Winkel bei Brechung ausrechnen

Progressive · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ein Lichtstrahl fällt unter dem Winkel Theta auf eine Oberfläche aus Glas. Brechungsindex von Luft n=1, der von Glas beträgt n=1.5.

Wie groß ist der Winkel Theta, wenn der Winkel zwischen einfallendem und transmittiertem Strahl gleich dem zwischen einfallendem und reflektierten Strahl (=2 Theta) ist?

Meine Ideen:
Das Brechungsgesetz lautet n1*sin(alpha) = n2*sin(beta). Ansonsten ist mir auch klar, dass sich die Winkel eines Halbkreises auf 180° summieren.
Das hat mir bislang aber nicht geholfen, daher vermute ich, dass es noch einen anderen Zusammenhang geben muss, der mir bislang nicht ersichtlich ist.. ?

Gast002 · Gast

Hallo,

wie rechnest Du den Winkel zwischen einfallendem und transmittiertem Strahl? Man könnte einerseits den einfallenden Strahl gedanklich verlängern und dann den Winkel nehmen, um den diese Verlängerung durch die Brechung abgelenkt wird, oder man nimmt den stumpfen Winkel zwischen den beiden Strahlen mit dem Auftreffpunkt des einfallenden Strahls als Scheitelpunkt.

Wenn Du rechnen willst, mußt Du einheitliche Bezeichnungen für die Größen durchhalten. Ich vermute, daß der Winkel alpha im Brechungsgesetz derselbe sein soll wie der Einfallswinkel theta.

Beste Grüße

Progressive_Guest · Gast

Hi,

den Winkel zwischen einfallendem und transmittierten Strahl rechnet man mit dem Snellius'schen Gesetz. Bzw. die Winkel bezogen zum Lot hin.

Laut Aufgabenstellung ist der Winkel zwischen einfallendem und transmittiertem Strahl ja das Doppelte von dem Ausfallwinkel.

Das mit der Strahlverlängerung habe ich nicht verstanden.

Ja, natürlich, sorry, das Brechungsgesetz habe ich unverändert erwähnt.

Vg

Gast002 · Gast

Wenn sich zwei Geraden schneiden, hat man zwei verschiedene Winkel - einen spitzen und einen stumpfen. Beide zusammen ergeben 180 Grad.
Laut Aufgabenstellung soll der Schnittwinkel zwischen einfallendem und transmittiertem Strahl gleich 2*theta sein. Da ist es nicht egal, ob man den spitzen, oder den stumpfen Winkel nimmt.

Am besten Du zeigst hier eine Skizze, wo der Winkel eingezeichnet ist. Dann gibt es keine Zweifel.

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

Ja, natürlich. Das ist ein Aspekt, den man hier durchaus erörtern muss smile

Hier ist ein Link zu der Skizze, wie ich es verstehe: https://ibb.co/HNdRkwM

Ist das soweit korrekt?

Gast002 · Gast

Gut, dann sehe ich, wie Du den Winkel verstehst.
Korrekt ist nicht so sehr die Frage hier. Man kann beide Versionen rechnen. Nur kommen unterschiedliche Lösungen raus.

Auch mit der Verwendung der Variablennamen hast Du jetzt eine eideutige Festlegung. Theta ist der Einfallswinkel und alpha der Brechungswinkel.

Als nächsten Schritt mußt Du den Winkel, über den wir bis jetzt diskutiert haben, durch theta und alpha ausdrücken. Daß er gleich 2*theta sein soll, ist ja eine Forderung der Aufgabe, hilft also hier nicht weiter. Indem man ihn durch alpha ausdrückt, kommt das Brechungsgesetz ins Spiel.

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

alpha ist im Prinzip alpha = 2*theta - gamma

gamma ist dann der Winkel zwischen reflektiertem und transmittierten Strahl. Aber einen weiteren Winkel einzuführen hilft ja nicht.

Ansonsten wäre noch

(n1 * sin(theta)) / n2 = sin(alpha)

Aber theta ist ja gesucht.

Stehe ich auf dem Schlauch? Fehlt noch ein Zusammenhang?

