Volumen in hohen Dimensionen

Statst · Gast

Meine Frage:
Ich habe eine Aufgabe bei der ich das Volumen von einer n Dimensional Kugel und eines n Dimensionalen Simplex berechnen musste nun ist Aufgaben Teil c):

Erläutern Sie die Aussage dass ?sich fast das gesamte Volumen an der Oberfläche befindet? falls n ? 1. Betrachten Sie dazu eine dünne Kugelschale.

Meine Ideen:
Ich verstehe nicht ganz wieso dies der Fall sein sollte. Ich dachte das Volumen schneller wächst als die Oberfläche? Könnte mir jemand erklären wo mein Fehler ist. Danke im Vorraus.

Statst · Gast

Okay die ersten Fragezeichen sollen " sein und das Dritte ist ein Viel größer als also ein sehr großes n. In der Vorschau war es sichtbar. Entschuldigung dafür.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Berechne doch mal das Volumen einer n-dimensionalen Vollkugel und deiner n-dimensionalen dünnen Kugelschale mit gleichem Radius.

Statst · Gast

Okay ich sehe das es sich nur um einen Faktor r/n unterscheidet. Bei r=1 ist es nur noch 1/n aber ist dies bereits genug um zu sagen das in hohen Dimensionen das meiste Volumen in der Oberfläche ist?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Das Volumen der n-dim. Kugel mit Radius r beträgt

Das Volumen der entsprechenden Kugelschale mit Dicke d beträgt

Nun berechne doch mal den Anteil des Volumens einer Kugelschale am Gesamtvolumen bei fester, im Vergleich zum Radius r kleiner Dicke d

für variable Dimension n.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21443

Ok, ich war zu langsam