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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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 bandchef Verfasst am: 10. Apr 2010 12:50 Titel: Bewegung in zwei Dimensionen... |
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Hi Leute!
Unten hab ich eine Aufgabe angehägt die ich gerne bearbeiten würde, ich aber leider überhaupt keinen Plan von hab... Könnt ihr mir helfen?
Was mir dazu spontan einfallen würde? Z.B. graphische Vektoraddition. Aber ich solls ja eher analytisch berechnen...
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. Apr 2010 14:00 Titel: |
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Also, b) ist ja eigentlich nur einsetzen. Sollte eigentlich kein Problem darstellen. Bei a) machst du die gleiche Rechnung wie bei b) nur allgemein, rechnest dann aber noch den Betrag des Vektors r aus (Tipp: Pythagoras).
Bei der c) solltest du dir erst mal klar machen um was für eine Bahnkurve es sich handelt. Dann lässt sich mit den Punkten von Aufgabe b) und ein paar zusätzlichen, sicher eine schöne Bahnkurve zeichnen .
Zu d): Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Weges. Das gilt analog in zwei oder in drei Dimensionen. Tipp: Vektoren lassen sich komponentenweise differenzieren.
Das sollte dir erst mal weiterhelfen alle Teilaufgaben anzugehen. Wenn noch Fragen dazu auftauchen, melde dich einfach nochmal. 
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 13:40 Titel: |
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Bei der a) bräuchte ich noch einen kleinen Gedankenanstoß! :-)
Oh Sorry, ich hab in deiner Antwort den Tipp zu a) überlesen...
Edit:
Hab jetzt die a) gerechnet. Komm jetzt auf diesen Vektor:
=\begin{pmatrix} 1m+0,2\frac{m}{s}*t*cos(6,3\frac{1}{s}*t) \\ 1m+0,2\frac{m}{s}*t*sin(6,3\frac{1}{s}*t) \\ \end{pmatrix})
Wie soll ich aber jetzt mit diesem riesen Vektor mit der Formel |=\sqrt{a_1^2+a_2^2}) ausrechnen? Da kann ich ja nix mehr kürzen usw...
danke, bandchef
Zuletzt bearbeitet von bandchef am 11. Apr 2010 14:34, insgesamt einmal bearbeitet |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 14:22 Titel: |
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Setzt doch bitte keine konkreten Werte ein, solange du keine brauchst. Mit Variablen gestaltet sich das viel übersichtlicher. Mit deinem Vektor bin ich nicht einverstanden: Die zweite Komponente ist falsch und bitte achte auf die Klammersetzung, sonst sind beide Komponenten falsch. Ich würde dir sogar raten, ein Teil vor dem Vektor zuschreiben.
Wenn du das berichtigst, dann kannst du die Formel für den Betrag sehr vereinfachen und erhältst ein Ergebnis, dass man eigentlich schon auf einem Blick erahnen kann.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 14:36 Titel: |
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Der Fehler kamm durch copy and paste...
| Zitat: | Ich würde dir sogar raten, ein Teil vor dem Vektor zuschreiben.
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Was meinst du mit "Teil"?
Meine Lösung für a): 
Bin jetzt bei Aufgabe c)
Der erste Komponente in meinem Vektor gibt mir ja x(t) und die zweite Komponente gibt mir y(t) an. Meine Frage: Wie soll ich nun die beiden Komponenten x(t), y(t) gegenüber der Zeit in einem Diagramm auftragen?
Zuletzt bearbeitet von bandchef am 11. Apr 2010 14:46, insgesamt einmal bearbeitet |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 14:45 Titel: |
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| bandchef hat Folgendes geschrieben: | | Was meinst du mit "Teil"? |
Ich meine ein Skalar, so wie es in der Aufgabenstellung schon gemacht ist, also r(t). Die Rechnung gestaltet sich viel einfacher, wenn du den Vektor in Skalar mal Vektor aufteilst.
| Zitat: | | Wie soll ich nun die beiden Komponenten x(t), y(t) gegenüber der Zeit in einem Diagramm auftragen? |
Wer sagt, dass du die Bahn als Funktion der Zeit auftragen sollst. Die Bahnkurve ist doch eigentlich "zeitlos". Also wäre ich dafür in einer Ebene einfach x gegenüber y aufzutragen.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 14:47 Titel: |
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Ich glaube das Edit von meinem letzten Eintrag von mir hat sich mit der Antwort von dir gerade gekreuzt. Ich hab die Lösung von a) nun dort stehen.