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

Auf https://de.wikipedia.org/wiki/Brewster-Winkel habe ich eine Möglickeit gefunden, es zu lösen.

theta = arctan ( n2/n1 )

Dafür benötigt man allerdings die Beziehung alpha = 90° - theta

Das erschlließt sich mir noch nicht, wie das zustandekommt.

Gast002 · Gast

Hallo,

die Formel für den Brewsterwinkel wird hier nicht helfen. Für den Brewsterwinkel gilt eine andere Bedingung: reflektierter Strahl steht senkrecht auf dem transmittierten.

Wenn Du Dir die Winkel in Deiner Skizze anschaust, so gilt doch
theta + gamma = 180 ° - alpha.
Der neue Winkel gamma hilft nur dafür, daß die Rechnung anschaulicher wird und von der Formulierung der Aufgabenstellung deutlich getrennt ist.
Als nächstes setzt Du für gamma die Forderung der Aufgabenstellung ein:
gamma = 2 * theta
Damit hast Du eine Beziehung zwischen alpha und gamma. Zusammen mit dem Brechungsgesetz sind das zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, allerdings ist es wegen des Sinus ein nichtlineares Gleichungssystem. Dafür sollst Du Lösungen finden.

Beste Grüße

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

Warum ist gamma denn = 2*theta?

Der Winkel zwischen einfallendem und transmittierten Strahl ist = 2*theta

Aber der Winkel zwischen reflektiertem Winkel und transmittierten Strahl müsste ja 2*theta-alpha sein?

Gast002 · Gast

Ok sorry, das war mein Fehler. Ich habe Deine Definition von gamma nicht richtig gelesen. Aber trotzdem stimmt die Beziehung gamma= 2 * theta - alpha nicht. Das sieht man direkt aus Deiner Skizze. 2 * theta ist in der oberen Hälfte des Bildes der Winkel zwischen einfallendem und reflektiertem Strahl. Wenn man davon alpha subtrahiert, bleibt viel zu wenig übrig, als daß es gleich dem Winkel zwischen reflektiertem und transmittiertem Strahl sein könnte.

Gamma hilft bei Deiner Definition in der Tat nicht weiter, weil ja nichts weiter über gamma bekannt ist. Die Winkelbeziehung aus Deiner Skizze, die Du brauchst, ist
theta + 2 * theta = 180Grad + alpha.

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

Stimmt, sorry, ich meinte, das sollte gamma sein.
Aber einigen wir uns auf Deine letzte Form. Das würde ich so auch bestätigen.

Es ergibt sich also letztlich:

theta + 2*theta = 180° + alpha

alpha = 3*theta/180

Was mache ich damit denn aber jetzt?
In n1*sin(theta)=n2*sin(alpha) einsetzen?

Gast002 · Gast

Es muß heißen alpha = 3* theta - 180 Grad, war aber sicher nur ein Tppfehler.

Weiter geht's ganz richtig, indem Du den Ausdruck für alpha in das Brechungsgesetz einsetzt. Die Brechungsindizes sind ja bekannt. Damit hast Du eine trigonometrische Gleichung mit der einzigen Unbekannten theta. Mit allen Gesetzen der Trigonometrie, insbesondere den Additionstheoremen, mußt Du diese Gleichung nach theta auflösen.

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

Stimmt, allerdings habe ich den Tippfehler bis eben auch verwendet..

also:

alpha = 3*theta - 180°

n1*sin(theta) = n2*sin(3*theta - 180°)

Ich weiß z.B., dass sin(180° + theta) = -sin(theta)

Aber ich habe da ja 3*theta stehen.

Gast002 · Gast

Die Regel sin(phi + 180 Grad) = - sin(phi) gilt für jeden beliebigen Winkel, also auch, wenn phi die Gestalt 3*theta hat.

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

Echt? Ich konnte das als Regel nicht finden..

Ja voll gut..
Lautet es dann sin(3*phi + 180°) = -sin(phi) oder
sin(3*phi + 180°) = -sin(3*phi)?

Gast002 · Gast

Das letztere

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

Das ist schonmal nützlich.

