Feder: Woher kommt die 6?

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 677

Moin,

Aufgabe:
Eine Feder (D = 1 N/cm) ist an einer Seite mit der Wand, an der anderen mit der Rotationsachse eine Walze (Vollzylinder, m = 5 kg, r = 10 cm) verbunden. Der Schwerpunkt der Walze wird aus der Gleichgewichtslage der Feder um s = 20 cm nach rechts ausgelenkt und losgelassen. Anschließend vollführt die Walze mit ihrem Schwerpunkt horizontale Schwingungen.
Zeigen Sie durch aufstellen der Kräftebilanz, dass es sich bei der Bewegung des Schwerpunkts um eine harmonische Schwingung mit folgender Eigenfrequenz handelt:

----------------------------------------------------

Normal wäre ja:

hergeleitet aus der Standardformel:

Also: Woher kommt hier die 6?

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Die Federkraft erzeugt ein Drehmoment. Dadurch erfährt der Zylinder eine Rotationsbewegung um den Momentanpol. Momentanpol ist der Auflagepunkt des Zylinders.

Satz von Steiner

ist die "Ersatzmasse".

Eingesetzt in

ergibt

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 677

Aha, ok, wieder was gelernt!
"Satz von Steiner" hatte ich zwar schon mal gehört, irgendwie, aber noch nie benötigt.
Vielen Dank!

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 677

Je mehr ich darüber nachdenke, umso beeindruckender finde ich deine Lösung. Da wäre ich nie drauf gekommen!
Zuerst das Drehmoment so umzuformen, und dann den Satz von Steiner zu benutzen, und dass sich dann r wegkürzt.
Trickreich!

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Nur eine Anmerkung: in der 1. und 3. Gleichung oben müssten jeweils noch Minuszeichen stehen, sonst würde keine Schwingung resultieren, sondern die Auslenkung würde exponentiell zunehmen.

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 677

Du meinst:

?

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Entscheidend für eine harmonische Schwingung ist, dass die Kraft proportional zur Auslenkung und rücktreibend ist, d.h. entgegengesetzt zur Auslenkung gerichtet. Bei umgekehrtem Vorzeichen würde die Auslenkung wie gesagt exponentiell ansteigen.

PS: Will hier nicht korrigieren, aber die Formulierung „Summe der Momente = 0“ kann m.E. zumindest verwirrend sein. Denn auf die Walze wirkt ja durch die Feder tatsächlich eine Kraft bzw. ein Drehmoment, sonst würde sie nicht schwingen. Der Term „I*alpha“ ist kein Moment, das tatsächlich auf die Walze wirkt, sondern die Folge/Auswirkung des einwirkenden Drehmoments.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd