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Gekoppelte Schwingung: Warum symmetrische Matrix?
 
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kds
Gast





Beitrag kds Verfasst am: 21. Okt 2020 11:44    Titel: Gekoppelte Schwingung: Warum symmetrische Matrix? Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

um die Bewegungsgleichungen gekoppelter Schwingungen zu lösen kann man diese ja in Matrixform ausdrücken, einen Exponentialansatz machen und erhält so ein Eigenwertproblem für die Eigenfrequenzen und Schwingungsmoden des Systems.

Die Matrizen (Massenmatrix und Federmatrix) die man dabei einführt sind symmetrisch. Gibt es dafür eine anschauliche, physikalische Erklärung? (Nicht nur "Das kommt mathematisch halt so raus.")

Meine Ideen:
Eine Idee wäre actio=reactio...
gast--0221
Gast





Beitrag gast--0221 Verfasst am: 21. Okt 2020 12:10    Titel: Antworten mit Zitat

Der Grund ist mehr mathematisch als physikalisch. Du hast ja erst mal Terme der Form , jetzt ist aber und man macht die Matrix deshalb einfach symmetrisch.

Guck unter quadratische Form.

Zum Beispiel:

kds
Gast





Beitrag kds Verfasst am: 21. Okt 2020 12:19    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, das dachte ich mir schon. Mathematisch bereitet es mir auch kein Kopfzerbrechen. Allerdings wurde das scheinbar mal in einer mündlichen Prüfung gefragt für die ich gerade lerne. Damals war die Antwort "actio=reactio". Ich versuche mir seit Tagen zu überlegen, wie man sich das anschaulich vorstellen könnte.
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 302

Beitrag Qubit Verfasst am: 21. Okt 2020 12:46    Titel: Re: Gekoppelte Schwingung: Warum symmetrische Matrix? Antworten mit Zitat

kds hat Folgendes geschrieben:

Die Matrizen (Massenmatrix und Federmatrix) die man dabei einführt sind symmetrisch. Gibt es dafür eine anschauliche, physikalische Erklärung? (Nicht nur "Das kommt mathematisch halt so raus.")


Naja, in den Bewegungsgleichungen hängt die Koppelung der beiden Freiheitsgrade ja von der Differenz der Koordinaten (Winkel) des Zustandsvektors ab, ist also invariant unter Vertauschung der Koordinaten:





Hieraus folgt dann a=d und b=c.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12869

Beitrag TomS Verfasst am: 21. Okt 2020 14:43    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn man die Bewegungsgleichungen aus der Lagrangefunktion ableitet, dann erhält man für die n-te Masse den Term



wobei die Summe über benachbarte Massen läuft.

Und da das Potential V nur vom Abstand der Massen abhängt, wird die Matrix symmetrisch sein.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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