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TomS
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 TomS Verfasst am: 18. Feb 2021 19:37 Titel: Schrödingers Katze und Ideen zum Formalismus - Teil IV |
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Schauen wir uns mal die Idee an, die wir hier entwickelt haben.
Wir betrachten das System "Atomkern + Detektor + Giftflasche + Katze + Messgerät + Luft + Kasten". Da wir an nehmen, dass im Folgenden objektive Eigenschaften beschrieben werden, können wir den Beobachter weglassen; auch das Messgerät ist nicht zwingend erforderlich.
Gemäß der Dekohärenz gilt für das Gesamtsystem:
 \;\rightarrow_u\; \rho(t) \;\rightharpoonup_{c}\; \rho_c(t) \simeq \rho_{c_+}(t) + \rho_{c_-}(t) )
Die Zeitabhängigkeit rechts enthält außerdem die Wahrscheinlichkeit der beiden Katzenzustände entsprechend der Dauer des Experiments. Die Pfeile symbolisieren die unitäre Zeitentwicklung sowie ein geeignetes Ausspuren aller Freiheitsgrade, die nicht der Katze entsprechen.
Dies gilt für alle typischen Umgebungsbedingungen, d.h. die Dichtematrizen dürfen als Äquivalenzklassen "typischer Umgebungsbedingungen" aufgefasst werden.
Wenn wir nach einer Zeit T das Experiment abschalten, dann gilt
 = p_\pm(T) \cdot E_{c_\pm}(t,T) )
wobei p(t) die klassische Wahrscheinlichkeit kodiert, dass wir die Katze lebend oder tot vorfinden, entsprechend des radioaktiven Zerfalls, d.h.
 = e^{-\lambda T})
 = 1 - p_+(T) = 1 - e^{-\lambda T})
der verbleibende Projektor ist weiterhin zeitabhängig, jedoch wird sich die "Äquivalenzklasse der lebenden bzw. toten Katzen" nicht mehr ändern.
Wir können nun zwei Katzen in einer typischen Umgebung betrachten, wobei die Apparatur so modifiziert wird, dass sie eine Katze nie sowie die andere Katze nach kurzer Zeit sicher tötet. Dafür erhalten wir
 \;\rightarrow_{\hat{u}}\; \hat{\rho}(t) \;\rightharpoonup_{c}\; \hat{\rho}_{c_+}(t) )
 \;\rightarrow_{\check{u}}\; \check{\rho}(t) \;\rightharpoonup_{c}\; \check{\rho}_{c_-}(t) )
Bei identischen Anfangsbedingungen steckt die Modifikation in der Zeitentwicklung, z.B. in der Betätigung eines Schalter nach t = 0, der zwischen den drei Varianten des Experimentes unterscheidet.
D.h. die Dekohärenz lässt zu, dass minimale Abweichungen zu makroskopisch völlig unterschiedlichen Ergebnissen führen.
Nun analysieren wir das selbe Experiment nach der Thermal Interpretation - bzw. nach unserer Auffassung dessen, was diese ausmacht.
Die beiden letzten Zeitentwicklungen werden sicher identisch gelten; das Ausspuren der Freiheitsgrade mag technisch anders funktionieren, also schreiben wir ein c'. D.h. wir haben zunächst
 \;\rightarrow_{\hat{u}}\; \hat{\rho}(t) \;\rightharpoonup_{c^\prime}\; \hat{\rho}^\prime_{c_+}(t) )
 \;\rightarrow_{\check{u}}\; \check{\rho}(t) \;\rightharpoonup_{c^\prime}\; \check{\rho}^\prime_{c_-}(t) )
Nun waren wir der Meinung, dass die Umgebungsbedingungen in Äquivalenzklassen zerfallen, wobei alle "typischen Umgebungsbedingungen" zu diesen letzten beiden Endzuständen führen. Wir erhalten also bei exakt präparierten Systemen
 \;\rightarrow_u\; \rho^\pm(t) \;\rightharpoonup_{c^\prime}\; \rho^\prime_{c_\pm}(t) )
wobei die hochgestellten Indizes andeuten, dass bei ansonsten gleichen Bedingungen die Umgebung ein Repräsentant der entsprechenden Äquivalenzklasse ist.
