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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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 Corbi Verfasst am: 24. Jul 2019 11:02 Titel: Warum muss die Wellenfunktion komplex sein? |
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Warum ist es notwendig, dass die Wellenfunktion (oder der Zustandsvektor) im allgemeinen komplex sein müssen?
Das einzige was mir einfallen würde, ist das eine rein reelle Wellengleichung die Einsteinbeziehung E=hf nicht erfüllen könnte. (da eine zweite zeitliche Ableitung notwendig wäre und somit Wurzel(E)=hf gelten müsste)
Welche Gründe hat es sonst noch?
Dass sich bei der Superposition sowohl Phase als auch Amplitude addieren lassen, während man bei einer reellen Wellenfunktion immer nur die Amplitude addieren kann? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 24. Jul 2019 11:24 Titel: Re: Warum muss die Wellenfunktion komplex sein? |
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Komplexe Funktionen werden bei verschiedenen Fragen der klassischen Physik angewendet. Einen sachlich / zwangsläufigen Grund dafür gibt es nicht. Aber: Die praktische Rechnerei vereinfacht sich damit (gegenüber der Nutzung von Winkelfunktionen) enorm und ergibt sich bei der Lösung quasi automatisch. Man muß nur beachten, daß den Größen die Realteile entsprechen (und bei der Multiplikation oder Durchschnittwerten aufpassen).
Auch die Phasenbeziehungen bei Überlagerung kann man mit den reellen Winkelfunktionen behandeln; kleine Übung der Additionstheoreme und so. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 27. Jul 2019 09:26 Titel: |
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ok dann sollte ich vielleicht eher so fragen:
Warum ist die Schrödingergleichung des freien Teilchens so konstruiert, dass sie nur komplexe Lösungen zulässt? |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 28. Jul 2019 00:54 Titel: |
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Die "Herleitung" der Freien Schrödingergleichung geht von den Maxwellgleichungen / elektromagnetischen Wellen aus und kommt in nichtrelativister Näherung zu der bekannten / komplexen Darstellung (siehe Fließbach, Kap. 2). Alternativen? Keine Ahnung. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18058
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| TomS Verfasst am: 30. Jul 2019 08:06 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Warum ist die Schrödingergleichung des freien Teilchens so konstruiert, dass sie nur komplexe Lösungen zulässt? |
So ist das nicht.
Die Schrödingergleichung ist so konstruiert, dass der für freie Teilchen gültige Zusammenhang
auf Ebene der Operatoren erhalten bleibt:
Aufgrund der Translationssymmetrie vertauscht der Impuls mit dem Hamiltonian und stellt eine Erhaltungsgröße dar. Demnach können Lösungen der Schrödingergleichung
\,\psi_{E,p} = 0)
gefunden werden, die gemeinsame Eigenfunktionen zu Energie E und Impuls p darstellen, und für die die o.g. Relation gültig ist. Beim Lösen der Schrödingergleichung in der Ortsdarstellung stellt man fest, dass diese ebenen Wellen gerade den komplexen e-Funktionen
 \sim \exp[ipx])
entsprechen.
Die Tatsache, dass diese Lösungen resultieren, ist nicht Bestandteil der Konstruktion.
Gegenbeispiel:
Wir betrachten den selben Hamiltonian, jedoch auf dem Halbraum
mit der Randbedingung für eine bei x = 0 einseitig eingespannte Seite, d.h.
Damit ist die Translationssymmetrie in x gebrochen, insbs. ist der Translationsoperator
für dieses System nicht mehr vernünftig definiert; anschaulich gesprochen würde er einen Bereich mit nicht-verschwindender Wellenfunktion für x > 0 nach x < 0 verschieben können; dabei würde er die Form der Wellenfunktion natürlich nicht ändern. Das ist allerdings nicht zulässig, da diese ja für x < 0 verschwinden muss.
Demzufolge muss der Ansatz, dass die Lösungen der Schrödingergleichung gleichzeitig Eigenfunktionen zum Impulsoperator sind, aufgegeben werden. Man erhält logischerweise
 \sim \sin px )
während die entsprechenden Lösungen mit cos aufgrund der Randbedingungen verboten sind.
Demzufolge ist
 \sim p\,\cos px)
Die Tatsache, dass hier reelle Lösungen auftreten müssen, ist also in den speziellen Eigenschaften des betrachteten Systems begründet, nicht in der Schrödingergleichung an sich; diese hat immer die selbe Form und weiß noch nichts über reelle und komplexe Lösungen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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