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Nachricht |
Christopher231231
Gast
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 Christopher231231 Verfasst am: 21. Okt 2019 17:06 Titel: Metallkugel und Influenzplatte (Elektrostatik) |
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Meine Frage:
Eine Metallkugel mit r=7cm und Flächenladungsdichte ?=2*10^(-6) C/m²
a) Berechne die Ladung auf der Metallkugel
einfach ?=Q/A nach Q umstellen und A=4?r²
b) Ein quadratisches Influenzplattenpaar mit der Seitenlänge d=5 cm wird im Abstand r1=20 cm vom Kugelmittelpunkt senkrecht zu den Feldlinien gehalten und dann getrennt. Die Ladung der Platte wird mit Hilfe eines Messverstärkers bestimmt. Welche Ladung zeigt das Messgerät näherungsweise an?
Meine Ideen:
a)
einfach ?=Q/A nach Q umstellen und A=4?r²
b)
Hier, dachte ich, kann ich einfach berechnen wie viel Prozent die Plattenpaarfläche von der Kugeloberfläche ausmacht und dann das Verhältnis mit der Kugelladung mutliplizieren, hört sich das richtig an? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. Okt 2019 17:43 Titel: |
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| Christopher231231 hat Folgendes geschrieben: | | ... hört sich das richtig an? |
Nein. Du gehst davon aus, dass die Verschiebungsdichte am Ort der Platten genauso groß ist wie an der Kugeloberfläche. Das ist aber nicht der Fall. Die Verschiebungsdichte sinkt mit 1/r². |
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Christopher231231
Gast
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| Christopher231231 Verfasst am: 21. Okt 2019 17:50 Titel: Aufgabe |
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Das ist interessant, das habe ich vorher noch nie gehört. Kann es sein, dass das einfach eine blöde Approximation ist? Ich glaube nämlich, dass wir das genau so im Unterricht gemacht haben. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. Okt 2019 19:36 Titel: |
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| Christopher231231 hat Folgendes geschrieben: | | Das ist interessant, das habe ich vorher noch nie gehört. |
Ach, noch nie was vom Gaußschen Flusssatz gehört?
Bei kugelsymmetrischen Anordnungen sind  und  an jeder Stelle parallel, so dass sich das obige Skalarprodukt vereinfacht zu
Nun stell' Dir als geschlossene Hüllfläche eine Kugel vor. Aus Symmetriegründen ist der Betrag der Verschiebungsdichte an jeder Stelle der Kugeloberfläche gleich groß, also konstant. Eine Konstante kannst Du vor das Integralzeichhen ziehen (ausklammern):
Das Integral bedeutet nichts anderes als die Summe aller infinitesimal kleinen Flächenstückchen auf der Kugeloberfläche, was natürlich gleich der Kugeloberfläche ist:
\cdot 4\pi r^2)
bzw.
=\frac{Q}{4\pi r^2})
Nie gehört? Du selber hast diese Beziehung in Deinem Eröffnunsgpost bereits verwendet. Die Flächenladungsdichte auf der Oberfläche der gegebenen Kugel ist doch D.
Nun stell Dir vor, Du betrachtest eine Stelle, die nicht auf der Oberfläche der gegebenen Kugel, sondern etwas weiter davon entfernt ist, beispielsweise im Abstand r1. Wenn Du durch diese Stelle eine gedachte konzentrische Kugel legst (Radius r1), dann ist die Verschiebungsdichte an jeder Stelle der Oberfläche dieser gedachten Kugel, also auch an der betrachteten Stelle
=\frac{Q}{4\pi r_1^2})
mit (s.o.)
=\frac{D(r)\cdot 4\pi r^2}{4\pi r_1^2}=D(r)\cdot\frac{r^2}{r_1^2})
In der vorliegenden Aufgabe ist D(r) gegeben, ebenso r und r1. Also lässt sich D(r1) berechnen.
Wenn sich nun an der Stelle r1 eine relativ kleine Plattenfläche befindet, dann ist die Verschiebungsdichte auf dieser Platte näherungsweise konstant. Näherungsweise deshalb, weil die Plattenfläche sich nicht an die Kugeloberfläche anschmiegt, sondern eben ist. Deshalb wurde ja auch nicht nach der genauen Ladungsanzeige, sondern nach der näherungsweisen Ladungsanzeige gefragt. |
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Christopher231231
Gast
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| Christopher231231 Verfasst am: 21. Okt 2019 19:45 Titel: Aufgabe |
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Danke, die Herleitung mit den Kurvenintegralen bringt mehr Klarheit.  |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. Okt 2019 19:52 Titel: |
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Wo gibt's denn hier Kurvenintegrale, und dann auch noch in der Mehrzahl? Hier gibt es ein einziges Flächenintegral, und zwar über eine geschlossene Hüllfläche, die die Ladung Q einschließt. |
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Christopher231231
Gast
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| Christopher231231 Verfasst am: 21. Okt 2019 19:53 Titel: Aufgabe |
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Sorry, meinte Ringintegral!!! LG  |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 21. Okt 2019 20:01 Titel: Re: Aufgabe |
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| Christopher231231 hat Folgendes geschrieben: | | Sorry, meinte Ringintegral!!! LG :schlaefer: |
Das ist auch kein Ringintegral. Ein Ringintegral ist ein Integral entlang einer geschlossenen Linie. Hier handelt es sich aber um ein Flächenintegral, und zwar ein Hüllflächenintegral, also ein Integral über eine geschlossene Fläche.
(Nun dämmert mir, dass Du tatsächlich noch nie vom Gaußschen Flusssatz gehört hast und auch nichts damit anfangen kannst) |
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