Wenn wir das Experiment wieder nach einer Zeit T abschalten, dann gelten zwar die o.g. klassischen Wahrscheinlichkeiten, die Katze in einem bestimmten Zustand zu beobachten, allerdings behaupten wir ja, dass tatsächlich ein definierter Endzustand eingenommen wird. Dies wird in extrem kurzer Zeit nach dem Abschalten der Fall sein, d.h. wir können schreiben
 \;\rightarrow_u\; \rho^\pm(t) \;\rightharpoonup_{c^\prime}\; E^\prime_\pm(t) )
Die Umgebungsbedingungen fungieren wiederum im Sinne der "Einselection", jedoch wird im Gegensatz zur Dekohärenz tatsächlich ein eindeutig definierter Zustand selektiert. Die verbleibende Dichtematrix ist weiterhin zeitabhängig, wiederum wird sich die "Äquivalenzklasse der lebenden bzw. toten Katzen" nicht mehr ändern.
Nun schreibt Neumaier, dass der Zustand die einzige fundamentale Größe zur Beschreibung des Systems ist, alle weiteren Größen können daraus abgeleitet werden. Allerdings ist mir nicht klar, ob das von ihm genannte coarse grainig im weitesten Sinne mittels Ausspuren möglich ist; falls nein, läge rechts nicht direkt eine Dichtematrix vor, sondern stattdessen eine abgeleitet Größe
 )
So, bis hierher sind das nur Gedanken, die beiden Formalismen zu vergleichen. Ich weiß noch nicht genau, wohin das führen kann ...
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Feb 2021 09:33, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18058
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| TomS Verfasst am: 18. Feb 2021 23:43 Titel: |
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Nehmen wir die o.g. unitäre Zeitentwicklung vor dem Ausspuren:
 \;\rightarrow_u\; \rho(t) )
Gemäß der Thermal Interpretation gilt für identische Anfangsbedingungen und Dynamik eine der beiden Alternativen
 \in [\rho^\pm(0)] )
 \;\rightarrow_u\; \rho(t) = \rho^\pm(t) )
D.h. der zunächst gewählte Anfangszustand gehört für relevante Systeme einer der beiden Äquivalenzklassen an, die später entweder die lebende oder die tote Katze selektieren werden.
Wenn nun die Dekohärenz inkl. Ausspuren zu einer inkohärenten Summe beider Möglichkeiten gelangt, die Thermal Interpretation jedoch zu einer Selektion genau einer der beiden Alternativen, dann ist das Coarse Graining der Thermal Interpretation inäquivalent zum Ausspuren, da die unitäre Zeitentwicklung ja identisch ist. Das Ausspuren ist zu unscharf, um die selektierte Alternativen von der nicht selektierten Alternative zu trennen.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Feb 2021 07:00 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Nehmen wir die o.g. unitäre Zeitentwicklung vor dem Ausspuren:
Gemäß der Thermal Interpretation gilt für identische Anfangsbedingungen und Dynamik eine der beiden Alternativen
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Ich verstehe nicht was du hier versuchst. Wenn du den gesamten Prozeß als Folge von unitärer Zeitentwicklung und partieller Spurbildung beschreibst, gibt es doch gar keinen Unterschied zwischen den Interpretationen (abgesehen von solchen, die irgendwo ein Kollapspostulat einbauen). Und wo kommen die mehreren möglichen Endzustände plötzlich her?
| Zitat: |
D.h. der zunächst gewählte Anfangszustand gehört für relevante Systeme einer der beiden Äquivalenzklassen an, die später entweder die lebende oder die tote Katze selektieren werden.
