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lexi32
Anmeldungsdatum: 10.06.2020
Beiträge: 3
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 lexi32 Verfasst am: 10. Jun 2020 13:28 Titel: Raumzeitkrümmung im Gravitationsfeld (ART) |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich lese mich momentan etwas in die ART ein und bin in meinem Lehrbuch auf zwei Aussagen gestoßen, die ich nicht miteinander in Einklang bringen kann.
Die Raumzeitkrümmung wird derart eingeführt, dass, in Analogie zur Raumkrümmung in der Mathematik, die Existenz einer globalen Transformation der Metrik zur Minkowskimetrik mit einem ungekrümmten Raum gleichzusetzen ist. Folgerichtig wird geschlussfolgert, dass reale Gravitationsfelder eine Krümmung der Raumzeit verursachen müssen (Denn hier können nach dem Äquivalenzprinzip nur lokal Inertialsysteme gefunden werden).
Nun zur zweiten Aussage:
Bei der späteren Einführung der Schwarzschildmetrik (SM) wird aus den Feldgleichungen abgeleitet, dass im leeren Raum die Krümmung der Raumzeit 0 sein muss (Schließlich ist dort der Energie-Impuls-Tensor gleich 0). Dass man auf der Erde trotzdem eine Gravitationswirkung beobachtet läge daran, dass der 3-dimensionale Unterraum (Die Raumdimensionen) der SM gekrümmt sei, die 4-dimensionale Raumzeit jedoch nicht.
Diese Aussagen erscheinen mir jedoch widersprüchlich, denn dann müsste man doch in der Lage sein im Gravitationsfeld globale IS zu definieren oder?
Meine Ideen:
Ich habe bereits überlegt ob ich möglicherweise eine globale Transformation zur Minkowskimetrik nicht als Existenz eines globalen Inertialsystems verstehen darf, aber letztlich ist ja das IS gerade das System, in dem die Minkowskimetrik gilt..
Auf der anderen Seite wird die Schwarzschildmetrik ja aus Sicht eines unendlich weit entfernten Beobachters formuliert, der sich im IS befindet, dieses könnte man auch als global annehmen denke ich. Allerdings ergibt dann die Aussage "in einer gekrümmten Raumzeit kann keine globale Transformation zu Minkowskimetrik existieren" für mich wenig Sinn, denn dann könnte ja jeder Beobachter im Gravitationsfeld eine Transformation zu diesem IS finden...
Ich bedanke mich bereits jetzt vielmals im Voraus! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 10. Jun 2020 14:46 Titel: Re: Raumzeitkrümmung im Gravitationsfeld (ART) |
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| lexi32 hat Folgendes geschrieben: |
Die Raumzeitkrümmung wird derart eingeführt, dass, in Analogie zur Raumkrümmung in der Mathematik, die Existenz einer globalen Transformation der Metrik zur Minkowskimetrik mit einem ungekrümmten Raum gleichzusetzen ist.
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In dieser Aussage bezieht sich "ungekrümmt" auf das Verschwinden des Riemann-Tensors.
| Zitat: |
Nun zur zweiten Aussage:
Bei der späteren Einführung der Schwarzschildmetrik (SM) wird aus den Feldgleichungen abgeleitet, dass im leeren Raum die Krümmung der Raumzeit 0 sein muss (Schließlich ist dort der Energie-Impuls-Tensor gleich 0).
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Hier bezieht sich "ungekrümmt" nur auf das Verschwinden des Einstein- oder des Ricci-Tensors. Der Riemann-Tensor kann sehr wohl ungleich null sein, auch wenn der Ricci-Tensor verschwindet, insofern liegt hier schon mal kein Widerspruch vor, den man auflösen müßte.
| Zitat: |
Dass man auf der Erde trotzdem eine Gravitationswirkung beobachtet läge daran, dass der 3-dimensionale Unterraum (Die Raumdimensionen) der SM gekrümmt sei, die 4-dimensionale Raumzeit jedoch nicht.
