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Nachricht |
Branch
Gast
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 Branch Verfasst am: 08. Jun 2016 18:29 Titel: Feld und Potential eines homogen geladenen Stabs |
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Meine Frage:
Gegeben ist ein unendlich langer Stab mit Radius R und Raumladungsdichte  in C/m^3
Zu berechnen ist: Das elektrische Feld und Potential, a) außerhalb und b) innerhalb des Stabs.
Meine Ideen:
a) Ich hab den Satz von Gauß gewählt um das Feld zu berechnen und daraus das Potential zu integrieren.
Der Gesamtfluss ist Fluss durch Mantelfläche + Fluss durch Endflächen, wobei der Fluss durch die Endflächen Null ist. (geht aus der symetrie des Problems hervor)
Es gilt: 
daher: 
daraus ergibt sich als äußeres elektrsiches Feld
 = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r} ) , für r>R
Erste frage: Das elektrische feld nimmt idF mit 1/r ab, statt 1/r^2, ist das richtig?
Als Potential würde sich dann eine logarithmische Abhängigkeit vom Abstand ergeben (weil 1/r dr integriert ja ln(r) ist). Das kommt mir etwas seltsam vor.
b) für r<R gilt für die eingeschlossene Ladung:
 )
Satz von Gauß wie zuvor angewandt, ergibt dann
 = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0} * Q )
was dann von r unabhängig wäre und ein konstantes Feld innerhalb des Stabs bedeutet. Meine Frage wieder, ist das richtig? Ich hätte in Erinnerung, dass das Feld innerhalb eines Leiters (und ist der homogen geladene Stab nicht genau das) gleich 0 ist, im elektrostatischen Fall?
Für das Potential dann integriert ergibt sich daraus eine lineare proportionalität zum Abstand r (<R), dh es steigt von der Mitte nach außen hin an.
die vollständige Lösung fürs Innenpotential ist bei mir:
 = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0} * Q * [\frac{r}{R} + \frac{ln(R)}{R^2}+1] )
Falls jemand einen Hinweis zu diesem Beispiel, oder eine ausführliche Lösung hat, wäre Ich sehr Dankbar. Ich hab im Internet (Die Resourcen meiner Uni, Studenten und google) leider nichts zu diesem speziellen Problem gefunden |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 09. Jun 2016 02:34 Titel: Re: Elektrostatik: Feld und Potential eines homogen geladene |
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| Branch hat Folgendes geschrieben: | | ...wobei der Fluss durch die Endflächen Null ist. (geht aus der symetrie des Problems hervor) |
Die Begründung ist falsch. Ein unendlich langer Stab, wie er in der Aufgabenstellung gegeben ist, hat keine Endflächen.
| Branch hat Folgendes geschrieben: | ...
Es gilt:
daher: |
Wo kommt denn jetzt plötzlich die Flächenladungsdichte  her?
| Branch hat Folgendes geschrieben: | daraus ergibt sich als äußeres elektrsiches Feld
, für r>R |
Das stimmt schon dimensionsmäßig nicht. Außerdem, wenn Du im Ergebnis schon eine Ladung Q verwendest, die gar nicht gegeben ist, musst Du auch eine Stablänge angeben. Die ist laut Aufgabenstellung unendlich groß. Wie groß ist die Gesamtladung in einem unendlich langen Stab mit konstanter Raumladungsdichte? Für die Berechnung solltest Du allerdings zunächst einen Ausschnitt der Länge l aus dem unendlich langen Stab betrachten. Du wirst sehen, dass sich die Länge wieder rauskürzt.
| Branch hat Folgendes geschrieben: | | Erste frage: Das elektrische feld nimmt idF mit 1/r ab, statt 1/r^2, ist das richtig? |
Ja, so ist das immer im zylindersymmetrischen Feld.
| Branch hat Folgendes geschrieben: | | Als Potential würde sich dann eine logarithmische Abhängigkeit vom Abstand ergeben (weil 1/r dr integriert ja ln(r) ist). Das kommt mir etwas seltsam vor. |
Ist aber richtig. Allerdings musst Du ein Nullpotential festlegen, das nicht im Unendlichen liegt. Denn im zylindersymmetrischen Feld verschwindet das Potential im Unendlichen nicht, wie Du leicht an der Logarithmusfunktion sehen kannst.
| Branch hat Folgendes geschrieben: | b) für r<R gilt für die eingeschlossene Ladung:
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Nein, das ist nicht richtig. Denn der Radius geht quadratisch in das Zylindervolumen ein.