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Ich verstehe auch nicht, was das mit diesen "Äquivalenzklassen" soll. Ich erkenne nicht, welche Äquivalenzrelation du hier definiert hast. Die Dynamik eines offenen Systems wird nicht durch eine unitäre Zeitentwicklung einer Äquivalenzklasse beschrieben, sondern z.B. durch eine Lindblad-Gleichung für eine Dichtematrix oder einen stochastischen Prozeß auf (einer Verteilung von) Dichtematrizen. (Der Zusammenhang dieser beiden Ansätze ist mir noch nicht ganz klar. Vielleicht ist ersteres im allgemeinen wieder der Mittelwert des letzteren oder so. Aber das sollte für diese Diskussion vielleicht keine große Rolle spielen.)
| Zitat: |
Wenn nun die Dekohärenz inkl. Ausspuren zu einer inkohärenten Summe beider Möglichkeiten gelangt, die Thermal Interpretation jedoch zu einer Selektion genau einer der beiden Alternativen, dann ist das Coarse Graining der Thermal Interpretation inäquivalent zum Ausspuren, da die unitäre Zeitentwicklung ja identisch ist. Das Ausspuren ist zu unscharf, um die selektierte Alternativen von der nicht selektierten Alternative zu trennen. |
Ja, natürlich ist das nicht äquivalent. Du stellst hier aber nicht zwei Interpretation gegenüber, sondern zwei völlig unterschiedliche physikalische Modelle. Jedes davon kann in jeder Interpretation verwendet werden. (Nur werden die Resultate eben unterschiedlich interpretiert.) Aber coarse-graining ist nicht der Thermischen Interpretation vorbehalten und Dekohärenz nicht der MWI. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18058
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2021 07:43 Titel: |
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Eine Lindblad-Gleichung und ein offenes System sind irrelevant, da ich zumindest prinzipiell immer ein größeres, geschlossenes System ansetzen kann. Außerdem schreibst du selbst, dass sich gemäß TI jedes einzelne System zu jedem Zeitpunkt in einem Zustand befindet, der vollständig durch einen Dichteoperator definiert ist und der der unitären Dynamik folgt.
Die Eigenschaft, ob eine Katze tot oder lebendig ist, kann nicht davon abhängen, wie ich die Systemgrenzen definiere; d.h. es ist egal, ob ich das Labor oder das Universum ansetze (das System muss die Katze natürlich vollständig enthalten). Die Festlegung von Systemgrenzen ermöglicht es lediglich, die Katze und ihre Zustände einfacher zu modellieren oder zu erkennen. Ich möchte jedoch ausschließen, dass die Betrachtung Artefakte von willkürlich gewählten Systemgrenzen enthält.
Zu den "Äquivalenzklassen": du schreibst an anderer Stellen dass die spezifischen Umgebungsbedingungen für ein einzelnes System selektieren, in welchem konkreten Endzustand die Katze landet.
Die MWI spielt bei meinen Betrachtungen übrigens keine Rolle; ich möchte verstehen, wie weit man mittels des Formalismus gelangt.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | ... daß die TI behauptet jedes einzelne System sei zu jedem Zeitpunkt in einem Zustand, der vollständig durch einen Dichteoperator definiert ist. Diese Behauptung wird im folgendem zu keinem Zeitpunkt aufgegeben. Aber, das heißt ja noch nicht, daß jeder Dichteoperator, der in irgendeinem Modell ausgerechnet wird, ebenfalls einen möglichen Zustand des individuellen Systems beschreibt, das modelliert wurde. Das kommt auf die Voraussetzungen des Modells an. Also: jedes individuelle System hat einen Dichteoperator als Zustand, aber nicht jeder Dichteoperator ist ein möglicher Zustand des modellierten Systems.