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Das Hauptproblem mit dieser Aussage dürfte sein, daß nicht klar definiert ist, von welcher "Krümmung" hier jeweils die Rede ist. Die skalare Krümmung des Raumes verschwindet in der Schwarzschildgeometrie zusammen mit Energiedichte, genau wie die skalare Krümmung der Raumzeit. Der Riemann-Tensor des Raumes verschwindet nicht, da nicht alle räumlichen Schnittkrümmungen verschwinden. Aus demselben Grund verschwindet aber auch nicht der Riemann-Tensor der gesamten Raumzeit. Mir ist keine Aussage zur räumlichen Ricci-Krümmung bekannt. Vielleicht gibt es hier einen Unterschied. Das sollte allerdings m.E. an Ort und Stelle im Lehrbuch genauer erläutert werden. Um welches Buch geht es denn?
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 10. Jun 2020 14:51, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 10. Jun 2020 14:47 Titel: Re: Raumzeitkrümmung im Gravitationsfeld (ART) |
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| lexi32 hat Folgendes geschrieben: | | Die Raumzeitkrümmung wird derart eingeführt, dass die Existenz einer globalen Transformation der Metrik zur Minkowskimetrik mit einem ungekrümmten Raum gleichzusetzen ist. |
Das verstehe ich nicht.
Was für eine Transformation soll das sein? Eine Koordinatentransformation?
| lexi32 hat Folgendes geschrieben: | | Folgerichtig wird geschlussfolgert, dass reale Gravitationsfelder eine Krümmung der Raumzeit verursachen müssen. |
Auch das verstehe ich nicht. Das kann doch keine Schlussfolgerung sein, lediglich ein mathematisches Modell (Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Krümmung) für eine physikalische Gegebenheiten (Raumzeit mit Gravitationsfeld).
| lexi32 hat Folgendes geschrieben: | | Bei der späteren Einführung der Schwarzschildmetrik (SM) wird aus den Feldgleichungen abgeleitet, dass im leeren Raum die Krümmung der Raumzeit 0 sein muss |
Das ist falsch.
Leerer Raum impliziert nicht verschwindende Krümmung. Insbs. im Falle der Schwarzschildmetrik liegt im leeren eine nicht-verschwindende Krümmung der Raumzeit vor.
| lexi32 hat Folgendes geschrieben: | | Dass man auf der Erde trotzdem eine Gravitationswirkung beobachtet läge daran, dass der 3-dimensionale Unterraum (Die Raumdimensionen) der SM gekrümmt sei, die 4-dimensionale Raumzeit jedoch nicht |
Das ist falsch.
Natürlich ist die 4-dimensionale Raumzeit der Schwarzschildlösung gekrümmt.
Der Riemannsche Krümmungstensor ist ungleich Null, lediglich Ricci-Tensor und -Skalar sind gleich Null. Der Weyl-Tensor ist jedoch ungleich Null, und eine neben dem Ricci-Skalar wichtige Invariante - der Kretschmann-Skalar - ist ebenfalls ungleich Null:
| lexi32 hat Folgendes geschrieben: | | Diese Aussagen erscheinen mir jedoch widersprüchlich |
Mir erscheinen sie schlicht falsch.
| lexi32 hat Folgendes geschrieben: | | Auf der anderen Seite wird die Schwarzschildmetrik ja aus Sicht eines unendlich weit entfernten Beobachters formuliert |
Nicht zwingend.
Die Schwarzschildgeometrie hat zunächst mal Koordinatensystem- bzw. Beobachter-unabhängige Eigenschaften.
Die spezielle Wahl eines Koordinatensystems führt dann speziell zur Schwarzschildmetrik. Deren Koordinatenzeit kannst du - musst du jedoch nicht - mit der Eigenzeit eines unendlich weit entfernten Beobachter in Verbindung bringen; mathematisch notwendig ist das nicht.
| lexi32 hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings ergibt dann die Aussage "in einer gekrümmten Raumzeit kann keine globale Transformation zu Minkowskimetrik existieren" für mich wenig Sinn |
Was soll das für einen Transformation sein?
Meinst du eine Koordinatentransformation
 \to g_{\mu\nu}^\prime(x^\prime) )
sowie die Aussage, dass unter bestimmten Bedingungen keine Transformation existiert, so dass dass die Minkowskimetrik resultiert, also
 = (1,-1,-1,-1))
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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lexi32
Anmeldungsdatum: 10.06.2020
Beiträge: 3
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| lexi32 Verfasst am: 10. Jun 2020 15:31 Titel: |
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Vielen Dank euch beiden!
