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Nachricht |
Bernd24
Gast
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 Bernd24 Verfasst am: 08. März 2021 11:06 Titel: Ko- und kontravariante Vektoren |
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Hallo,
es gibt ein paar Aspekte, die mir bei ko- und kontravarianten Vektoren unklar sind.
Man schreibt häufig für die Koordinaten  bzw  , was suggeriert, dass sie sich ko bzw kontravariant Transformieren. In der SRT, d.h. im Minkowski-Raum kann ich mir das noch vorstellen, aber in der ART d.h. auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit macht es meines Erachtens nach keinen Sinn, dass die Koordinaten ein entsprechendes Transformationsverhalten haben. Dort ist doch ein Koordinatenwechsel nichts anderes als ein Kartenwechsel.
Auch macht es dort meines Erachtens nach keinen Sinn dort von einem einen ko- bzw kontravarianten Ortsvektor zu sprechen.
Die nächste Frage betrifft die partielle Ableitung. Man schreibt oft
 bzw. 
was impliziert, dass man einmal nach einer kontra und einmal nach einer kovarianten Koordinate ableitet, wobei das eine einen ko und das anderen einen kontravarianten Vektor ergibt. Inwiefern ergibt das Sinn bei der ART, wo doch partielle Ableitungen sich überhaupt gar nicht wie ein Tensor transformieren, sofern man in einer nicht flachen Raumzeit ist.
die nächste Frage wäre folgende. Mal angenommen ich habe folgenden Ausdruck
)
Müsste ich dann die kovariante komponente als konstant ansehen oder müsste ich es erst in  umwandeln und dann entsprechend ableiten?
Vielen Dank schonmal |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 08. März 2021 16:55 Titel: Re: Ko- und kontravariante Vektoren |
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| Bernd24 hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
es gibt ein paar Aspekte, die mir bei ko- und kontravarianten Vektoren unklar sind.
Man schreibt häufig für die Koordinaten bzw , was suggeriert, dass sie sich ko bzw kontravariant Transformieren. In der SRT, d.h. im Minkowski-Raum kann ich mir das noch vorstellen, aber in der ART d.h. auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit macht es meines Erachtens nach keinen Sinn, dass die Koordinaten ein entsprechendes Transformationsverhalten haben.
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Ja, da hast du recht. Für Koordinatenfunktionen ergibt die Unterscheidung keinen Sinn. Im Minkowskiraum kann man das so machen, weil man die immer als Komponenten eines Ortsvektors ansehen kann, deren Indizes man senken kann  .
Ich kann mich auch nicht erinnern, schon mal gesehen zu haben, daß ein Autor ko- und kontravariante Indizes an Kartenfunktionen unterscheidet. Hast du dafür eine konkrete Referenz?
| Zitat: |
Dort ist doch ein Koordinatenwechsel nichts anderes als ein Kartenwechsel.
Auch macht es dort meines Erachtens nach keinen Sinn dort von einem einen ko- bzw kontravarianten Ortsvektor zu sprechen.
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Ja, das stimmt. Das Konzept des Ortsvektors ist eigentlich nur im Minkowskiraum sinnvoll, nicht auf einer allgemeinen Mannigfaltigkeit.
| Zitat: |
Die nächste Frage betrifft die partielle Ableitung. Man schreibt oft
bzw.
was impliziert, dass man einmal nach einer kontra und einmal nach einer kovarianten Koordinate ableitet, wobei das eine einen ko und das anderen einen kontravarianten Vektor ergibt. Inwiefern ergibt das Sinn bei der ART, wo doch partielle Ableitungen sich überhaupt gar nicht wie ein Tensor transformieren, sofern man in einer nicht flachen Raumzeit ist.
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Doch, die transformieren schon wie ein Vektor
Das ist ja einfach eine Formulierung der Kettenregel.
Als Definition für  würde ich einfach  ansehen. Dann ergibt alles auch auf Mannigfaltigkeiten Sinn.
| Zitat: |
die nächste Frage wäre folgende. Mal angenommen ich habe folgenden Ausdruck
Müsste ich dann die kovariante komponente als konstant ansehen oder müsste ich es erst in umwandeln und dann entsprechend ableiten?
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Wenn du nach  ableiten willst, mußt du die komplette -Abhängigkeit der abzuleitenden Funktion berücksichtigen. Diese lautet in diesem Fall
x_\mu(x^\lambda, ...))
Meine Gegenfrage lautet also: wie kommst du darauf, daß ganz allgemein nie von abhängt? |
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Bernd24
Gast
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| Bernd24 Verfasst am: 09. März 2021 10:36 Titel: |
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Hallo index_razor
Vielen Dank
das hat mir schon sehr weitergeholfen.
| Zitat: | Ich kann mich auch nicht erinnern, schon mal gesehen zu haben, daß ein Autor ko- und kontravariante Indizes an Kartenfunktionen unterscheidet. Hast du dafür eine konkrete Referenz?
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Es ging mir darum, dass man häufig sowas schreibt wie
}{\partial x^\mu})
Was für mich impliziert hat, dass man nach kontravarianten Koordinaten ableitet, wegen des hochgestellten indizes bei der Ableitungsvariablen.
| Zitat: | | Wenn du nach ableiten willst, mußt du die komplette -Abhängigkeit der abzuleitenden Funktion berücksichtigen. Diese lautet in diesem Fall |
Ist es nicht bei partiellen Ableitungen so, dass ich alle anderen Variablen als Konstanten betrachte? Mal ein Beispiel wie es schon in der klassischen Physik auftritt
, t)}{dt}=\frac{\partial f(x, t)}{\partial x}*\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f(x, t)}{\partial t})
Ich habe halt die totale Ableitung gebildet. Die partielle Ableitung ist doch so zu verstehen, dass man t fixiert. Deswegen versteh ich nicht was du meinst.
Deswegen war meine Frage bei dem oben genannten Ausdruck ob man bei einer partiellen Ableitung nach der kontravarianten komponente die kovariante komponente als konstant betrachtet. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. März 2021 17:23 Titel: |
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| Bernd24 hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | Ich kann mich auch nicht erinnern, schon mal gesehen zu haben, daß ein Autor ko- und kontravariante Indizes an Kartenfunktionen unterscheidet. Hast du dafür eine konkrete Referenz?
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Es ging mir darum, dass man häufig sowas schreibt wie
Was für mich impliziert hat, dass man nach kontravarianten Koordinaten ableitet, wegen des hochgestellten indizes bei der Ableitungsvariablen.
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Es gibt keine "kontravarianten" Koordinaten. Die Begriffe ko- und kontravariant beschreiben doch gerade das Verhalten unter Koordinatenwechseln.
| Zitat: |
| Zitat: | | Wenn du nach ableiten willst, mußt du die komplette -Abhängigkeit der abzuleitenden Funktion berücksichtigen. Diese lautet in diesem Fall |
Ist es nicht bei partiellen Ableitungen so, dass ich alle anderen Variablen als Konstanten betrachte?
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Doch, das mußt du natürlich tun. Damit wäre dann  = x_\lambda + x^\mu (\partial_\lambda x_\mu)) . Mehr kann man im allgemeinen nicht sagen. Was soll denn eigentich für eine Funktion sein?
| Zitat: |
Deswegen war meine Frage bei dem oben genannten Ausdruck ob man bei einer partiellen Ableitung nach der kontravarianten komponente die kovariante komponente als konstant betrachtet. |
Ich glaube hier liegt noch ein grundlegenderes Problem vor. Um was für "Komponenten" handelt es sich denn? sieht erstmal aus wie eine Kartenfunktion. Die Ableitung wäre also vermutlich einfach
(Das habe ich oben auch so benutzt.) Und was soll nun sein? |
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Bernd24
Gast
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| Bernd24 Verfasst am: 09. März 2021 18:36 Titel: |
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| Zitat: | | Es gibt keine "kontravarianten" Koordinaten. Die Begriffe ko- und kontravariant beschreiben doch gerade das Verhalten unter Koordinatenwechseln. |
Mir ist schon klar, dass es keine kontravarianten Koordinaten gibt. Vielleicht hätte ich das in Anführungszeichen setzen sollen. Man stellt die Koordinaten aber mit hochgestellten Indizes dar, was für mich impliziert, dass das irgendwas mit kontravarianz zu tun hätte.
| Zitat: | | Doch, das mußt du natürlich tun. Damit wäre dann . Mehr kann man im allgemeinen nicht sagen. Was soll denn eigentich für eine Funktion sein? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. März 2021 18:55 Titel: |
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| Bernd24 hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Es gibt keine "kontravarianten" Koordinaten. Die Begriffe ko- und kontravariant beschreiben doch gerade das Verhalten unter Koordinatenwechseln. |
Mir ist schon klar, dass es keine kontravarianten Koordinaten gibt. Vielleicht hätte ich das in Anführungszeichen setzen sollen. Man stellt die Koordinaten aber mit hochgestellten Indizes dar, was für mich impliziert, dass das irgendwas mit kontravarianz zu tun hätte.
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Ich denke nicht, daß es was mit Kontravarianz zu tun hat. Mir fällt auch nicht ein was es damit zu tun haben könnte. Unter "Kontravarianz" verstehe ich in diesem Zusammenhang das Transformationsgesetz  . Das läßt sich ja eben nicht auf Karten anwenden.
| Zitat: |
| Zitat: | | Doch, das mußt du natürlich tun. Damit wäre dann . Mehr kann man im allgemeinen nicht sagen. Was soll denn eigentich für eine Funktion sein? |
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Wenn das die Definition ist, dann hängt die Anwort nur noch von  ab. Auf der rechten Seite steht ja explizit eine -Abhängigkeit (da ja über alle  summiert wird, was  enthält. ) Also wird im allgemeinen auch nicht unabhängig von sein. |
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Bernd24
Gast
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| Bernd24 Verfasst am: 09. März 2021 19:07 Titel: |
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Dann ist die Frage wieso man in diesem Kontext die Koordinaten mit hochgestellten Indizes darstellt. Mit hochgestellten Indizes verbinde ich kontravariante Komponenten, aber das ergibt bei den Koordinatenfunktionen keinen Sinn, solange man nicht gerade im Minkowski-Raum ist. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 09. März 2021 19:10 Titel: |
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| Bernd24 hat Folgendes geschrieben: | | Dann ist die Frage wieso man in diesem Kontext die Koordinaten mit hochgestellten Indizes darstellt. Mit hochgestellten Indizes verbinde ich kontravariante Komponenten, aber das ergibt bei den Koordinatenfunktionen keinen Sinn, solange man nicht gerade im Minkowski-Raum ist. |
Ich denke das liegt daran, daß man den Koordinatendifferentialen dann sofort ihr kontravariantes Transformationsgesetz ablesen kann
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Bernd24
Gast
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| Bernd24 Verfasst am: 09. März 2021 23:35 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Ich denke das liegt daran, daß man den Koordinatendifferentialen dann sofort ihr kontravariantes Transformationsgesetz ablesen kann
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Ok das ergibt Sinn.
Ich denke, dass diese Notation bei mir eine falsche Implikation hervorgerufen hatte, was mich dann verwirrt hatte.
Danke dir für deine Hilfe. |
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