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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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 möppi Verfasst am: 20. März 2013 17:31 Titel: Pauli-Prinzip. Woher kommt es?? |
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Meine Frage:
Hi Leute,
Vorab: Ich weiß, was das Pauli-Prinzip besagt. Mir geht es darum zu verstehen, woher es kommt. Ist es ein Postulat, oder kann man es irgendwie motivieren?? Es würde mich sehr interessieren, wie Pauli drauf gekommen ist.
Warum muss die Wellenfunktion unter Vertauschung von Fermionen antisymmetrisch sein und wie kann man daraus das Ausschlussprinzip herleiten?
Ich hatte bisher bei meinen Recherchen leider wenig erfolg. Diese Frage beschäftigt mich schon seit langem.
Literaturhinweise sind natürlich auch Willkommen.
Meine Ideen:
habe leider keine. Es ist ja auch keine Übungsaufgabe. Es geht ums allgemeine Verständnis. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 20. März 2013 18:56 Titel: |
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Ich weiss nicht genau was Dein Level ist. Ich geh mal von Anfang Studium aus in meiner Erklärung:
In der QM werden physikalische Zustände durch Vektoren (in einem Hilbertraum) beschrieben, symbolisch dargestellt in bra-ket-Schreibweise:
Zusätzlich beschreiben alle Vektoren, die sich nur um eine Phase ( ) unterscheiden, denselben physikalischen Zustand. Daraus folgt dass für einen Zustand mit zwei identischen Teichen und den Zustand, in dem ich die beiden Teilchen vertausche, gelten muss
Wobei die Phase nicht von Teilchen 1 oder 2 abhaengt . Wenn ich also zweimal vertausche gilt
Also gilt  . D.h. unter Vertauschung von zwei Teilchen gilt immer
Jedes Teilchen ist also ein Boson (+) oder ein Fermion (-). Das sogenannte Spin-Statistik-Theorem beweist dann noch, dass diese Vertauschungsrelationen mit dem Spin der Teilchen gekoppelt sind (Bosonen ganzzahliger Spin, Fermionen halbzahlig).
Ich hoffe das war nicht zu abstrakt. Vielleicht hilft das erstmal für den Anfang.
In 3 Dimensionen ist dies korrekt.Es gibt eine kleine spitzfindige Ausnahme in 2 Raumdimensionen, die dazu führt dass dort auch andere Werte möglich sind. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 20. März 2013 19:05 Titel: |
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Und um da weiterzumachen: man kann Fermionen mit Erzeugern und Vernichtern ähnlich (!) wir beim harmonischen Oszillator beschreiben. Um ein Fermion in einem Zustand s (steht für Impus, Spin, ...) zu erzeugen, verwendet man einen Operator, angewandt auf den Vakuumzustand
Erzeugen von zwei Fermionen in diesem Zustand liefert jedoch Null, denn es gilt
^2=0)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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| möppi Verfasst am: 21. März 2013 10:08 Titel: |
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Vielen Dank,
du kannst bei mir schon einiges Voraussetzen (Physik-Student im fortgeschrittenen Semester). Das mit dem Vertauschen habe ich soweit begriffen, aber wie genau erhält man aus dem Spin-Statistik-Theorem, dass die WF für Fermionen antisymmetrisch sein muss?? Ich dachte das Spin Statistik Theorem ist eine Folgerung aus dem Pauliprinzip. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 21. März 2013 21:04 Titel: |
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Nein, umgekehrt.
Aber das müsstest du in einem guten Buch über QFT nachlesen. Evtl. Srednicki (als PDF-Draft online) oder evtl. Weinberg Band I.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 21. März 2013 21:22 Titel: |
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| möppi hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank,
du kannst bei mir schon einiges Voraussetzen (Physik-Student im fortgeschrittenen Semester). Das mit dem Vertauschen habe ich soweit begriffen, aber wie genau erhält man aus dem Spin-Statistik-Theorem, dass die WF für Fermionen antisymmetrisch sein muss?? Ich dachte das Spin Statistik Theorem ist eine Folgerung aus dem Pauliprinzip. |
Ich würde es anders formulieren:
Bosonen und Fermionen sind definiert je nachdem ob sie der Bose-Einstein- oder Fermi-Dirac-Statistik genügen, d.h. ob die Wellenfunktionen vertauschen oder antivertauschen.
Das Spin-Statistik-Theorem sagt Dir dann nur, wie diese Eigenschaft mit dem Spin verknüpft ist. Leider gibt es soweit ich weiss keinen einfachen/anschaulichen Beweis für dieses Theorem. Wie TomS schon sagte, einfach mal in einigen QFT-Buechern nachschauen, wenn Dich die Details interessieren. Weinberg ist das beste(!) QFT-Buch das ich kenne. Allerdings benötigt man sehr viel Vorwissen, um es wirklich geniessen zu können. Für QFT-Neulinge ist es eher nicht geeignet.. |
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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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| möppi Verfasst am: 22. März 2013 10:12 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | möppi hat Folgendes geschrieben: | Vielen Dank,
du kannst bei mir schon einiges Voraussetzen (Physik-Student im fortgeschrittenen Semester). Das mit dem Vertauschen habe ich soweit begriffen, aber wie genau erhält man aus dem Spin-Statistik-Theorem, dass die WF für Fermionen antisymmetrisch sein muss?? Ich dachte das Spin Statistik Theorem ist eine Folgerung aus dem Pauliprinzip. |
Ich würde es anders formulieren:
Bosonen und Fermionen sind definiert je nachdem ob sie der Bose-Einstein- oder Fermi-Dirac-Statistik genügen, d.h. ob die Wellenfunktionen vertauschen oder antivertauschen.
Das Spin-Statistik-Theorem sagt Dir dann nur, wie diese Eigenschaft mit dem Spin verknüpft ist. Leider gibt es soweit ich weiss keinen einfachen/anschaulichen Beweis für dieses Theorem. Wie TomS schon sagte, einfach mal in einigen QFT-Buechern nachschauen, wenn Dich die Details interessieren. Weinberg ist das beste(!) QFT-Buch das ich kenne. Allerdings benötigt man sehr viel Vorwissen, um es wirklich geniessen zu können. Für QFT-Neulinge ist es eher nicht geeignet.. |
Ok,
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann kennt man die E-B-Stat. und F-D-Stat ja aus dem Experiment und Paulis Annahme erklärt, warum Fermionen einer solchen Statistik folgen. Also: Um die richtigen Vorhersagen für die F-D-Stat zu machen, muss man sozusagen das Pauli-Prinzip postulieren. Damit kann ich leben.
Mich würde noch interessieren, wie genau der Zusammenhang zwischen Ausschlussprinzip und Antisymmetrie der Wellenfunktion ist. Ich gehe mal davon aus, dass sich ein Abstecher in die QFT vermeiden lässt, um das zu erklären.
Ich bedanke mich für deine konstruktiven Beiträge. |
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Yildirim
Gast
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| Yildirim Verfasst am: 22. März 2013 13:46 Titel: |
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| möppi hat Folgendes geschrieben: |
Ok,
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann kennt man die E-B-Stat. und F-D-Stat ja aus dem Experiment und Paulis Annahme erklärt, warum Fermionen einer solchen Statistik folgen. Also: Um die richtigen Vorhersagen für die F-D-Stat zu machen, muss man sozusagen das Pauli-Prinzip postulieren. Damit kann ich leben.
Mich würde noch interessieren, wie genau der Zusammenhang zwischen Ausschlussprinzip und Antisymmetrie der Wellenfunktion ist. Ich gehe mal davon aus, dass sich ein Abstecher in die QFT vermeiden lässt, um das zu erklären.
Ich bedanke mich für deine konstruktiven Beiträge. |
Damit bin ich nicht ganz einverstanden. Man kann mit relativ einfachen Mitteln aus dem Prinzip der Ununterscheidbarkeit aus der Theorie folgern, dass Teilchen entweder einer Fermi-Dirac-Statistik oder einer Einstein-Bose-Statistik unterliegen. Im Experiment zeigt sich lediglich welches Teilchen nun welcher Statistik unterliegt.
Mit dem Spin-Statistik-Theorem kann man einen Zusammenhang zwischen dem Spin eines Teilchens und der Statistik herstellen. Demnach sind im dreidimensionalen Raum Teilchen mit halbzahligem Spin Fermionen und solche mit ganzzahligem Spin Bosonen. Man kann aber nicht aus der Theorie ableiten, dass ein Elektron einen Spin von 1/2 hat.
Dies lässt sich zwar mit der Dirac-Gleichung beschreiben, jedoch muss erst im Experiment gezeigt werden, dass die Dirac-Gleichung sich eignet um ein Elektron zu beschreiben.