Tatsächlich scheint das Hauptproblem gewesen zu sein, dass ich dachte bei verschwindendem Ricci-Tensor müsste der Riemanntensor auch gleich 0 sein, das finde ich im Nachhinein auch nicht mehr sinnvoll.
Wenn ich von "Transformation" gesprochen habe, meinte ich dabei immer eine Koordinatentransformation im Sinne wie TomS sie definiert hat, tut mir Leid wenn das etwas unsauber gewesen ist.
Bezogen habe ich mich auf das Buch "Allgemeine Relativitätstheorie" von Prof. Dr. Thorsten Fließbach, die genaue Formulierung an der relevanten Stelle ist diese:
"Nach den Feldgleichungen sind die Rμν nur im Bereich der Quellen ungleich null
(„Krümmung ist proportional zur Massendichte“). In der Schwarzschildmetrik gilt
Rμν = 0 und R = 0, da diese Lösung sich auf den quellfreien Raum bezieht. Der
dreidimensionale Unterraum der Schwarzschildmetrik (mit den Koordinaten r, θ, φ)
ist jedoch gekrümmt. In der Umgebung einer gravitierenden Masse ist die Raumkrümmung
daher null bezogen auf den vierdimensionalen Raum, aber ungleich null
bezogen auf den dreidimensionalen Unterraum (ohne die zeitliche Dimension)."
Ich muss leider zugeben dann trotzdem noch nicht ganz den Sinn dahinter zu verstehen. Wenn die Raumkrümmung wie ich jetzt zu wissen glaube nur vom Riemanntensor abhängt, dann kann diese doch auch im vierdimensionalen Raum im Gravitationsfeld nicht gleich 0 sein, oder? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 10. Jun 2020 17:22 Titel: |
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| lexi32 hat Folgendes geschrieben: | Tatsächlich scheint das Hauptproblem gewesen zu sein, dass ich dachte bei verschwindendem Ricci-Tensor müsste der Riemanntensor auch gleich 0 sein, das finde ich im Nachhinein auch nicht mehr sinnvoll.
Wenn ich von "Transformation" gesprochen habe, meinte ich dabei immer eine Koordinatentransformation im Sinne wie TomS sie definiert hat, tut mir Leid wenn das etwas unsauber gewesen ist.
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Kein Problem.
| lexi32 hat Folgendes geschrieben: | Bezogen habe ich mich auf das Buch "Allgemeine Relativitätstheorie" von Prof. Dr. Thorsten Fließbach, die genaue Formulierung an der relevanten Stelle ist diese:
"Nach den Feldgleichungen sind die Rμν nur im Bereich der Quellen ungleich null
(„Krümmung ist proportional zur Massendichte“). In der Schwarzschildmetrik gilt
Rμν = 0 und R = 0, da diese Lösung sich auf den quellfreien Raum bezieht. Der dreidimensionale Unterraum der Schwarzschildmetrik (mit den Koordinaten r, θ, φ) ist jedoch gekrümmt. In der Umgebung einer gravitierenden Masse ist die Raumkrümmung daher null bezogen auf den vierdimensionalen Raum, aber ungleich null bezogen auf den dreidimensionalen Unterraum (ohne die zeitliche Dimension)."
Ich muss leider zugeben dann trotzdem noch nicht ganz den Sinn dahinter zu verstehen.
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Natürlich nicht, wie solltest du auch, an der Formulierung kann man schon verzweifeln. Ich muss mal überlegen, von was Thorsten da redet (wir waren mal Kollegen).
Ich denke in folgende Richtung:
In der Umgebung einer gravitierenden Masse ist die Ricci-Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit null, jedoch nicht die xxx-Krümmung einer dreidimensionalen, raumartigen Untermannigfaltigkeit xxx (mit den Koordinaten r, θ, φ).
So wird eher ein Schuh daraus.
Das macht jedoch nur Sinn, wenn man die beteiligten mathematischen Objekte auch geeignet einführt, erklärt und im Folgenden benutzt.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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lexi32
Anmeldungsdatum: 10.06.2020
Beiträge: 3
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| lexi32 Verfasst am: 11. Jun 2020 17:03 Titel: |
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Danke Dir, das hatte noch gefehlt! Jetzt verstehe ich das ganze deutlich besser! |
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