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Eigenschaft des Hodge-Stern-Operators beweisen
 
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Bardolino
Gast





Beitrag Bardolino Verfasst am: 16. März 2021 22:52    Titel: Eigenschaft des Hodge-Stern-Operators beweisen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

Ich beschäftige mich in Vorbereitung auf eine Vorlesung zur ART mit Differentialgeometrie. Dabei kam mir der "Hodge-Stern-Operator" unter, der folgendermaßen definiert ist:

---

Sei eine -dimensionale Mannigfaltigkeit und sei



der "Hodge-Stern-Operator", so dass



für alle . Hierbei bezeichnet das innere Produkt, welches definiert ist als:



---

Ich soll nun zeigen, dass gilt:





Nun bin ich bisher leider daran gescheitert diese Identität zu beweisen. Auch im Internet habe ich keine Beweise gefunden die nicht die wesentlichsten Punkte in der Beweisführung entweder übersprungen haben, oder dieselben zu wenig detailliert dargestellt haben, sodass auch ich sie verstehe.

Falls mir hier jemand weiterhelfen kann (durch Quellenangabe oder durch Angabe eines Beweises) würde ich mich sehr freuen.


Beste Grüße,

Bardolino


Meine Ideen:
...
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 2218

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. März 2021 13:56    Titel: Antworten mit Zitat

Mich wundert die Definition etwas. Der Hodge-Operator ist ja eine lokale Operation und auch dann definiert, wenn das Integral



aus irgendwelchen Gründen gar nicht existiert.

Üblicherweise verwendet man eine der beiden äquivalenten Definitionen



oder



Hierbei ist die Volumenform und das innere Produkt der beiden p-Formen ist definiert als die Bilinearform



Ein paar Bemerkungen zum Beweis: Ich würde es mit dem Ansatz



versuchen. Um die Koeffizienten K zu bestimmen multipliziert man von links mit wobei die Indizes fix und alle verschieden sind. Auf der rechten Seite bleibt nur ein Term übrig, denn muß eine komplementäre Permutation von sein und davon kann nur eine geordnet sein. Dann steht rechts also



Das Vorzeichen ist das der Permutation . Nach der ersten Definition von oben folgt



Damit müßte man es eigentlich irgendwie hingebastelt bekommen. Das kommt offenbar aus der Entwicklung der Determinante, der Faktor daher, daß man in der Summenkonvention die Bedingung fallen läßt.
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