| Branch hat Folgendes geschrieben: | Satz von Gauß wie zuvor angewandt, ergibt dann
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Auch das stimmt dimensionsmäßig nicht. Außerdem schließt die zylindrische Integrationsfläche bei unterschiedlichen Radien nicht dieselbe Ladung ein, schon gar nicht die Gesamtladung. Die ist übrigens, wie bereits erwähnt, gar nicht gegeben, sondern die Raumladungsdichte ist gegeben. In allen Ergebnissen dürfen aber nur die gegebenen Größen vorkommen.
| Branch hat Folgendes geschrieben: | | ...was dann von r unabhängig wäre und ein konstantes Feld innerhalb des Stabs bedeutet. Meine Frage wieder, ist das richtig? |
Nein, natürlich nicht (s.o.).
| Branch hat Folgendes geschrieben: | | Ich hätte in Erinnerung, dass das Feld innerhalb eines Leiters (und ist der homogen geladene Stab nicht genau das) gleich 0 ist, im elektrostatischen Fall? |
Hier handelt es sich aber nicht um einen Leiter, sondern um einen Nichtleiter. Wie sonst sollte er eine konstante Raumladungsdichte enthalten?
| Branch hat Folgendes geschrieben: | ...
die vollständige Lösung fürs Innenpotential ist bei mir:
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Nein, das stimmt hinten und vorn nicht. Von einer dimensionsbehafteten Größe lässt sich kein Logarithmus bilden. Mal ganz abgesehen von den sonstigen Dimensions- und Vorzeichenfehlern. Eines sollte doch wenigstens grundsätzlich klar sein: Das Potential nimmt in Feldrichtung, also mit zunehmendem Radius r ab. |
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Branch
Gast
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| Branch Verfasst am: 10. Jun 2016 16:54 Titel: |
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Vielen Dank für die Ausführliche Antwort! Ich werde das Beispeil bei Zeiten nochmal ganz durchrechnen und deine Hinweise beachten |
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Branch2
Anmeldungsdatum: 15.06.2016
Beiträge: 11
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| Branch2 Verfasst am: 16. Jun 2016 14:21 Titel: Re: Elektrostatik: Feld und Potential eines homogen geladene |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Branch hat Folgendes geschrieben: | | ...wobei der Fluss durch die Endflächen Null ist. (geht aus der symetrie des Problems hervor) |
Die Begründung ist falsch. Ein unendlich langer Stab, wie er in der Aufgabenstellung gegeben ist, hat keine Endflächen. |
Der Stab natürlich nicht, aber der Abschnitt des Stabs den ich mit einer Gauß'schen Fläche für das Flussintegral betrachte schon. Da hab ich mich wohl undeutlich ausgedrückt.
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Wo kommt denn jetzt plötzlich die Flächenladungsdichte her? |
Völliger Denkfehler. Da muss natürlich die Raumladung über den Raum integriert stehen, damit das wieder mit dem Gauß'schen gesetzt zusammenpasst. (fluss=ladung/diel.konst)
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
| Branch hat Folgendes geschrieben: | daraus ergibt sich als äußeres elektrsiches Feld
, für r>R |
Das stimmt schon dimensionsmäßig nicht. Außerdem, wenn Du im Ergebnis schon eine Ladung Q verwendest, die gar nicht gegeben ist, musst Du auch eine Stablänge angeben. Die ist laut Aufgabenstellung unendlich groß. Wie groß ist die Gesamtladung in einem unendlich langen Stab mit konstanter Raumladungsdichte? Für die Berechnung solltest Du allerdings zunächst einen Ausschnitt der Länge l aus dem unendlich langen Stab betrachten. Du wirst sehen, dass sich die Länge wieder rauskürzt.
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Der dimensionstip war Gold wert, das hat mir sehr geholfen das ganze schlussendlich doch noch richtig zu lösen, Danke!
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings musst Du ein Nullpotential festlegen, das nicht im Unendlichen liegt. Denn im zylindersymmetrischen Feld verschwindet das Potential im Unendlichen nicht, wie Du leicht an der Logarithmusfunktion sehen kannst. |
Hat mir auch sehr geholfen, ich hab das Nullpotential schlussendlich an der Oberfläche gewählt weil sich das endergebnis mit Konstante im Potential dann elegant anschreiben lässt.
Habe am schluss dann das richtige rausbekommen, aus bequemlichkeit schreib ichs nichtmehr mit Latex Formeln an, aber es deckt sich mit dem was in der Literatur steht (zb hier)
Nochmals: Vielen herzlichen Dank für deine Anregungen, das hat mir sehr geholfen das ganze elektrische Feld und Potential besser zu verstehen! Ich habs dann sogar geschafft das ganze für ein komplizierteres Problem (2 koaxiale Hohlzylinder mit versch. Flächenladungen) dimensionsrichtig zu lösen. |
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