Letztlich liegt die Ursache des Pauli-Prinzips aber in dem Prinzip der Ununterscheidbarkeit. Daraus folgt, dass eine Teilchensorte möglich ist, die dem Pauli-Prinzip unterliegt. So eine Teilchensorte ist, wie wir alle Wissen, durch Elektronen, Myonen, Tauonen usw. realisiert. Ohne Pauli-Prinzip wäre Materie auch nicht stabil. |
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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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| möppi Verfasst am: 22. März 2013 14:39 Titel: |
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| Yildirim hat Folgendes geschrieben: | | möppi hat Folgendes geschrieben: |
Ok,
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann kennt man die E-B-Stat. und F-D-Stat ja aus dem Experiment und Paulis Annahme erklärt, warum Fermionen einer solchen Statistik folgen. Also: Um die richtigen Vorhersagen für die F-D-Stat zu machen, muss man sozusagen das Pauli-Prinzip postulieren. Damit kann ich leben.
Mich würde noch interessieren, wie genau der Zusammenhang zwischen Ausschlussprinzip und Antisymmetrie der Wellenfunktion ist. Ich gehe mal davon aus, dass sich ein Abstecher in die QFT vermeiden lässt, um das zu erklären.
Ich bedanke mich für deine konstruktiven Beiträge. |
Damit bin ich nicht ganz einverstanden. Man kann mit relativ einfachen Mitteln aus dem Prinzip der Ununterscheidbarkeit aus der Theorie folgern, dass Teilchen entweder einer Fermi-Dirac-Statistik oder einer Einstein-Bose-Statistik unterliegen. Im Experiment zeigt sich lediglich welches Teilchen nun welcher Statistik unterliegt.
Mit dem Spin-Statistik-Theorem kann man einen Zusammenhang zwischen dem Spin eines Teilchens und der Statistik herstellen. Demnach sind im dreidimensionalen Raum Teilchen mit halbzahligem Spin Fermionen und solche mit ganzzahligem Spin Bosonen. Man kann aber nicht aus der Theorie ableiten, dass ein Elektron einen Spin von 1/2 hat.
Dies lässt sich zwar mit der Dirac-Gleichung beschreiben, jedoch muss erst im Experiment gezeigt werden, dass die Dirac-Gleichung sich eignet um ein Elektron zu beschreiben.
Letztlich liegt die Ursache des Pauli-Prinzips aber in dem Prinzip der Ununterscheidbarkeit. Daraus folgt, dass eine Teilchensorte möglich ist, die dem Pauli-Prinzip unterliegt. So eine Teilchensorte ist, wie wir alle Wissen, durch Elektronen, Myonen, Tauonen usw. realisiert. Ohne Pauli-Prinzip wäre Materie auch nicht stabil. |
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Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Habe mir eben ein hilfreiches Skript angeschaut. Man kann tatsächlich aus der Antisymetrie das Schachtelungsprinzip herleiten. Wenn man Produktzustände der Eigenfunktionen bildet und annimmt zwei Eigenfunktionen (2 Fermionen befinden sich im selben Zustand) seien gleich. Man kann keine Linearkombination aus den entarteten EZ (Permutation der Teilchen) konstruieren, bei dem nach Vertauschen Antisymmetrie vorliegt--> Alle Fermionen müssen sich in unterschiedlichen Eigenzuständen befinden. Widerspreche mir, wenn ich falsch liege.
Gruß |
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möppi
Anmeldungsdatum: 13.09.2012
Beiträge: 66
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| möppi Verfasst am: 22. März 2013 14:40 Titel: |
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Ersetze Schachtelungsprinzip mit Ausschlussprinzip |
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Yildirim
Gast
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| Yildirim Verfasst am: 22. März 2013 16:08 Titel: |
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| möppi hat Folgendes geschrieben: |
Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Habe mir eben ein hilfreiches Skript angeschaut. Man kann tatsächlich aus der Antisymetrie das Schachtelungsprinzip herleiten. Wenn man Produktzustände der Eigenfunktionen bildet und annimmt zwei Eigenfunktionen (2 Fermionen befinden sich im selben Zustand) seien gleich. Man kann keine Linearkombination aus den entarteten EZ (Permutation der Teilchen) konstruieren, bei dem nach Vertauschen Antisymmetrie vorliegt--> Alle Fermionen müssen sich in unterschiedlichen Eigenzuständen befinden. Widerspreche mir, wenn ich falsch liege.
Gruß |
Du musst zwischen Pauli-Prinzip und Pauli-Verbot unterscheiden.
Das Pauli-Prinzip sagt, dass die Wellenfunktionen von elektronischen Systemen unter Transposition zweier Elektronen antimetrisch sein müssen.
Nach dem Pauli-Verbot müssen sich Elektronen paarweise in mindestens einer Quantenzahl voneinander unterscheiden.
Das Pauli-Verbot ist eine Folge des Pauli-Prinzips. |
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