ebenfalls Null. |
Natürlich musst du das, sonst wissen wir ja nicht, wovon wir reden. Aber du definierst den Ausdruck ja auch explizit: du wählst eine beliebige geschlossene Integrationskontur, die im Allgemeinen nicht einer realen Bahnkurve (die die Bewegungsgleichungen löst) entspricht und du nutzt weiterhin aus, dass der Tangentialvektor entlang dieser Bahnkurve auf der Lorentzkraft für diese Bahnkurve senkrecht steht.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5891
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| Myon Verfasst am: 30. Apr 2021 10:46 Titel: |
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@TomS: Wieder mal danke für Deinen obigen ersten Beitrag. Dass man das so kurz und schön zeigen kann, wusste ich nicht. Oder ich hab's, wie vieles andere, wieder vergessen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18133
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| TomS Verfasst am: 30. Apr 2021 10:50 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | @TomS: Wieder mal danke für Deinen obigen ersten Beitrag. Dass man das so kurz und schön zeigen kann, wusste ich nicht. Oder ich hab's, wie vieles andere, wieder vergessen. |
Sehr gerne; und vielen Dank 
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5049
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| DrStupid Verfasst am: 30. Apr 2021 13:01 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber du definierst den Ausdruck ja auch explizit |
Nicht den Ausdruck, den Du definiert haben wolltest. Die Geschwindigkeit ist (anders als von Dir gefordert) nicht notwendigerweis eine Funktion des Ortes. Deshalb mache ich das Ganze von der Zeit abhängig. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18133
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| TomS Verfasst am: 30. Apr 2021 14:12 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aber du definierst den Ausdruck ja auch explizit |
Nicht den Ausdruck, den Du definiert haben wolltest. Die Geschwindigkeit ist (anders als von Dir gefordert) nicht notwendigerweis eine Funktion des Ortes. Deshalb mache ich das Ganze von der Zeit abhängig. |
Verstehe ich nicht.
Ich fordere das nicht, ich lasse lediglich zu, dass die Integrationskontur mit einer variablen "Geschwindigkeit" durchlaufen wird, diese also ortsabhängig sein kann.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5049
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| DrStupid Verfasst am: 30. Apr 2021 17:26 Titel: Re: Beweis für Wegunabhängigkeit |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ich fordere das nicht |
Du hast mich gefragt, wie ich für die Lorentzkraft den Ausdruck
definiere. Da steht v als Funktion von r drin. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18133
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| TomS Verfasst am: 30. Apr 2021 17:36 Titel: |
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Ja, weil v i.A. nunmal eine Funktion von r ist; das ist auch bei dir der Fall, wenn du jetzt eine Parametrisierung mittels der Zeit t einführst.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5049
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| DrStupid Verfasst am: 30. Apr 2021 17:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ja, weil v i.A. nunmal eine Funktion von r ist; das ist auch bei dir der Fall, wenn du jetzt eine Parametrisierung mittels der Zeit t einführst. |
Nicht notwendigerweise. Wenn der Pfad bei verschiedenem t mit verschiedenem v am selben r vorbei kommt, dann ist v auf dem kompletten Pfad keine Funktion von r. Man kann v(r) in so einem Fall nur noch in Intervallen von t definieren, in denen sich der Pfad nicht selbst schneidet. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18133
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| TomS Verfasst am: 30. Apr 2021 17:53 Titel: |
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Ja, und? Das ändert nichts an der Notation.
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