Was die TI zu Schrödingers Katze sagen würde, ist denke ich folgendes: Das einzige "Problem" mit dem Zustand
})
ist, daß er eben nicht die ganze Wahrheit über eine individuelle Katze beschreibt. Und keiner hat je bewiesen, daß dies der Fall sein müßte. Im besten Fall folgt er aus Modellen zur Dekohärenz. Die sind aber von vornherein stochastisch, da sie den Umgebungszustand stochastisch modellieren. Es ist also überhaupt kein Wunder, daß am Ende auch nur stochastische Aussagen über den wahren Zustand der Katze herauskommen. Was also in diesen Modellen nicht passiert, ist, daß wir von einem definitiven Anfangszustand  der Katze ausgehen und uns einen definitiven Endzustand (K) ausrechnen. Stattdessen haben wir einen unvollständig spezifizierten Zustand ) , d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung  über einer Menge von Dichteoperatoren. Und wegen der Bistabilität, Dissipation etc. des Gesamtsystems, entwickelt sich diese Verteilung gemäß irgendeiner stochastischen Differentialgleichung in den Endzustand ) mit der Eigenschaft
 = \frac{1}{2}, \qquad P(\rho_l) = \frac{1}{2}.)
In Wahrheit ist die Katze laut TI aber natürlich ganz realistisch am Ende in genau einem der beiden Zustände  aus getrennten Komponenten der slow manifold. Wir können nur nicht vorhersagen in welchem, weil die objektive "Vitalität" und die objektive Eigenschaft des atomaren Systems, an die sie gekoppelt ist, eben nur stochastisch korreliert sind. Das hat also handfeste physikalisch, dynamische Gründe, die in unserem Modell begründet sind, bzw. begründet sein müssen.
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Ich will verstehen, wie die Aussage, in Wahrheit ist die Katze laut TI aber natürlich ganz realistisch am Ende in genau einem der beiden Zustände aus der TI folgt, d.h. genau liefert der mathematische Formalismus, und was ist die Zutat einer verbalen Interpretation.
Dazu muss ich die Aussage zunächst mathematisch fassen können.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Feb 2021 08:25 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Eine Lindblad-Gleichung und ein offenes System sind irrelevant, da ich zumindest prinzipiell immer ein größeres, geschlossenes System ansetzen kann. Außerdem schreibst du selbst, dass sich gemäß TI jedes einzelne System zu jedem Zeitpunkt in einem Zustand befindet, der vollständig durch einen Dichteoperator definiert ist und der der unitären Dynamik folgt.
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Ich hatte nur angenommen, du wolltest eine realistische Beschreibung eines Meßprozesses in Betracht ziehen, weil anscheinend hier die größten Zweifel an den Behauptungen Neumaiers bestehen. Dafür wären Methoden zur Beschreibung offener Systeme nicht irrelevant.
Wenn du allein auf Basis der unitären Zeitentwicklung irgendwelche Unterschiede zwischen MWI und TI unterstellst, hast du m.E. immer noch etwas falsch verstanden. Diese Gegenüberstellung kann gar nichts bringen.
| Zitat: |
Die Eigenschaft, ob eine Katze tot oder lebendig ist, kann nicht davon abhängen, wie ich die Systemgrenzen definiere; d.h. es ist egal, ob ich das Labor oder das Universum ansetze (das System muss die Katze natürlich vollständig enthalten).
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Ja, das bestreitet natürlich niemand. Allerdings werden wir nicht auf Basis der unitären Zeitentwicklung einer einzelnen Katze ausrechnen können, wann sie sterben wird oder ob ihre Vitalität eine makroskopische Unsicherheit besitzt. Ich verstehe deswegen nicht, worauf du hinauswillst.
| Zitat: |
Die Festlegung von Systemgrenzen ermöglicht es lediglich, die Katze und ihre Zustände einfacher zu modellieren oder zu erkennen. Ich möchte jedoch ausschließen, dass die Betrachtung Artefakte von willkürlich gewählten Systemgrenzen enthält.
