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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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 Physiker_710 Verfasst am: 20. Apr 2019 16:58 Titel: Gravitationsgesetz - Fallbeschleunigung |
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Meine Frage:
Bestimme die exakte Fallbeschleunigung auf der Erde am Äquator, Nordpol, in Hamburg unter Berücksichtigung der Erdrotation. Die Erde darf als Kugel (r=6370km) angesehen werden.
Meine Ideen:
Das mit der Erdrotation ist mir bisschen klar geworden, so ist die Geschwindigkeit der Erde am Äquator und am Nordpol unterschiedlich, da unterschiedlich lange Strecken zurückgelegt werden müssen. Leider weiß ich nicht mit welchem Ansatz ich die Fallbeschleunigung berechnen soll. In der Formel des Gravitationsgesetztes kommt kein v vor aber in der Formel der zentripetal/fugalkraft kommt sie vor!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 20. Apr 2019 17:11 Titel: |
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Die Fallbeschleunigung ist die Summe aus der Gravitationsbeschleunigung sowie der Beschleunigung durch die Rotation.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 20. Apr 2019 19:40 Titel: |
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Frr
Zuletzt bearbeitet von Physiker_710 am 24. Apr 2019 21:58, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Apr 2019 23:08 Titel: |
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Die erste Formel solltest du dir nochmal genau anschauen; in a = ... ist ein kleiner Fehler drin.
Für die zweite Formel benötigst du die Bahngeschwindigkeit; die Beschleunigung erhältst du als deren Ableitung nach der Zeit.
In allen Fällen musst du mit Vektoren rechnen.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. Apr 2019 23:38 Titel: |
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Hallo TomS!
| Zitat: | |
Die Formulierung "exakte" Fallbeschleunigung oben provoziert natürlich den spitzfindigen Hinweis, daß diese nicht mehr zum Erdmittelpunkt gerichtet ist (von anderen Finessen wie der Form des Erdkörpers oder den Gezeiten ganz abgesehen).
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 20. Apr 2019 23:51 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | |
Die Formulierung "exakte" Fallbeschleunigung oben provoziert natürlich den spitzfindigen Hinweis, daß diese nicht mehr zum Erdmittelpunkt gerichtet ist |
Ja, denn die Aufgabe lautet ...
| Physiker_710 hat Folgendes geschrieben: | | ... bestimme die exakte Fallbeschleunigung auf der Erde am Äquator, Nordpol, in Hamburg unter Berücksichtigung der Erdrotation. |
Dazu muss man den Vektorcharakter ja irgendwie berücksichtigen.
| franz hat Folgendes geschrieben: | | von anderen Finessen wie der Form des Erdkörpers oder den Gezeiten ganz abgesehen |
Das kann wohl vernachlässigt werden, denn ...
| Physiker_710 hat Folgendes geschrieben: | | ... die Erde darf als Kugel angesehen werden. |
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 21. Apr 2019 00:24 Titel: |
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Ahhh
Zuletzt bearbeitet von Physiker_710 am 24. Apr 2019 21:59, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2019 00:43 Titel: |
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| Physiker_710 hat Folgendes geschrieben: | | also wäre dann a=G*m1/r^2? |
Wenn mit m1 die Masse der Erde gemeint ist, ja.
| Physiker_710 hat Folgendes geschrieben: | | Für die Bahngeschwindigkeit am Äquator hatte ich 644 m/s raus, wie kann ich nun ableiten um die Beschleunigung rauszukriegen? |
Indem du die Bahngeschwindigkeit als allgemeine Formel darstellst.
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 21. Apr 2019 01:22 Titel: |
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wäre das nicht v=s/t ?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2019 10:05 Titel: |
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Also ganz von vorne: der Ortsvektor r(t) eines Punktes, der mit Abstand R und Winkelgeschwindigkeit omega um eine Achse rotiert, wird beschrieben durch
 = R_\alpha \begin{pmatrix} \cos\omega t \\ \sin\omega t \end{pmatrix} )
Durch ein- bzw. zweimaliges Ableiten erhältst du Bahngeschwindigkeit sowie -beschleunigung. Außerdem kannst du recht einfach den Betrag berechnen.
Im Falle der hier gegebenen Aufgabe hängt der Abstand R noch von der geographischen Breite ab.
Außerdem weist der Vektor der Gravitationsbeschleunigung von jedem Punkt der Erdoberfläche radial zum Zentrum der Erde, während die Beschleunigung aufgrund der Rotation in der Rotationsebene liegt und senkrecht von der Erdachse weg weist.
Du kannst also nicht einfach skalar addieren sondern musst dir überlegen, wie du mit den Vektoren umgehst. Am besten machst du mal eine Skizze.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Apr 2019 22:24, insgesamt einmal bearbeitet |
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ML
Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3388
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| ML Verfasst am: 21. Apr 2019 10:42 Titel: |
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Hallo,
| Physiker_710 hat Folgendes geschrieben: | Ahhh also wäre dann a=G*m1/r^2?
Für die Bahngeschwindigkeit am Äquator hatte ich 644 m/s raus, wie kann ich nun ableiten um die Beschleunigung rauszukriegen? |
Die Bahngeschwindigkeit am Äquator ergibt:
wobei  der Erdradius am Äquator ist (bei Dir also der normale Erdradius) und  die Länge eines siderischen Tages, sprich: 23 Stunden und 56 Minuten.
https://de.wikipedia.org/wiki/Siderischer_Tag
Schau Dir nochmal Deinen Zahlenwert an. Ich bekomme was anderes raus.
Wenn Du hier unter dem Stichwort "Zentrifugalbeschleunigung" nachschaust, findest Du:
wobei  der Abstand zur Rotationsachse ist. Das ist am Äquator gerade der Erdradius, an anderen Orten aber weniger. Damit bekommst Du den Betrag der Zentrifugalbeschleunigung heraus. Mit dem Weg von TomS verstehst Du auch noch, wie das alles zusammenhängt.
Viele Grüße
Michael
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 21. Apr 2019 11:55 Titel: |
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Also muss ich r(t)=R*(cos(wt)/sin(wt)) ableiten um die Geschwindigkeit bzw Dir Beschleunigung zu kriegen.
Wie leite ich beide Gleichungen ab das sieht etwas kompliziert aus, da da Cos/sin steht?
2. Frage: am Nordpol beträgt die geographische breite 90 grad soll ich dann sin(90) und cos (90) eingeben weil in der Formel steht w*t und kein alpha?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2019 12:12 Titel: |
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Ja, du musst beide Komponenten nach t ableiten.
Die beiden Komponenten beschreiben die Rotation in der Rotationsebene. Die geographische Breite alpha steckt - wie ich oben erwähnt habe - im Abstand R. Für diesen gilt
Ohne Zeichnung und selbständiges Bemühen wirst du nicht weiterkommen.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Apr 2019 22:24, insgesamt einmal bearbeitet |
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 21. Apr 2019 12:28 Titel: |
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Für den Nordpol aber ist ja der breitengrad 90 grad wenn ich das nun in die Formel R=cos(90grad)*r Erde einsetzte dann kommt da 0 raus weil der cos(90) ja 0 ist das würde heißen das es am Nordpol keine Bahngeschwindigkeit gibt oder?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 21. Apr 2019 13:16 Titel: |
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Ja.
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 15:20 Titel: |
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Moin, lange nicht mehr gemeldet!
Ich habe mich nochmal an die Aufgabe angesetzt und bin folgender Maßen rangegangen!
g=g(Gravitation)+g(rotation)
g(Gravitation)=G*(m1/r^2)
g(Rotation)=v^2/r
Auf die rotationsbeschleunigung bin ich gekommen, da man die Formel für die Zentrifugalkraft kennt die immer nach außen gerichtet ist und die lautet Fzp=m*(v^2/r). Nach Newton 2 gilt dass F=m*a ist so resultiert die Beschleunigung a =v^2/r!
Die Gravitationsbeschleunigung habe ich nun für alle Orte berechnet, da kommt g(Gravitation)=9,81785 raus.
Das einzige schwierige ist nun das g(Rotation), da diese ja von der Geschwindigkeit v abhängt, diese kann man aber berechnen, wenn man mit v=(2pi*r)/d(siderisch) fortfährt! den Radius für den jeweiligen Ort wo wir uns befinden rechne ich mit R=r(Erde)*cos(Alpha) aus!
Die Frage die sich nun mir aber stellt
1) muss ich den Betrag der Beschleunigung (rotation) nicht vom Betrag der Beschleunigung (Geschwindigkeit) ABZIEHEN?
2) für v kommt bei mir am Nordpol v=0 raus dementsprechend gibt es auch keine Rotationsbeschleunigung und dann wäre ja die Beschleunigung auf dem Nordpol gleich den Wert den ich ja vorhin gennant habe also g(Nordpol)=9,81775?
Ich bitte um schnelle Hilfe da ich die Aufgabe bis morgen beenden muss!
Die Geschichte mit dem ableiten habe ich mich nicht beschäftigt das ich den unkompliziersten und schnellsten weg benutzten wollte!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2019 15:26 Titel: |
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| Physiker_710 hat Folgendes geschrieben: | | muss ich den Betrag der Beschleunigung (rotation) nicht vom Betrag der Beschleunigung (Geschwindigkeit) ABZIEHEN? |
Du musst - wie bereits mehrfach angesprochen- mit Vektoren rechnen! Die Gravitations- und die Zentrifugalkraft sind nicht parallel, daher kannst du nicht einfach mit den Beträgen arbeiten (außer am Äquator und am Pol)
| Physiker_710 hat Folgendes geschrieben: |
2) für v kommt bei mir am Nordpol v=0 raus ... |
Ja.
| Physiker_710 hat Folgendes geschrieben: | | Die Geschichte mit dem ableiten habe ich mich nicht beschäftigt das ich den unkompliziersten und schnellsten weg benutzten wollte! |
Solltest dir anschauen, um das zu verstehen, und um die Vektoren zu berechnen.
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Physiker_710
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 16:13 Titel: |
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Also, das heißt für den Pol und für den Äquator kann ich mit den Beträgen ganz normal rechnen, so wie ich es gemacht habe, dann kommt bei Nordpol: g=9,81 raus und bei Äquator g=9,78.
Für den Fall Hamburg muss ich also mit Vektoren rechnen?
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 16:16 Titel: |
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mein Ansatz für den fall Hamburg(mithilfe der Skizze die du geschickt hattest) wenn man beide Vektoren (aG und az) addiert so kommt der Vektor für g raus, wäre dass richtig?
Könntet du mir zur erklären, wie man die Vektoren für aG und aZ aufstellen kann, ich bin da etwas unsicher. Ich weiß aber dass bei az einen Ortsvektor braucht der dem Radius (6370km) entsprechen müsste?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2019 16:33 Titel: |
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Du solltest die Skizze selbst erstellen, sonst bringt das nichts.
Ich bin erst wieder abends online.
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Physiker_710
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 16:44 Titel: |
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Ich habe diese Skizze angelegt und versucht die Gedankengänge nachvollziehen zu können!
Um den Vektor aZF zu bestimmen würde ich doch einen Ortsvektor nehmen (Radius) und diesen einen richtungsvektor der aZF entsprechen würde hinzufügen.
Um den Vektor aG zu bestimmen würde ich lediglich einen Ordtsvektor nehmen der dem Radius entspricht und das Vorzeichen ändern da der Vektor ja in die andere Richtung zeigt.
Eine Frage hatte ich noch: du meintest am Nordpol und am Äquoator kann man das wie ich es beschrieben hatte berechnen weil das parallel ist, kannst du dir meine Skizze angucken meinst du so parallel?
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Physiker_710
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 16:45 Titel: |
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Ok, wv Uhr abends denn ungefähr? Ich muss diese Aufgabe morgen früh vorstellen stehe deshalb in Zeitdruck würde mich freuen wenn ich das heute Abend verstehen werde!
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2019 16:58 Titel: |
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Ca. 22:00
Zu den Skizzen: die Gravitationskraft wirkt senkrecht zur Oberfläche in Richtung Mittelpunkt; die Zentrifugalkraft wirkt senkrecht zur Drehachse.
Sinnvollerweise betrachtest du nur die Komponente der Zentrifugalkraft senkrecht zur Oberfläche, d.h. du zerlegst die Zentrifugalkraft in einen Anteil parallel (sowie einen senkrecht) zur Gravitationskraft; zuletzt subtrahierst du den Betrag dieser Komponente vom Betrag der Gravitationskraft.
EDIT: aus der graphischen Kräftezerlegung geht der anzuwendende Winkel hervor; außerdem erkennt man, dass du die Vektoren vernünftig betrachtet hast.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 24. Apr 2019 18:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 18:06 Titel: |
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Aber der gesamte Vektor bzw. der Pfeil der zentrifugalkraft steht doch senkrecht auf der Oberfläche?
Kannst du mir das einmal komplett erklären, ich denke dass ich es dann besser verstehen kann, wenn ich die Zusammenhänge selbst miteinander verknüpfen kann. Das Aufstellen der Vektoren miteinbegriffen?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2019 18:46 Titel: |
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Was genau verstehst du nicht? Ich habe doch alles beschrieben.
Ich denke, deine Skizze ist auch OK; du musst noch die Winkel einzeichnen.