Das ich einfach die beiden Komponenten gegenüber auftrage ist mir jetzt auch gekommen :-)
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 14:58 Titel: |
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Die Lösung von dir ist komplett falsch, aber sowas von. Bevor du die c) beginnst solltest du lieber die a) lösen, da die Lösung von der a) dir helfen sollte zu verstehen, um was für eine Bahnkurve sich es handelt.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 15:01 Titel: |
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Meine Lösung für a): 
Stimmt meine Lösung für a) jetzt?
Zuletzt bearbeitet von bandchef am 11. Apr 2010 15:27, insgesamt einmal bearbeitet |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 15:23 Titel: |
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Nein. Was ist z.B. der Betrag von diesem Vektor ?
Wie lautet damit der Betrag von Vektor r ?
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 15:57 Titel: |
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das ergebnis ist a
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 16:01 Titel: |
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Und jetzt setzt du:
)
Wie lautet damit die Lösung von Aufgabe a).
Und was für eine Bahnkurve wird in der Aufgabe beschrieben.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 16:05 Titel: |
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Ich kapiers nicht:
Ich hab ganz am Anfang das hier stehen:
|=\sqrt{(r_0+v_0*t*cos(\omega*t))^2+(r_0+v_0*t*sin(\omega*t))^2})
|=\sqrt{(r_0^2+v_0*t^2*cos^2(\omega*t)+r_0^2+v_0*t^2*sin^2(\omega*t)})
|=\sqrt{2*r_0^2+v_0*t^2*(cos^2(\omega*t)+sin^2(\omega*t))})
|=\sqrt{2*r_0^2+v_0*t^2})
Und was ist da jetzt falsch?
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 16:22 Titel: |
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Wie wäre es mal mit richtig gesetzten KLAMMERN, wie ich es dir schon vor einigen Beiträgen geraten habe.
Davon abgesehen ist von Zeile 1 auf Zeile 2 ein Rechenfehler, der aber egal ist, wenn man in der ersten Zeile die Klammern richtig gesetzt hätte.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 16:38 Titel: |
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Das Ergebnis lautet: |=r_0+v_0*t)
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 16:41 Titel: |
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Richtig. Wer hätte das gedacht:
| = r(t))
Kannst du mir damit auch sagen, was das für eine Bahnkurve ist ?
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 16:45 Titel: |
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das ist jetzt ein linearer zusammenhang der aber im abstand von r0 beginnt, oder?
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 16:49 Titel: |
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Wenn man nur den Abstand vom Ursprung betrachtet: Ja.
Was für eine Bahn wäre folgende Kurve ?
= r_0 \cdot \begin{pmatrix} \cos(\omega t)\\ \sin(\omega t) \end{pmatrix} )
Was ist der Unterschied zu deiner Aufgabe und was für eine Bahnkurve hast du dann dort ?
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 16:55 Titel: |
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hier würde es dann heißen: =r_0) somit halt einfach eine Gerade, oder?
Wenn ich nun aber mir noch ein paar andere Werte für c) ausrechen, dann lässt sich durch den ersten Punkt (t=0,25s) leider keine Linie durchlegen...
Ich kann mir nicht helfen, aber auf dem Papier sieht der Zusammenhang eher quadratisch oder irgendsowas in der Art aus...
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 17:12 Titel: |
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Zumindest lässt sich keine Gerade durch legen, damit solltest du auch merken, dass deine Antwort auf meine Frage falsch ist.
Der Abstand meiner Kurve vom Ursprung ist doch immer gleich. Welche geometrische Kurve kennst du denn, dessen Abstand vom Ursprung in jedem Punkt immer konstant ist.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 19:59 Titel: |
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Naja nur einen Kreis. Aber einer Kreisform ähnelt meine Kurve auch nicht...
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 20:30 Titel: |
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Wenn das ein Kreis ist, dann ist hier in der Aufgabe ein Kreis mit wachsenden Radius beschrieben, also eine Spirale.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 20:34 Titel: |
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und was heißt das jetzt? das das teilchen eine spirale beschreibt? oder bin ich noch immer falsch dran? aber: wie gesagt wenn ich meine eingetragenen punkte nun anschaue könnt ich mir eher eine halbe parabel vorstellen, die bei 1 beginnt
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 11. Apr 2010 20:36 Titel: |
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Ja, das Teilchen bewegt sich auf einer Spiralbahn die im Punkt (1m;0) beginnt und sich gegen den Uhrzeigersinn nach außen windet. Nach 3s sollte es genau 3 Umläufe absolviert haben.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 11. Apr 2010 20:41 Titel: |
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Hm, ok...
Aber wie kann ich mir denn diese Spirale hinzeichnen? Da bräuchte ich ja "unendlich" viele Punkte, dass ich eine einigermaßen schöne Spirale hinbekomme... Vor allem müsste ich ja dann ein KS mit 4 Quadranten zeichnen! Wie hast'n du das gemacht?
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182
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| Ric Verfasst am: 11. Apr 2010 22:15 Titel: |
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Moin,
du sollst sie ja nur skizzieren. Das dürfte sogar freihand gehen, wenn du dir ein paar Punkte der Bahnkurve vorher hinzeichnest.
Wo ist dein Problem mit 4 Quadranten?
Falls die Aufgabe wider Erwarten aus dem Kunst-Leistungskurs kommt, kannst du ja hier mal schauen  :
http://www.mathematische-basteleien.de/spirale.htm#Archimedische%20Spirale
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 13. Apr 2010 20:28 Titel: |
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hier ist also dann x- sowie die y-Achse die Zeitachse, oder wie?
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182
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| Ric Verfasst am: 13. Apr 2010 21:03 Titel: |
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Wenn du die Zeit über der Zeit aufträgst, also  = t) , erhältst du eine Ursprungsgerade  .
Scherz beiseite. Wie kommst du zu deiner Annahme? Du hast eine Parametergleichung, die dir in Abhängigkeit einer Variable (der Zeit) (Orts-)Vektoren ausspuckt. In der Aufgabe steht ja auch, das Teilchen bewege sich auf der xy-Ebene. Mal mit einem Stock 3 Sekunden lang eine Spirale in Sand. Das was da rauskommt, sind eine ganze Menge Vektoren (unendlich viele) - bzgl. eines gedachten Koordinatensystems - , die eine bestimmte Bahn (Spur im Sand) entstehen lassen.
Weißt du, was ich meine? Kannst du jetzt vllt. sagen, welcher Natur (oder Dimension) deine beiden Achsen sind?
Gruß,
Rick.
EDIT: Vielleicht präziser: Du hast eine Abbildung:
)
Ich weiß nicht, ob dich vielleicht verwirrt, dass in der Skizze, die du zeichnen sollst, die Zeit irgendwie unter den Tisch gefallen ist.
Das ist sie nicht.
In der Schule bildet man ja in 99,9% aller Fälle von  nach ab. Da bietet es sich an, die x-Achse z.B. als Zeitkoordinate zu verwenden und die andere als Ortskoordinate. Man erhält also eine Fläche.
Nun bildest du auf einen 2D-Vektor ab. Das lässt sich in der Ebene sehr schlecht realisieren, wie du dir sicher vorstellen, oder besser: nicht vorstellen kannst. Daher bildet man nun von einer Geraden (der Zahlenstrahl, auf dem  läuft) auf eine Fläche ab. Ersteres ist das Urbild (Definitionsbereich), das zweite das Bild (Wertebereich). Das, was du skizzieren sollst, ist also die fertige Bildmenge, die man bereits mit allen möglichen  gefüttert hat.
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 14. Apr 2010 17:23 Titel: |
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Das heißt, ich muss in meiner Zeichnung die y-Achse als Ort annehmen und die x-Achse als Zeit annehmen? Wenn ich dann dieses KS gezeichnet habe, muss ich Wert einsetzen die ich unter b) schon berechnet habe..., oder?
Meine berechneten Werte unter b) beinhalten aber x(t) und y(t) als Werte in Form von Meter angaben.
