| Autor |
Nachricht |
MenschDerKeinenHutBesitzt
Anmeldungsdatum: 07.11.2018
Beiträge: 37
|
 MenschDerKeinenHutBesitzt Verfasst am: 29. Jul 2020 22:23 Titel: Perle auf Stab, Lagrange erster Art, Zwangskräfte |
 |
|
Eine Perle gleite reibungsfrei und ohne äußere Kräfte auf einem Stab, der sich in der x-y-Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  um den Ursprung dreht.
Ich möchte die Zwangskräfte berechnen:
Ich verwende Polarkoordinaten:
\cos \phi (t),y=r(t)\sin \phi (t) )
Zunächst die Zwangsbedingung in holonomer Form:
=\phi -\omega t =0 )
In differentieller Form erhält man:
Da es keine äußeren Kräfte gibt, ist das Potential  .
Somit ist die Lagrange-Funktion
)
Man erhält
 \quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial L}{\partial r}=m\ddot r -mr\dot{\phi}^2= \frac{\partial B}{\partial \phi} \cdot \lambda=\lambda)
Da nach Voraussetzung  bekomme ich als Gleichung nur (i)
Irgendwie habe ich auch keine sinnvolle Verwendung für  .
Ich hatte noch keine rheonome Zwangsbedingungen bei den bisherigen Aufgaben/Beispielen, in denen Zwangskräfte berechnet werden sollten.
Ich weiß leider aktuell nicht weiter, kann mir jemand helfen?
_________________
Eventuell besitze ich demnächst einen Hut, dann ist mein Account-Name natürlich so lange unpassend bis ich den Hut verloren habe oder er mich. |
|
 |
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5868
|
| Myon Verfasst am: 30. Jul 2020 12:40 Titel: |
|
|
Musste/wollte wieder einmal nachlesen, wie das mit den Lagrange-Gleichungen 1. Art geht. Ich sehe es nun so:
Zunächst ist die obige Lagrange-Funktion nicht ganz richtig, sie lautet
)
(ich verwende Deine Notation, nur schreibe ich  statt r, da ich  für den Ortsvektor verwende).
Aus den Lagrange-Gleichungen 2. Art folgt
Aus dieser Gleichung folgt zusammen mit den Anfangsbedingungen ) .
Die Zwangskraft erhält man aus den Lagrange-Gleichungen 1. Art:
mit Deiner Zwangsbedingung =0) . In Polarkoordinaten lauten die Gleichungen (die z-Komponente ist nicht relevant)
=0)
=\frac{\lambda}{\rho})
Aus der letzten Gleichung folgt
Die Zwangskraft erhält man aus
und der oben erhaltenen Lösung für . |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 30. Jul 2020 13:23 Titel: Re: Perle auf Stab, Lagrange erster Art, Zwangskräfte |
|
|
Der Fehler war übrigens die  -Komponente der generalisierten Zwangskraft in der Lagrangegleichung für r zu verwenden:
| MenschDerKeinenHutBesitzt hat Folgendes geschrieben: |
Man erhält
|
Richtig wäre
Das ergibt, wegen  , ebenfalls sofort
 |
|
|
MenschDerKeinenHutBesitzt
Anmeldungsdatum: 07.11.2018
Beiträge: 37
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt Verfasst am: 30. Jul 2020 20:43 Titel: |
|
|
Danke für eure Hilfe, bedeutet mir viel :)
Ich habe leider noch nicht alles zu 100% verstanden:
 = Ae^{\omega t}+Be^{-\omega t})
 = A\omega e^{\omega t}-B\omega e^{-\omega t})
a) In dem Beispiel sind keine Anfangsbedingungen angegeben, gibt es Anfangsbedingungen welche hier sinnvoll sind?
b) Wenn ich den Gradienten von B ausrechne, erhalte ich :
Bin mir beim Gradienten irgendwie über die Einheitsvektoren unklar, habe die Einheitsvektoren für Polarkoordinaten genommen, aber ohne eine gute Begründung zu haben...?