Dann ergibt sich:

n1*sin(theta) = n2*sin(alpha)

n1*sin(theta) = n2*sin(3*theta - 180°)

n1*sin(theta) = -n2*sin(3*theta)

und damit letztlich:

sin(theta) / sin(3*theta) = -n2 / n1

Für sin(3*theta) habe ich Folgendes gefunden:

sin(3*theta) = 3cos²(theta)sin(theta) - sin³(theta)

Es galt ja

3*theta = alpha + 180°
also auch
sin(3*theta) = sin(alpha + 180°) = -sin(alpha)
alpha=theta

damit dann
sin(3*theta) = -sin(theta) = 3cos²(theta)sin(theta) - sin³(theta)

Hier teile ich durch sin(theta)

-1 = 3cos²(theta) - sin²(theta)

Ich weiß auch, dass sin² + cos² = 1 gilt. Aber auf den Ausdruck komme ich hier nicht. Vor allem stört diese 3 vor dem cos² noch...

Gast002 · Gast

Bis zum Additionstheorem für sin(3 theta) stimmt alles. Danach verhaspelst Du Dich. theta = alpha kann nicht stimmen, den dann wären Einfallswinkel und Brechungswinkel ja gleich.

Setze den Ausdruck für sin(3 theta) in die Gleichung
sin(theta) / sin(3 theta) = - n2 / n1
ein, forme den cos^2 Term in einen sin^2 Term um. Dann soweit es geht vereinfachen.

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

Erstmal danke für die Hilfe, übrigens!

Ausgangslage:

sin(theta) / sin(3*theta) = -n2/n1

sin(3*theta) = 3cos²(theta)sin(theta) - sin³theta)

= 3(1-sin²(theta))sin(theta) - sin³(theta)

= 3 - 3sin³(theta) - sin³(theta)

= 3 - 4sin³(theta)

Und nun? smile

Ich sehe da nichts..?

Man könnte weitermachen:

sin(theta) / (3/4 - sin³(theta)) = -n2/n1

=>

- sin(theta)*n1/n2 = 3/4 - sin³(theta)

- n1/n2*sin(theta) + sin³(theta) = 3/4

?

Gast002 · Gast

Beim Ausmultiplizieren der (1 - sin^2(theta) Klammer hat sich ein Fehler eingeschlichen. An Stelle der einfachen 3 muß der Term 3*sin(theta) stehen.

Dann so weitermachen, wie Du geschrieben hast. Aber aufpassen! Wenn Du durch 4 teilst, muß die 4 auf der anderen Seite auch auftauchen. Also
- n1/(4* n2) * sin(theta) = 3/4 sin(theta) - sin^3(theta)

Eventuell hilft es Dir, jetzt sin(theta) durch ein x zu substituieren und dann die Gleichung für x zu lösen.

DeLaRiva · Anmeldungsdatum: 11.06.2020 Beiträge: 10

Verdammt.. richtig.. danke! smile

Das ergibt jetzt eine längere Umformung:

n1*sin(theta) = -n2*sin(3*theta)

sin(theta) / sin(3*theta) = -n2/n1

=>
sin(3*theta) = 3cos²(theta)sin(theta) - sin³(theta)

= 3(1 - sin²(theta))sin(theta) - sin³(theta)

= 3(sin(theta) - sin³(theta)) - sin³(theta)

= 3sin(theta) - 3sin³(theta) - sin³(theta)

= 3sin(theta) - 4sin³(theta)

=>

sin(theta) / (3sin(theta)- 4sin³(theta)) = -n2/n1

sin(theta) / sin(theta)*(3 - 4sin²(theta)) = -n2/n1

1 / (3 - 4sin²(theta)) = -n2/n1

n1 = -n2 * (3 - 4sin²(theta))

-n1/n2 = 3 - 4sin²(theta)

-n1/n2 - 3 = -4sin²(theta)

-(-n1/n2 - 3) / 4 = sin²(theta)

sqrt( (-n1/n2 - 3) / -4) = sin(theta)

dann halt noch arcsin..

könnte das passen? smile