Hier meine Lösungen von b):
=\begin{pmatrix} 0m \\ 0m \end{pmatrix})
=\begin{pmatrix} 1,05m \\ 1,00m \end{pmatrix})
=\begin{pmatrix} 1,1m \\ 1,01m \end{pmatrix})
=\begin{pmatrix} 1,15m \\ 1,01m \end{pmatrix})
=\begin{pmatrix} 1,2m \\ 1,02m \end{pmatrix})
Für c) hab ich mir dann noch für 4 weitere Zeitwerte die entsprechenden Abstände ausgerechnet:
=\begin{pmatrix} 1,3m \\ 1,05m \end{pmatrix})
=\begin{pmatrix} 1,39m \\ 1,09m \end{pmatrix})
=\begin{pmatrix} 1,48m \\ 1,14m \end{pmatrix})
=\begin{pmatrix} 1,57m \\ 1,2m \end{pmatrix})
So und hier weiß ich eben noch dass ich für 0<t<3s jetzt die errechnte Abstände auftragen sol. Aber: Ich weiß noch immer nicht wie... :-(
Ich hab in meinen Vektoren ja die x-Richtung (jeweils der obere Wert) und die y-Richtung (jeweils der untere Wert gegeben) und ich weiß zusätzlich, dass sich das Teilchen von 0-3s bewegt.
Könnt ihr mir nochmal weiterhelfen?
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182
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| Ric Verfasst am: 14. Apr 2010 21:15 Titel: |
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Zum Glück werde ich nicht Lehrer, meine Ausführungen versteht kein Mensch.
Nein! Es sind beides Ortskoordinaten (die Achsen). Du lässt das Teilchen 3 Sekunden lang im Sand seine Spirale drehen, nimmst es dann weg und schaust dir die Bahnkurve (Trajektorie) an.
Die Information, wann das Teilchen in irgendeinem dieser Punkte war, siehst du natürlich nicht mehr. Die Analogie wäre jetzt wieder das altbekannte x-y-Achsen-System. Stell dir vor, du würdest dir auch da nur den Wertebereich einer solchen Bahnkruve anschauen. Das wäre dann (bei einer stetigen Bewegung) nur ein Strich. Trägst du es hingegen über der Zeit auf, weißt du, wann es wo war. Genau so ist es hier bei dir, nur eben jetzt eine Dimension höher.
Zu deinen Werten: Habe mir nur den ersten angeschaut und muss sagen, dass ich etwas anderes raus habe. Kannst du, evtl. nur für den ersten, erläutern, wie du auf (0m , 0m) für r(t=0) gekommen bist?
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 14. Apr 2010 23:19 Titel: |
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ja, du hast recht r(0s) (1m , 1m)... ich hab mich da irgendwie vertippt
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 14. Apr 2010 23:22 Titel: |
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Schau dir doch nochmal mein Spiral in der X-Y-Ebene an. Das ist genau das, was du Zeichnen sollst.
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182
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| Ric Verfasst am: 15. Apr 2010 17:56 Titel: |
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Moin,
die gegebene Parametrisierung lautet:
 = (r_0 + v_0 t) \cdot \begin{pmatrix}\cos \omega t \\ \sin \omega t \end{pmatrix}) .
Als Startwert  erhalte ich
 = r_0 \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1m \\ 0 \end{pmatrix}) .
Gibt es Unklarheiten? Deine letzte Antwort war recht knapp bezogen auf die Erklärungen davor.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 16. Apr 2010 01:07 Titel: |
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Übrigens: Wer Spaß daran hat, kann die Frage auch in Polarkoordianten behandeln.
=\rho(t)\ \vec e_\rho(\rho,\phi);\ \vec{v}=\dot{\rho}\ \vec{e}_\rho+\rho\ \dot{\phi}\ \vec{e}_\phi)
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bandchef
Anmeldungsdatum: 04.12.2008
Beiträge: 839
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| bandchef Verfasst am: 16. Apr 2010 07:37 Titel: |
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@Ric:
Ich hab irgendwie "Punkt vor Strich" weggelassen... Jetzt stimmts auch mit deinem Ergebnis überein...
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182
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| Ric Verfasst am: 16. Apr 2010 12:36 Titel: |
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Die Aufgabe ist wirklich prädestiniert für eine polare Basis. Dein ) entspricht ja bereits dem ) .
Aber ich denke (hoffe), dass bandchef jetzt mehr Durchblick hat. 
Beste Grüße,
Rick.
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