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Physiker_710
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 21:47 Titel: |
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Du hast ja gesagt dass ich die Faölbeschleunigung von Hamburg heraus kriege wenn ich die beiden Vektoren miteinander addiere. Ich habe die Skizze verstanden und weiß nun auch wieso der R=r(Erde)*cos(a) den Winkel Alpha den du bei deiner Skizze hattest findet man auch noch woanders an.
Jedoch hast du ja gesagt dass man den Ortsvektor 2x ableiten müsste. Deshalb wollte ich fragen, ob du vllt diese beiden benötigten Vektoren mir zeigen könntest mit deren erster und zweiter Ableitung, damit ich mir das in Ruhe ansehen kann und notieren kann.
Wie gesagt ist leider schon morgen früh meine Präsi und ich sitze seit Sonntag daran und frage deshalb nach dem kompletten Rechenfehler, da ich den dann versuchen kann nachvollziehen weil das weniger Zeit kostet. Ich würde auch das gerne schritt für schritt machen aber das dauert bissche und diese Zeit habe ich nicht.
Ich würde mich freuen wenn du den kompletten Rechenweg zur Berechnung der Fallbeschleunigung in Hamburg schicken könntest und ich Dir dann nachfragen zu den einzelnen Schritten stellen könnte. Bis hierhin aber vorab schönmal ein dickes Danke, dass du mich so weit gebracht hast!!! 😁✌️
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 22:20 Titel: |
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Edit komme um 23 Uhr nochmal on wenn du was reinschreiben solltest!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2019 23:02 Titel: |
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gleich
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 23:04 Titel: |
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ok, bin aufjedenfall wach!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 24. Apr 2019 23:13 Titel: |
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Die Gravitation führt zu
(ich betrachte einen festen Punkt mit y-Koordinate = Null)
Die Rotation folgt aus
 = R_\alpha \begin{pmatrix} \cos\omega t \\ \sin\omega t \\ \text{const.} \end{pmatrix} )
(die Rotation erfolgt in der xy-Ebene um die z-Achse; z ist konstant)
Zweimaliges Ableiten:
 = - R_\alpha \omega^2 \begin{pmatrix} \cos\omega t \\ \sin\omega t \\ 0 \end{pmatrix} = - R_0 \omega^2 \cos\alpha \begin{pmatrix} \cos\omega t \\ \sin\omega t \\ 0 \end{pmatrix} = - g_{\text{rot}} \begin{pmatrix} \cos\omega t \\ \sin\omega t \\ 0 \end{pmatrix} )
Betrachtet am selben Punkt mit y = 0:
(irgendein Vorzeichen passt nicht)
Betrag der gravitativen Beschleunigung
Zur Gravitation parallele || Komponente der Rotation durch Projektion auf die Richtung der Gravitation
Subtrahieren - fertig
Herleitung aus der Zeichnung muss natürlich das selbe ergeben.
NACHRECHNEN - OHNE GEWÄHR
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 24. Apr 2019 23:29 Titel: |
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Ok, ich habe alles verstanden außer 2Punkt
1) kannst du erklären, wie du auf den erstgenannten Vektor (cos(Alpha)/0/sin(Alpha)) kommst?
2) mit parallel hast du ja gemeint meinst du die Komponente der zentrifugalkraft die senkrecht auf der Oberfläche also dem vierteilkreis in der Skizze steht oder?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 25. Apr 2019 00:14 Titel: |
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Ich betrachte die Erde aus der Äquatorebene = der xy-Ebene.
Zu 1) Das ist der Einheitsvektor, der vom Mittelpunkt zum betrachteten Punkt weist und entlang dessen die Gravitationskraft wirkt.
Zu 2) Senkrecht zur Oberfläche = parallel zur Gravitationskraft = parallel zum Vektor aus 1)
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Physiker_710
Anmeldungsdatum: 09.10.2018
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| Physiker_710 Verfasst am: 25. Apr 2019 00:29 Titel: |
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Ok, vielen Dank für die Antwort. De allerletzte verständnisfrage. Habe alles verstanden aber was ist im allerletzten schritt dieses egrav mit dem Dach darüber, wie spricht man das aus?
Vielen Dank für deine Hilfe du hast mir wirklich sehr sehr sehr sehr geholfen! Hoffentlich läuft morgen dein präsi auch so glatt danke dir, aufjedenfall für alles!!!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 25. Apr 2019 00:49 Titel: |
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e-dach oder hat-e ist der rechte Einheitsvektor, auf den ich projiziere
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