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Ich glaube ich verstehe gar nichts mehr. Nichts an deinem Modell ist bis jetzt in irgendeiner Form spezifiziert: weder der Anfangszustand noch die Dynamik, noch die Systemgrenzen. Wie willst du daraus irgendwelche Schlußfolgerungen ziehen? Und wie willst du damit irgendwelche Unterschiede zwischen TI und MWI beleuchten?
| Zitat: |
Zu den "Äquivalenzklassen": du schreibst an anderer Stellen dass die spezifischen Umgebungsbedingungen für ein einzelnes System selektieren, in welchem konkreten Endzustand die Katze landet.
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Und was hat das mit Äquivalenzklassen zu tun? Sowas würde man doch eher modellieren, indem man den Systemzustand von Zufallsvariablen abhängig macht, die den Umgebungseinfluß beschreiben.
| Zitat: |
Die MWI spielt bei meinen Betrachtungen übrigens keine Rolle; ich möchte verstehen, wie weit man mittels des Formalismus gelangt.
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In dieser Frage gelangt man mit unitärer Dynamik nicht sehr weit.
| Zitat: |
Ich will verstehen, wie die Aussage, in Wahrheit ist die Katze laut TI aber natürlich ganz realistisch am Ende in genau einem der beiden Zustände aus der TI folgt, d.h. genau liefert der mathematische Formalismus, und was ist die Zutat einer verbalen Interpretation.
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Das folgt aber m.E. nicht aus deinem Ansatz. Ohne die Betrachtung der Eigenschaften offener Systeme kommst du da nicht weit. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18058
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| TomS Verfasst am: 19. Feb 2021 09:26 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Wenn du allein auf Basis der unitären Zeitentwicklung irgendwelche Unterschiede zwischen MWI und TI unterstellst, hast du m.E. immer noch etwas falsch verstanden. Diese Gegenüberstellung kann gar nichts bringen.
Ja, das [dass die Eigenschaft, eine Katze sei tot oder lebendig, nicht von der Definition der Systemgrenze einhängen kann] bestreitet natürlich niemand. Allerdings werden wir nicht auf Basis der unitären Zeitentwicklung einer einzelnen Katze ausrechnen können, wann sie sterben wird oder ob ihre Vitalität eine makroskopische Unsicherheit besitzt. |
Wenn es auf Basis des Zustandes und dessen unitärer Zeitentwicklung nicht prinzipiell möglich ist, dies zu definieren nicht zu berechnen - dann fehlt der TI an der entscheidenden Stelle etwas.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube ich verstehe gar nichts mehr. Nichts an deinem Modell ist bis jetzt in irgendeiner Form spezifiziert: weder der Anfangszustand noch die Dynamik, noch die Systemgrenzen. Wie willst du daraus irgendwelche Schlußfolgerungen ziehen? Und wie willst du damit irgendwelche Unterschiede zwischen TI und MWI beleuchten? |
Ich will dies nicht auf Basis eines Modells durchführen, sondern ich will die Ebene der Axiomatik. Das ist m.E. genau das, was bei Neumaier zu kurz kommt.
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Ich will verstehen, wie die Aussage, in Wahrheit ist die Katze laut TI aber natürlich ganz realistisch am Ende in genau einem der beiden Zustände aus der TI folgt, d.h. was genau liefert der mathematische Formalismus, und was ist die Zutat einer verbalen Interpretation.
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Das folgt aber m.E. nicht aus deinem Ansatz. Ohne die Betrachtung der Eigenschaften offener Systeme kommst du da nicht weit. |
Das wäre schlecht für die TI als vollständige Interpretation der Quantenmechanik. Es kann m.M.n. nicht sein, dass man die Frage der Ontologie an spezielle Modelle auslagert.
Das widerspricht auch der Aussage Neumaiers, dass einzig der Zustand sowie daraus abgeleitet Größen eine realistische Bedeutung haben. Man muss primär den Zustand interpretieren können.
