Aufgabe zum Abheben

schmissi · Anmeldungsdatum: 02.07.2006 Beiträge: 10

Hi

Hab in meinem Buch eine Aufgabe entedeckt bei der ich absolut nicht weiterkommen. sie lautet wie folgt:

Eine kleine Kugel (mit vernachlässigbar kleinerm Radius) rollt auf einer großen KUgel beschleunigt ab. Das ABrollen beginnt oben aus der Ruhe heraus. Zeigen sie, dass die kleine KUgel stets ab dem Winkel alpha 48,2° von der großen Kugel abhebt.
Hinweiß: Die Geschwindigkeit v nach dem Durchfallen der Höhe h ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz.

neben an ist eine zeichnung die den weinkel alpha veranschaulicht. damit ist der winkel gemeint die folgenden linien einschließen. einmal die linie vom mittelpunkt der großen kugel zur kleinen und einmal die lienie vom mittelpunkt der kugel zu dem punkt an dem die kleine kugel von der großen abhebt.
die Höhe h ist die Strecke die die Kugel von ihrem Startpunkt bis zum Abhebepunkt "durchfällt".

Habe selbst keine Ahnung wie man bei dieser Aufgabe anfängt.
hoffe ihr könnt mir helfen

gruß schmissi

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ein Ansatz in Worten als Tipp:

Was die kleine Kugel an die große Kugel drückt, ist die Komponente der Gewichtskraft auf die kleine Kugel, die zum Mittelpunkt der großen Kugel zeigt.

Was sie dagegen von der großen Kugel wegzieht, ist die Zentrifugalkraft, die man aus der Geschwindigkeit der kleinen Kugel erhält (die aus der kinetischen Energie folgt, in die die potentielle Energie umgewandelt wurde).

schmissi · Anmeldungsdatum: 02.07.2006 Beiträge: 10

mein bisheriger gedankengang war dass die kleine kugel dann abhebt wenn die zentrifugalkraft größer ist als die kraft die sie auf die kugel drückt.
da allerdings in der Aufgabe kein einziger zahlenwert außer der winkel angegeben ist weiß ich nicht weiter.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Das heißt, du musst mit Formeln rechnen. (Das ist dasselbe wie mit Zahlenwerten, nur dass du am Ende nichts einzusetzen brauchst.)

Und ich denke mal, am Ende wirst du sehen, dass sich der Radius der großen Kugel, der in deinen Formeln drinsteht, in der Endformel für den Abhebwinkel nicht mehr drinsteht, weil er sich rauskürzt. Ebenso die Masse der kleinen Kugel.

schmissi · Anmeldungsdatum: 02.07.2006 Beiträge: 10

jo das ist mir schon klar, allerdings weiß ich immernoch keinen ansatz
trotzdem schonmal danke bis hierher

gruß

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Kennst du denn die Formeln, mit denen du den Ansatz oben in Worten in einen Ansatz in Formeln umwandeln kannst?

Kennst du die Formel für die Zentrifugalkraft? Für die Lageenergie? Kannst du dir eine Skizze machen, der du entnehmen kannst, wie die von der kleinen Kugel durchlaufene Höhendifferenz mit dem Winkel an der großen Kugel zusammenhängt? Die Formel für den Zusammenhang zwischen der gesuchten Komponente der Gewichtskraft, dem Winkel an der großen Kugel und der Gewichtskraft selbst?

schmissi · Anmeldungsdatum: 02.07.2006 Beiträge: 10

Ja diese Formeln weiß ich alle, wozu hat man eine formelsammlung.
aber ich verstehe immernoch nicht ganz wie man sie zusammensetzen soll.
könntest du mir da nicht helfen?
wäre wichtig da ich morgen schulaufgabe schreibe.
was mir besonders probleme bereitet ist dass ich irgendwie keine formel etc. kenne bei der am ende nen winkel rauskommt.

gruß

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ich habe mal eine kleine Skizze gemacht, vielleicht hilft die etwas weiter.

Gruß
Marco

//Edit: Noch etwas Text dazu:

Ich hätte noch ein paar Fragen dazu. Wenn Du versuchst, diese zu beantworten, bekommst Du die Lösung sicher selbst hin:

Wie groß ist der Höheverlust h der kleinen Kugel, wenn sie einen bestimmten Winkel runter gerollt ist. Versuche mal passend ein Dreieck einzuzeichnen, mit dem Du die Höhe in Abhängigkeit vom Winkel und dem Radius der großen Kugel bestimmen kannst.
Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugel in Abhängigkeit der Höhe h, die ich eingezeichnet habe (das mit dem Minus ist jetzt erstmal nicht so wichtig... Kommt drauf an, wie Du das machen willst)?
Wie groß ist die Kraft , also der Teil der Gewichtskraft, der direkt in Richtung Kugeloberfläche wirkt?
Wie groß ist die Zentrifugalkraft ( der Kugel? Du hast die Geschwindigkeit ja schon oben ausgerechnet.
Wann wird die Zentrifugalkraft größer als die Normalenkraft, also ab welcher Höhe/Winkel hast Du:

?