Und woher weiß ich eigentlich welche partielle Ableitung von der Zwangsbedingung zu welchem Einheitsvektor gehört? je nach Wahl verändert sich der Gradient doch.
c)  =2m\omega (A^2\omega e^{\omega t}-B^2 \omega e^{-\omega t}))
Ist das okay so?
_________________
Eventuell besitze ich demnächst einen Hut, dann ist mein Account-Name natürlich so lange unpassend bis ich den Hut verloren habe oder er mich. |
|
|
Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5868
|
| Myon Verfasst am: 30. Jul 2020 23:37 Titel: |
|
|
Naja, nach dem Beitrag von index_razor habe ich gemerkt, dass ich auch noch nicht alles verstanden habe, werde mir das Thema morgen nochmals in einem anderen Buch anschauen...
Nur kurz zu b): es wird der Gradienten-Operator in Zylinderkoordinaten benötigt, siehe hier. Somit also
=\frac{1}{\rho}\hat{e}_\phi) .
Bei der Zwangskraft hebt sich deshalb der Faktor weg. Die Kraft wirkt nur in -Richtung, was ja auch anschaulich so sein muss. |
|
|
MenschDerKeinenHutBesitzt
Anmeldungsdatum: 07.11.2018
Beiträge: 37
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt Verfasst am: 31. Jul 2020 08:50 Titel: |
|
|
| Myon hat Folgendes geschrieben: | Naja, nach dem Beitrag von index_razor habe ich gemerkt, dass ich auch noch nicht alles verstanden habe, werde mir das Thema morgen nochmals in einem anderen Buch anschauen...
Nur kurz zu b): es wird der Gradienten-Operator in Zylinderkoordinaten benötigt, siehe hier. Somit also
.
Bei der Zwangskraft hebt sich deshalb der Faktor weg. Die Kraft wirkt nur in -Richtung, was ja auch anschaulich so sein muss. |
Das stimmt mit der angegebenen Lösung überein 
Man muss dann wohl annehmen dass  gilt, wie man dass physikalisch rechtfertigt ist mir aber nicht klar.
Du hast mir auf jeden Fall geholfen ! :)
_________________
Eventuell besitze ich demnächst einen Hut, dann ist mein Account-Name natürlich so lange unpassend bis ich den Hut verloren habe oder er mich. |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 31. Jul 2020 09:15 Titel: |
|
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt hat Folgendes geschrieben: | Danke für eure Hilfe, bedeutet mir viel 
Ich habe leider noch nicht alles zu 100% verstanden:
a) In dem Beispiel sind keine Anfangsbedingungen angegeben, gibt es Anfangsbedingungen welche hier sinnvoll sind?
|
Wie meinst du das? Alle Anfangsbedingungen, aus denen du A und B bestimmen kannst, sind doch sinnvoll.
| Zitat: |
b) Wenn ich den Gradienten von B ausrechne, erhalte ich :
|
Wie kommst du auf das Ergebnis? Der Gradient ist einfach
Offenbar ist also
und
Das liefert dir die Komponenten der Zwangskraft in Richtung der sphärischen Koordinatenlinien, also
| Zitat: |
c)
Ist das okay so? |
Du hast wohl vergessen die Exponentialfunktionen zu quadrieren. |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 31. Jul 2020 09:53 Titel: |
|
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt hat Folgendes geschrieben: |
Man muss dann wohl annehmen dass gilt, wie man dass physikalisch rechtfertigt ist mir aber nicht klar.
|
Das muß man nicht annehmen. Die Zwangskraft ist ist doch endlich im Ursprung. |
|
|
MenschDerKeinenHutBesitzt
Anmeldungsdatum: 07.11.2018
Beiträge: 37
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt Verfasst am: 31. Jul 2020 15:33 Titel: |
|
|
Hi, nochmal danke :)
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Wie meinst du das? Alle Anfangsbedingungen, aus denen du A und B bestimmen kannst, sind doch sinnvoll.
|
Ich hatte auch schon Aufgaben, bei denen man die Anfangsbedingungen ohne große Einschränkungen der Allgemeinheit so wählen konnte, dass die Mathematik einfacher wird. Zum Beispiel indem man bei einer Bewegungsgleichung für ein Teilchen annimmt, dass sich das Teilchen zum Zeitpunkt t=0 im Ursprung befindet.
