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Maximale Weite eines Skispringers berechnen
 
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Harald1414
Gast





Beitrag Harald1414 Verfasst am: 06. Apr 2019 11:51    Titel: Maximale Weite eines Skispringers berechnen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ein Skispringer fährt eine Schanze herunter und springt am Ende der Schanze mit einer Geschwindigkeit v0 ab. Er springt in einem Winkel alpha nach oben, heißt, es gibt eine x und y Komponente ungleich 0 in der Geschwindigkeit.
Am Ende der Schanze, wo er abspringt, beginnt die Landebahn, die in einem Winkel phi sinkt. Heißt, würde man am Absprungort eine waagerechte Linie weiterziehen, wäre der Winkel zwischen dieser Linie und der Landebahn phi.
Der tan(phi) = 0.6 ist gegeben.
Frage: Was ist die maximale Reichweite, die der Skispringer in x-Richtung springen kann?

Meine Ideen:
Erstmal weiß ich:
vx0 = vx = v0 * cos(alpha)
vy0 = v0 * sin(alpha)

Damit weiß ich:
x = v0 * cos(alpha) * t
y = v0 * sin(alpha) * t + 1/2 * g * t^2

Überlegung:
Wenn der Skispringer auf der Landebahn landet zum Zeitpunkt t' landet, dann ist
seine Reichweite in der x-Ebene = x(t') und die Strecke die er in y-Richtung gefallen ist = y(t').
Das heißt, ich kann ein rechtwinkliges Dreieck bilden, so dass die Hypothenuse gleich der Landebahn ist, und in x-Richtung den Wert x(t') hat und in y-Richtung den Wert y(t') und der Winkel zwischen x Achse und Hypothenuse ist immer noch phi.
Dann weiß ich:



<==>



Nun haben wir die Zeit t von alpha abhängig bestimmt.

Das setzen wir in x(t) ein um x in Abhängigkeit von alpha zu bestimmen:



In der Aufgabe stand noch drin, dass sich die Gleichungen:


und

als nützlich erweisen könnten.

Dann hätten wir:


Das wäre ja dann maximal, wenn cos^2 = 1 und sin(2x) = 0, also wenn alpha = 0.

Ich bin mir nicht sicher ob das so stimmen kann.

Zum einen könnte es Sinn ergeben, da je größer alpha wird, umso weniger Energie in die kinetische Energie in x-Richtung umgewandelt wird.
Allerdings wird durch ein größeres alpha ja auch der Landezeitpunkt verzögert, was auch für eine größere Reichweite sprechen könnte.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
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Beitrag Mathefix Verfasst am: 06. Apr 2019 14:19    Titel: Antworten mit Zitat

Du suchst den Absprungwinkel, bei dem die maximale Weite erzielt wird, oder?

Deine Formel x = ... stimmt dimensionsmässig nicht.

Ich glaube der einfachste Weg ist, das Koordinatensystem (x,y) durch Drehung um den Winkel phi in das Koordinatensystem (x',y')zu transformieren.

Mit x', y' den normalen schiefen Wurf rechnen.
Der Absprungwinkel ist gamma = alpha +phi.


Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 06. Apr 2019 15:15, insgesamt 2-mal bearbeitet
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 06. Apr 2019 15:12    Titel: Re: Maximale Weite eines Skispringers berechnen Antworten mit Zitat

Was heißt "maximal"? Welche Größe kann beeinflußt werden?

Davon abgesehen, warum nicht den Schnittpunkt der Wurfparabel mit der Schanzengerade ausrechnen, eine quadratische Gleichung in x?


Zuletzt bearbeitet von franz am 06. Apr 2019 23:43, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Apr 2019 15:17    Titel: Antworten mit Zitat

Ich schlage folgenden Ansatz vor:

Skispringer





Auslauf





Gleichsetzen der x- und y-Komponenten, dann Eliminieren von t:



Einsetzen in die y-Gleichung



mit



Das ist eine quadratische Gleichung in s. Eine Lösung ist trivialerweise s = 0; das entspricht dem Absprungpunkt. Die zweite Lösung für s folgt durch Ausklammern bzw. Kürzen von s. s entspricht der Sprunglänge gemessen entlang des schrägen Auslaufs.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Mathefix



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Beitrag Mathefix Verfasst am: 06. Apr 2019 18:45    Titel: Antworten mit Zitat

Bei horizontaler Landebahn beträgt der Absprungwinkel, der zur maximalen Reichweite führt 45°.

Im Fall der geneigten Landebahn schätze ich ca. 35°.
franz



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Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 06. Apr 2019 23:52    Titel: Antworten mit Zitat

Guten Abend Mathefix!

Zitat:
Bei horizontaler Landebahn beträgt der Absprungwinkel, der zur maximalen Reichweite führt 45°.

Theoretisch schon, bei rund 100 km/h aber wohl eher Phantasie. Ich vermute, daß man schlicht in der Verlängerung des Schanzentisches abspringt (und versucht lebend anzukommen). Deshalb meine Frage oben.
Mathefix



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Beitrag Mathefix Verfasst am: 07. Apr 2019 19:01    Titel: Antworten mit Zitat

franz hat Folgendes geschrieben:
Guten Abend Mathefix!

Zitat:
Bei horizontaler Landebahn beträgt der Absprungwinkel, der zur maximalen Reichweite führt 45°.

Theoretisch schon, bei rund 100 km/h aber wohl eher Phantasie. Ich vermute, daß man schlicht in der Verlängerung des Schanzentisches abspringt (und versucht lebend anzukommen). Deshalb meine Frage oben.


Hallo franz,

natürlich alles Theorie: Schiefer Wurf landet auf schiefer Ebene.

Habe meinen Ansatz über Koordinatentransformation und Deinen über Schnittpunkt Wurfparabel mit schiefer Ebene durchgerechnet. Beides führt zu dem Ergebnis ( mit Koordinatentransformation etwas einacher):





Myon



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Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 09. Apr 2019 18:19    Titel: Antworten mit Zitat

@Mathefix: Was verstehst Du hier unter „Koordinatentransformation“? Bei Deiner obigen Idee mit der Drehung des Koordinatensystems sehe ich nicht, wie das funktionieren soll. Die vertikale Richtung ist nun mal durch die Gravitationskraft ausgezeichnet.

Verwendet man den Ansatz von TomS und bestimmt anschliessend das Maximum von s durch Ableiten nach alpha, erhält man den oben angegebenen Winkel alpha für die maximale Reichweite (wobei dann phi positiv gewählt wurde bei sinkender Landebahn. Vereinfacht wird die Rechnung, wenn man die im ersten Beitrag angegebenen trigonometrischen Beziehungen benutzt).
Mathefix



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Beitrag Mathefix Verfasst am: 11. Apr 2019 10:21    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
@Mathefix: Was verstehst Du hier unter „Koordinatentransformation“? Bei Deiner obigen Idee mit der Drehung des Koordinatensystems sehe ich nicht, wie das funktionieren soll. Die vertikale Richtung ist nun mal durch die Gravitationskraft ausgezeichnet.


Im Koordinatensysten (x';y')

mit



und



erhält man



falls ich mich nicht verrechnet habe.


Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 11. Apr 2019 10:33, insgesamt einmal bearbeitet
Myon



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Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 11. Apr 2019 10:33    Titel: Antworten mit Zitat

Danke. Ich hab's heute morgen auch versucht, über eine Drehung der Koordinatenachsen nachzurechnen. Das führt auf die Gleichungen





und dann Maximierung von x', . Eigentlich wird dann die Rechnung tatsächlich relativ einfach, aber irgendwo muss ich mich verrechnet haben, ich komme so einfach nicht auf das gleiche Resultat. Es scheint irgendwo ein Faktor 2 zu fehlen. Schau's vielleicht später nochmals an, eigentlich müsste es doch aufgehen...
Mathefix



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Beitrag Mathefix Verfasst am: 11. Apr 2019 20:19    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Danke. Ich hab's heute morgen auch versucht, über eine Drehung der Koordinatenachsen nachzurechnen. Das führt auf die Gleichungen





und dann Maximierung von x', . Eigentlich wird dann die Rechnung tatsächlich relativ einfach, aber irgendwo muss ich mich verrechnet haben, ich komme so einfach nicht auf das gleiche Resultat. Es scheint irgendwo ein Faktor 2 zu fehlen. Schau's vielleicht später nochmals an, eigentlich müsste es doch aufgehen...


@Myon

Ich habe mit der Flugzeit t = 2 * Steigzeit gerechnet. Vllt. ist das der Faktor 2, der in Deiner REchnung fehlt.

Gruss

Jörg
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 12. Apr 2019 10:33    Titel: Antworten mit Zitat

Mathefix hat Folgendes geschrieben:
Ich habe mit der Flugzeit t = 2 * Steigzeit gerechnet.


Wie kommst Du denn da drauf? Der abfallende Ast der Parabel ist doch viel länger als der ansteigende. Das ändert sich auch nicht, wenn Du das Koordinatensystem drehst.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
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Beitrag Mathefix Verfasst am: 12. Apr 2019 11:01    Titel: Antworten mit Zitat

GvC hat Folgendes geschrieben:
Mathefix hat Folgendes geschrieben:
Ich habe mit der Flugzeit t = 2 * Steigzeit gerechnet.


Wie kommst Du denn da drauf? Der abfallende Ast der Parabel ist doch viel länger als der ansteigende. Das ändert sich auch nicht, wenn Du das Koordinatensystem drehst.


Ich meine doch, da durch die Drehung um phi die Wurfparabel im Koordinatensystem (x';y')symmetrisch wird.











Falls ich mich nicht verrechnet habe.
Myon



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Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 12. Apr 2019 12:41    Titel: Antworten mit Zitat

Mathefix hat Folgendes geschrieben:
Ich meine doch, da durch die Drehung um phi die Wurfparabel im Koordinatensystem (x';y')symmetrisch wird.

Nein, im x'/y'-System ist die Bahnkurve nicht achsensymmetrisch zu einer Achse parallel zur y-Achse. Das wäre ja auch eher seltsam, da in diesem System die Gewichtskraft nicht in y'-Richtung zeigt. Trotzdem komme ich dann auch auf diese Lösung

Zitat:


Hier liegt ja genau das Problem: dies ist der Winkel im System x'/y', und der Absprungwinkel im nichtgedrehten System ist dann .

Mit dem Ansatz von TomS, also






(phi wiederum positiv bei fallender Landepiste) folgt





und



Was nicht das Gleiche ist. Eigentlich wäre das ja nicht so wichtig, aber solche Sachen fuchsen mich etwas, denn es müsste sich doch derselbe Winkel ergeben...
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 12. Apr 2019 14:21    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Mathefix hat Folgendes geschrieben:
Ich meine doch, da durch die Drehung um phi die Wurfparabel im Koordinatensystem (x';y')symmetrisch wird.

Nein, im x'/y'-System ist die Bahnkurve nicht achsensymmetrisch zu einer Achse parallel zur y-Achse. Das wäre ja auch eher seltsam, da in diesem System die Gewichtskraft nicht in y'-Richtung zeigt.
....

Eigentlich wäre das ja nicht so wichtig, aber solche Sachen fuchsen mich etwas, denn es müsste sich doch derselbe Winkel ergeben...


Aber g* cos phi zeigt in Richtung y' und g *sin phi in x'-Richtung-

Eine Idee: Da es sich um ein Gefälle handelt, ist tan( phi) negativ.

Wenn ich dann noch den Absprungwinkel zwischen v_0 und x' = alpha' = alpha setze - sozusagen v_0 mitdrehe-, erhalte ich das gleiche Ergebnis wie TomS.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 12. Apr 2019 20:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab endlich den Grund für die scheinbare Diskrepanz gefunden. Es liegt an der Mehrdeutigkeit des arctan. Das hatte ich schon früher im Verdacht, aber ich hatte den Faktor 1/2 dabei nicht beachtet.

Den optimalen Winkel kann man noch einfacher schreiben, denn es gilt falls phi>0



Bei der Rechnung im gedrehten System ergibt sich mit dasselbe, wenn man die Mehrdeutigkeit berücksichtigt und beachtet, dass sein muss.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 12. Apr 2019 21:01    Titel: Antworten mit Zitat

Thumbs up!
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