Gruß
Marco

//Edit: kleiner Typo korrigiert, s. unten...

schmissi · Anmeldungsdatum: 02.07.2006 Beiträge: 10

1. hab ein dreieck eingzeichnet, und für den cos von alpha r-h/r rausbekommen, da ja r und r-h den winkel alpha einschließen wobei r die hypothenuse des dreiecks ist.

2. die Geschweindigkeit der Kugel dürfte die wurzel aus 2*g*h sein da die Formel für Geschwindigkeit ja lautet v²=2as (2*Beschleunigung*strecke)

3. Normalkraft ist doch m*g*cosalpha oder?

4. F = m*g*h/r wenn ich nicht irre.

folglich müsste ich doch m*g*h/r = m*g*cosalpha auflösen... aber da kommt nichts gescheites raus

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

schmissi · Anmeldungsdatum: 02.07.2006 Beiträge: 10

ok ich habs gelöst
vielen vielen dank smile

eman · Anmeldungsdatum: 24.06.2006 Beiträge: 59

> Zeigen sie, dass die kleine Kugel stets ab dem Winkel alpha 48,2° von der großen Kugel abhebt.

Ich denke die Prämisse der Aufgabe ist falsch.

Der Winkel acos(2/3) = 48,2° gilt nur für ein reibungsfrei gleitendes Objekt. Eine rollende Kugel hebt erst bei acos(10/17) = 54° ab, denn ein Teil ihrer potentiellen Energie geht in die Rotation und trägt damit nicht zur radialen Beschleunigung bei. Nach meiner Rechnung ist der genannte Wert nicht abhängig von Radius und Masse der rollenden Kugel, wohl aber von ihrem Formfaktor (2/5).

Könnte das sein?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Einverstanden, eman. Ich komme zu denselben Ergebnissen. (Statt radialer Beschleunigung meinst du übrigens sicher die tangentiale Beschleunigung)

Wie man am vorgegebenen Ergebnis sieht, wollte der Aufgabensteller, dass man die Rotationsenergie der kleinen Kugel vernachlässigt.

Statt einem vernachlässigbar kleinen Radius dieser kleinen Kugel hätte er dafür allerdings exakterweise ein vernachlässigbar kleines Trägheitsmoment der kleinen Kugel fordern müssen. (Zum Beispiel, in dem er vorgibt, dass die Masse der kleinen Kugel in guter Näherung ausschließlich in ihrem Mittelpunkt versammelt sei, das gibt einen Formfaktor von Null).

(Solch ein Ungenauigkeitsfehler in der Aufgabenstellung bleibt gerne immer dann unbemerkt, wenn die Personen, denen die Aufgabe gestellt wird, noch gar nicht gelernt haben, wie man Rotationsenergien ausrechnet Augenzwinkern

)

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, das ist interessant! Ich habe die Rotationsenergie oben bewußt nicht weiter erwähnt, weil ich gesehen hatte, dass das "gewünschte" Ergebnis ohne sie raus kommt und so davon ausgegangen bin, dass es eher verwirrend sein wird, wenn ich die auch noch rein bringe, obwohl die Aufgabe offensichtlich ohne sie "gedacht" war. Ich dachte auch, dass das Ergebnis dann wahrscheinlich vom Radius der kleinen Kugel abhängig sei und es bei einem sehr kleinen Radius dann vernachlässigbar wäre (ich vermute, dass der Aufgabensteller den selben Gedanken hatte, aber das nicht mehr nachgeprüft hat, so wie ich auch nicht...)
Ich finde es auf jeden Fall sehr interessant, dass das Ergebnis mit Rotationsenergie unabhängig von den Radien ist und nur vom "Formfaktor" der kleinen Kugel abhängt.
@eman: Danke für den Hinweis! Thumbs up!

Gruß
Marco

Keinguterphysiker · Gast

Also haben wir für die Höhe:

Meine Frage ist nun wie man auf die höhe mit der davor gegeben cosalpha=r-h/r kommt

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7255

Da fehlt nur eine Klammer, es muss heißen (r-h)/r. Daher vielleicht Deine Verwirrung.

Dann ergibt sich

Viele Grüße
Steffen