Ja, ich weiß, das ist eine psi-ontische Position; und evtl. ist genau das der Knackpunkt, den man herausarbeiten muss.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 19. Feb 2021 09:36 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | Wenn du allein auf Basis der unitären Zeitentwicklung irgendwelche Unterschiede zwischen MWI und TI unterstellst, hast du m.E. immer noch etwas falsch verstanden. Diese Gegenüberstellung kann gar nichts bringen.
Ja, das [dass die Eigenschaft, eine Katze sei tot oder lebendig, nicht von der Definition der Systemgrenze einhängen kann] bestreitet natürlich niemand. Allerdings werden wir nicht auf Basis der unitären Zeitentwicklung einer einzelnen Katze ausrechnen können, wann sie sterben wird oder ob ihre Vitalität eine makroskopische Unsicherheit besitzt. |
Wenn es auf Basis des Zustandes und dessen unitärer Zeitentwicklung nicht prinzipiell möglich ist, dies zu definieren nicht zu berechnen - dann fehlt der TI an der entscheidenden Stelle etwas.
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"Prinzipiell" möglich ist es natürlich. Aber in diesem Fall ist eine "prinzipielle" Möglichkeit theoretisch weit uninteressanter als die "praktische" Unmöglichkeit. Denn im Zusammenhang mit dem Meßprozeß reden wir immer noch über die Dynamik makroskopischer Systeme. Wie wir beide wissen, folgen nicht alle interessanten Eigenschaften aus der mikroskopischen Dynamik. Das ist das wesentliche an Emergenz.
EDIT: Sorry, vielleicht bin ich immer noch verwirrt darüber, was genau du eigentlich erreichen willst. Willst du lediglich den Unterschied zwischen TI und MWI allgemein definieren? Das halte ich für trivial und längst erledigt. Oder willst du irgendwie beweisen, daß ein realer Detektor einer "multistabilen" Dynamik folgt, wie Neumaier behauptet? Dann ist das m.E. alles andere als trivial, sowohl in der MWI als auch in der TI. (Die Behauptung ist einfach unabhängig von der Interpretation.) Und es folgt mit Sicherheit nicht aus deinem Ansatz.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Ich glaube ich verstehe gar nichts mehr. Nichts an deinem Modell ist bis jetzt in irgendeiner Form spezifiziert: weder der Anfangszustand noch die Dynamik, noch die Systemgrenzen. Wie willst du daraus irgendwelche Schlußfolgerungen ziehen? Und wie willst du damit irgendwelche Unterschiede zwischen TI und MWI beleuchten? |
Ich will dies nicht auf Basis eines Modells durchführen, sondern ich will die Ebene der Axiomatik verstehen. Das ist m.E. genau das, was bei Neumaier fehlt.
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Das verstehe ich trotzdem nicht. Die Axiomatik ist: 1) der formale Kern der QM (nichts über Messwerte und Meßgeräte), 2) die Aussage, daß objektive Eigenschaften individueller Systeme genau das sind, was aus dem Zustand berechnet werden kann, insbesondere alle q-Erwartungswerte. Soweit finde ich das glasklar und vollständig. Der Rest sind nur konkrete Modelle.
| Zitat: |
| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Ich will verstehen, wie die Aussage, in Wahrheit ist die Katze laut TI aber natürlich ganz realistisch am Ende in genau einem der beiden Zustände aus der TI folgt, d.h. was genau liefert der mathematische Formalismus, und was ist die Zutat einer verbalen Interpretation.
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Das folgt aber m.E. nicht aus deinem Ansatz. Ohne die Betrachtung der Eigenschaften offener Systeme kommst du da nicht weit. |
Das wäre schlecht für die TI als vollständige Interpretation der Quantenmechanik. Es kann nicht sein, dass man die Frage der Ontologie an spezielle Modelle auslagert.
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Das ist ja auch in der TI nicht so und ich habe dies m.E. auch mit keinem Wort impliziert. Ich habe wirklich keinen Schimmer wie du darauf kommst. |
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