Pauliprinzip - Ort und Eigenschaften

Guest77 · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe jetzt seit 11 Stunden versucht eine vernünftige Quelle für meine Frage zu finden, habe aber leider nichts dazu gefunden, ihr seid meine letzte Hoffnung^^

Es ist eine eigentlich recht triviale Frage und es geht nur um die NOTATION bzw. was mit einem bestimmten Wortlaut gemeint ist (mehr siehe unten).
Zum Hintergrund: Ich studiere Physik im 6. Semester, die Antworten dürfen also gern Vorkenntnisse voraussetzen.

Also verstanden habe ich bereits die Aussage des Pauliprinzips. Habe jegliche Definition abgeklappert, aber die Folgerung, dass Fermionen nicht im selben Zustand sein dürfen erschließt sich mir aus folgendem Grund nicht:

Folgende Aussagen findet man in der Standardliteratur:
(1) Es wird zum Einen gesagt, dass Fermionen nicht dieselben Quantenzahlen haben dürfen.

(2) Dann wird woanders behauptet, dass Fermionen nicht dieselben Quantenzahlen UND nicht am selben Ort sein dürfen.

(3) Die Fermionen können sich laut des Pauli-Prinzips nicht am gleichen Ort befinden, wenn sie sich in keiner weiteren Quantenzahl (wie beispielsweise der Richtung des Spins) unterscheiden.

Erstmal vorweg: Sind die Positionen eines Fermions dasselbe wie das Orbital (Hauptquatenzahl) - wenn ja: Für freie Elektronen gibt es ja nicht sowas wie eine Hauptquantenzahl?

Ich habe mir das mal aufgeschrieben mit der antisymmetrischen Wellenfunktion für zwei Fermionen:

wobei

die Gesamtwellenfunktion ist,

die Einteilchenwellenfunktion eines Fermions,

der Zustand des j'ten Teilchens (die Quantenzahlen) und

die Position des j'ten Teilchens.

So: Wenn ich jetzt dieselben Orte, aber unterschiedliche Eigenschaften (spin etc) wähle, dann wird die plötzlich Null. Obwohl das doch möglich sein müsste nach Definition (1), außerdem gibt es das ja in der 2. besetzte Schale eines Atoms: zwei Elektronen am selben Ort mit unterschiedlichem Spin, das müsste also möglich sein. Trotzdem widerspricht meine einfache Rechnung:

Das auch der Definition (2) widersprechen.

Genauso wenig geht es umgekehrt mit unterschiedlichem Ort, aber mit denselben Eigenschaften:

Um Definition (3) noch zu benutzen: Das würde bedeuten, dass sie sich Fermionen selben Ort befinden können, wenn sie z.B. einen anderen Spin haben. Auch das würde wieder führen auf

und damit, dass Definition (3) falsch wäre?

Daher der springende Punkt: Was ist überall gemeint mit "Fermionen dürfen nicht IM SELBEN QUANTENMECHANISCHEN ZUSTAND sein"? Nicht am selben Ort mit selben Quantenzahlen/Eigenschaften oder nur nicht dieselben Quantenzahlen/Eigenschaften oder beides oder nichts? Können Fermionen jetzt am selben Ort sein, wenn ja warum wenn nein wieso nicht? Oder anders formuliert: Wie hängt der Ort der Fermionen mit den anderen Eigenschaften im Pauliprinzip zusammen und wieso bekomme ich beim Nachrechnen mit den Wellenfunktionen IMMER Null heraus?

Herzlichen Dank an alle, die sich der Sache annehmen!<3
Lg

Meine Ideen:
Ansätze in der Frage.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Das Pauliprinzip mittels Ort (oder Impuls) zu formulieren, ist m.E. ungeschickt; diese beiden Größen sind keine Quantenzahlen (sondern Koordinaten) und charakterisieren nicht den Zustand sondern lediglich eine spezielle Darstellung (bzgl. dieser Koordinaten).

Ein Zustand ist definiert mittels der Eigenwerte eines vollständigen Systems kommutierender Observablen, in drei Dimensionen siehe die bekannten Beispiele für das freie Teilchen (drei Impulseigenwerte - nicht zu verwechseln mit den o.g. Impulskoordinaten in der Impulsdarstellung), das Wasserstoffatom (Hauptquantenzahl n, Drehimpuls l, eine Komponente des Drehimpulses l_z = m, Spin), der harmonische Oszillator (drei Besetzungszahlen) plus jeweils eine Spinkomponente s_z.

Fassen wir diese Quantenzahlen als „a“ zusammen, so erhalten wir einen Zustand

Das Pauliprinzip besagt nun, dass sich N Fermionen mit i = 1 ... N, die zusammen einen N-Teilchen-Zustand bilden, paarweise in diesen „a“ unterscheiden müssen, d.h. im Zustand

muss

gelten.

Konkret für das Wasserstoffatom mit N = 2:

Diese so definierten Zustände bilden die Basis eines fermionischen N-Teilchen-Hilbertraumes. Das Pauliprinzip besagt letztlich, dass der physikalisch zulässige Zustandsraum nicht dem vollen Hilbertraum entspricht, sondern dass nur der Unterraum zulässig ist, der durch Basisvektoren mit der Eigenschaft (P) aufgespannt wird.

Außerdem fordert die Quantenmechanik, dass die Zustände bzgl. der Quantenzahlen antisymmetrisiert sein müssen, d.h. die durch Vertauschung des i-ten mit dem k-ten Teilchen bzw. deren Quantenzahlen erhaltenen Zustände

werden bis auf das Vorzeichen identifiziert. Dies kann man nun in unterschiedlicher Weise realisieren.

A) Deine Darstellung mittels Wellenfunktionen entspricht der Slaterdeterminante. Dabei lässt man sozusagen zunächst alle Zustände als Basiszustände zu und antisymmetrisiert anschließend: jeder Summand darf beliebige Faktoren enthalten, die Antisymmetrisierung wird‘s dann schon richten.

B) Einfacher wird dies, wenn man Erzeuger und Vernichter analog des harmonischen Oszillators betrachtet ... kommt später.

Zur Ortsdarstellung: hast du einen fermionischen N-Teilchen-Zustand konstruiert, so erhältst du die Ortsdarstellung wie üblich. Für die Basiszustände:

Die Diskussion des Pauliprinzips kann - und sollte mMn - ohne die Auszeichnung der Ortsdarstellung erfolgen.