Fragen zur Robertson-Walker-Metrik

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 296

Für die Robertson-Walker-Metrik wird angenommen, dass das Universum im Mittel homogen und isotrop ist.

Welche Beobachtungen sprechen fü

Impliziert die Isotropie hierbei nicht schon, dass das Universum unendlich groß ist? Ein endliches Universum kann ja offensichtlich nicht isotrop sein.

Und würde eine endliches Universum nicht auch zu einer Inhomogenität führen, da die Materie im Inneren ja deutlich stärker zusammenhalten müsste als an den Randbereichen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Endliche Universen können durchaus homogen und isotrop sein. Im Falle eines 3-dim. Raumes (d.h. einer 4-dim. Raumzeit) wäre dies insbs. die S3-Topologie mit einer Metrik positiver Krümmung.

Ich beschreibe die Konstruktion zunächst anhand eines 2-dim. Raumes mit S2-Topologie:

Betrachte zwei Kreisscheiben B2, lege sie aufeinander und verklebe ihre Ränder S1 (zwei Kreisränder) und deformiere das Gebilde (blase es auf), so dass eine Kugeloberfläche S2 entsteht, wobei die resultierende Fläche keine Knicke oder Dellen mehr aufweist und somit homogen ist. Die beiden ursprünglichen S1 bilden den Äquator der S2. Offenbar ist S2 isotrop und hat insbs. weder Zentrum noch Rand; S2 ist selbst jedoch der Rand eines 3-dim. Balles B3.

Für den 3-dim. Raumes mit S3-Topologie gilt dies analog, ist jedoch nicht mehr anschaulich vorstellbar:

Betrachte zwei Bälle B3 und verklebe ihre Ränder S2 (zwei Kugeloberflächen), so dass eine S3 entsteht. Diese S3 lässt wiederum eine homogene, isotrope Metrik zu.

Dies ist genau das mathematische Modell eines endlichen (kompakten), homogenen und isotropen Universums.

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 296

gut erklärt! Vielen dank...kannst du Literatur zur Kosmologie empfehlen ?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Was wäre denn dein Kenntnisstand?

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 296

Bachelor 5. Semester.

Kenne also die Basics der klassichen Mechanik /Elektrodynamik/ SRT. Thermodynamik und Basics in der Quantenmechanik.

Arbeite mich gerade durch den Fließbach zur ART durch.

Kommendes Semester werde ich einen Kurs zu den Grundlagen der Quantenfeldtheorien und zur Astrophysik belegen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Schau mal in ein paar Bücher rein, ob sie dir zusagen

Weinberg: Gravitation and Cosmology
Weinberg: Cosmology
MTW

Corbi · Anmeldungsdatum: 17.07.2018 Beiträge: 296

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Rein topologisch ist das sicher möglich. Zunächst wissen wir, dass auf einer S3 (allg. Sn, n > 1) jede geschlossene Kurve stetig zu einen Punkt zusammengezogen werden kann; damit wissen wir auch, dass jede geschlossene Kurve stetig zu einem Großkreis deformiert werden kann. Wir können uns also entlang geschlossener Kurven bewegen und die Kurven dabei beliebig aber stetig so deformieren, dass daraus ein Großkreis

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Fundamentalgruppe

Geometrisch ist das nicht so einfach, denn dazu muss man die Dynamik der Raumzeit betrachten. Topologisch liegt üblicherweise eine Mannigfaltigkeit

vor, wobei der letze Faktor für „Zeit“ steht.

Betrachtet man zunächst ein 1-dim. Universum mit Raumzeit

- d.h. einen Zylinder -

und berücksichtigt, dass man Bewegungen nur innerhalb des Vorwärtslichtkegels möglich sind, so wird klar, dass schlicht keine geschlossenen Weltlinien möglich sind (man kann sich nicht kreisförmig um den Zyliner bewegen, denn dies entspräche einer raumartigen Bewegung mit unendlicher Geschwindigkeit; die Topologie schließt außerdem geschlossene zeitartige Kurven aus)

Man muss also eine andere Definition von „geschlossen“ finden. Eine physikalisch sinnvolle Möglichkeit wären zwei Beobachter:
1) ein „mitbewegter“ und insbs. kräftefreier „Referenzbeobachter“, dessen Weltlinie auf dem Zylinder einer geraden, senkrechten Linie entspräche, sowie
2) der „Reisende“, dessen Weltlinie sich irgendwie um den Zylinder herumwindet und schließlich wieder die Weltlinie des Referenzbeobachters schneidet.

Nun kommt die Dynamik des Universums ins Spiel: Der Umfang des Zylinders bzw. die Größe des 3-Raumes der FRW-Metrik zu jedem Zeitpunkt t (der speziell gewählten Zeitkoordinate entsprechend der Eigenzeit des mitbewegten Referenzbeobachters) skaliert mit dem Skalenfaktor a(t).

Für ein statisches Universum wäre a(t) konstant, und eine im obigen Sinne „geschlossene“ Reise möglich. Das entspräche dem Einstein-Universum mit geeignet gewählter kosmologischer Konstante Λ.
Für ein im üblichen Sinne geschlossenes Friedmann-Universum mit k = +1 und kosmologischer Konstante Λ = 0 ist jede Reise spätestens beim Kollaps geschlossen, d.h. für „schnellere Reisen“ auch früher.
Für ein geschlossenes Universum mit k = +1, jedoch Λ genügend groß wird sich das Universum zu schnell ausdehnen, als dass der Reisende es im obigen Sinne umrunden kann (ob das jetzt physikalisch sinnvoll ist, sei mal dahingestellt).

Die obige Argumentation bezieht sich auf die übliche Topologie S3; kompliziertere Topologien für geschlossene Universen sind denkbar und werden untersucht.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe

Noch eine Anmerkung: jede 3-dim. Mannigfaltigkeit mit konstanter positiver Krümmung ist sicher geschlossen.