Oder wenn man bei einer Schwingung x(0)=x_0 setzt, wobei x_0 die Ruhelage beschreibt.
Hätte ja auch sein können, dass es hier eine - in diesem Sinne - praktische Anfangsbedingung gibt.
b)
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Wie kommst du auf das Ergebnis? Der Gradient ist einfach
|
Kurze Erklärung:
Bei der Berechnung vom Gradienten habe ich Schwachsinn gemacht.
---
Lange Erklärung:
Die Zwangsbedingung hängt von t und phi ab, deswegen dachte ich, dass ich bei Gradienten die jeweilige partielle Ableitung von B nach t bzw. phi betrachten muss. Außerdem habe ich dann die Einheitsvektoren von Polarkoordinaten angegeben, da ich das Polarkoordinatensystem in der Aufgabe nutze.
Ich wusste auch nicht dass der Gradient für Zylinderkoordinaten von dem Gradienten in kartesischen Koordinaten leicht abweicht.
Ich kannte nur diese Definition:
=\frac{\partial f}{\partial x_1}\hat e_1 +... + \frac{\partial f}{\partial x_n} \hat e_n)
Und das habe ich auf  ) übertragen, und die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem mit denen im Polarkoordinatensystem ersetzt.
------
Ich komme mit den Gradienten für Zylinderkoordinaten auf das korrekte Ergebnis.
c)
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Du hast wohl vergessen die Exponentialfunktionen zu quadrieren. |
Korrektur:
 =2m\omega (A^2\omega e^{2\omega t}-B^2 \omega e^{-2\omega t}))
----
Zur Forderung  :
 , wenn  für einen Zeitpunkt t hätte man einen ungültigen Ausdruck. Ich dachte  beschreibt die Bahn des Teilchens, und das Teilchen müsste sich doch auch im Ursprung befinden können.
---
Anmerkung: Das ist die erste Aufgabe für mich bei der die Zwangsbedingung rheonom ist, ich dachte dass ich dadurch anders vorgehen muss als wenn die Zwangsbedingung nicht explizit zeitabhängig ist.
Aber die Vorgehensweise zur Berechnung der Zwangskräfte war hier von den Aufgaben mit skleronomen Zwangsbedingungen für mich nicht zu unterscheiden. Ist das immer so?
_________________
Eventuell besitze ich demnächst einen Hut, dann ist mein Account-Name natürlich so lange unpassend bis ich den Hut verloren habe oder er mich. |
|
|
index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
|
| index_razor Verfasst am: 31. Jul 2020 19:18 Titel: |
|
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt hat Folgendes geschrieben: |
Ich hatte auch schon Aufgaben, bei denen man die Anfangsbedingungen ohne große Einschränkungen der Allgemeinheit so wählen konnte, dass die Mathematik einfacher wird. Zum Beispiel indem man bei einer Bewegungsgleichung für ein Teilchen annimmt, dass sich das Teilchen zum Zeitpunkt t=0 im Ursprung befindet.
Oder wenn man bei einer Schwingung x(0)=x_0 setzt, wobei x_0 die Ruhelage beschreibt.
Hätte ja auch sein können, dass es hier eine - in diesem Sinne - praktische Anfangsbedingung gibt.
|
Ob das funktioniert, hängt natürlich auch davon ab, welche Symmetrien das Problem besitzt. In diesem Fall ist ja der Ursprung und die Position physikalisch relevant.
| Zitat: |
Lange Erklärung:
Die Zwangsbedingung hängt von t und phi ab, deswegen dachte ich, dass ich bei Gradienten die jeweilige partielle Ableitung von B nach t bzw. phi betrachten muss.
|
Die Zwangskraft zeigt doch immer senkrecht zum momentanen Konfigurationsraum, d.h. in diesem Fall senkrecht zur Linie  = \phi - \omega t = 0) . Ihre Richtung wird also durch den räumlichen Gradienten zu jeweils festem Zeitpunkt gegeben. Die Zeit ist einfach ein unabhängiger Parameter in dieser Gleichung.
Mache dir in diesem Zusammenhang nochmal die geometrische Bedeutung des d'Alembertschen Prinzips klar. Die virtuellen Verschiebungen heißen deshalb "virtuell", weil sie "unendlich schnell" sind, m.a.W. sie berücksichtigen nicht die Änderungen der Zwangsbedingungen mit der Zeit.
| Zitat: |
Außerdem habe ich dann die Einheitsvektoren von Polarkoordinaten angegeben, da ich das Polarkoordinatensystem in der Aufgabe nutze.
Ich wusste auch nicht dass der Gradient für Zylinderkoordinaten von dem Gradienten in kartesischen Koordinaten leicht abweicht.
|
Der Gradient ist immer derselbe unabhängig vom Koordinatensystem. Was sich ändert, ist lediglich der Zusammenhang zwischen den Komponenten des Gradienten und den partiellen Ableitungen entlang der Koordinatenlinien.
Es gilt aber immer
)}{\partial u_i} = \nabla B\cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_i})
Falls das Koordinatensystem orthogonal ist
kannst du daraus immer den Gradienten bzgl. der normierten Basisvektoren
berechnen
| Zitat: |
Ich kannte nur diese Definition:
|
Das gilt nur in kartesischen Koordinaten. Die Umrechnung auf krummlinige Koordinaten ist im Prinzip eine Anwendung der Kettenregel
gefolgt von linearer Algebra um die kartesischen  durch die krummlinigen Basisvektoren zu ersetzen.
| Zitat: |
Und das habe ich auf übertragen, und die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem mit denen im Polarkoordinatensystem ersetzt.
|
So einfach geht das leider nicht.
| Zitat: |
c)
| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Du hast wohl vergessen die Exponentialfunktionen zu quadrieren. |
Korrektur:
|
Das sieht korrekt aus.
| Zitat: |
Zur Forderung :
, wenn für einen Zeitpunkt t hätte man einen ungültigen Ausdruck.
|
Das stimmt auch. Es hat aber keinen physikalischen Grund, sondern liegt einfach daran, daß die sphärischen bzw. Zylinderkoordinaten im Ursprung singulär sind. Alle physikalisch relevanten Größen wie die Zwangskraft sind bei  wohldefiniert.
| Zitat: |
Ich dachte beschreibt die Bahn des Teilchens, und das Teilchen müsste sich doch auch im Ursprung befinden können.
|
Kann es doch auch.
| Zitat: |
Anmerkung: Das ist die erste Aufgabe für mich bei der die Zwangsbedingung rheonom ist, ich dachte dass ich dadurch anders vorgehen muss als wenn die Zwangsbedingung nicht explizit zeitabhängig ist.
Aber die Vorgehensweise zur Berechnung der Zwangskräfte war hier von den Aufgaben mit skleronomen Zwangsbedingungen für mich nicht zu unterscheiden. Ist das immer so? |
Ja, die Lagrangegleichungen 1. Art erfordern nicht, daß die Nebenbedingungen zeitunabhängig sind. Es gilt in jedem Fall
\nabla B(\vec{r},\dot{\vec{r}}, t))
(für ein Teilchen und eine Zwangsbedingung). |
|
|
MenschDerKeinenHutBesitzt
Anmeldungsdatum: 07.11.2018
Beiträge: 37
|
| MenschDerKeinenHutBesitzt Verfasst am: 01. Aug 2020 11:12 Titel: |
|
|
Super erklärt ! Habe es jetzt besser verstanden.
Ein drittes Mal: Danke ! :)
_________________
Eventuell besitze ich demnächst einen Hut, dann ist mein Account-Name natürlich so lange unpassend bis ich den Hut verloren habe oder er mich. |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
