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Trägheitsmoment einer Kugel - Scheiben
 
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ph5



Anmeldungsdatum: 27.06.2018
Beiträge: 63

Beitrag ph5 Verfasst am: 04. Feb 2019 07:03    Titel: Trägheitsmoment einer Kugel - Scheiben Antworten mit Zitat

Guten Morgen, ich soll das Trägheitsmoment einer Vollkugel berechnen. Dies soll ich so berechnen, als würde ich die Kugel in x viele Scheiben zerlegen. Habe 0 Ansätze, wie ich zur Lösung kommen soll.

Wäre über Ansätze sehr erfreut.
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 04. Feb 2019 10:14    Titel: Antworten mit Zitat

Der Mittelpunkt der Kugel mit Radius R liege im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Die Drehachse sei die y-Achse. Die Kugel besteht aus unendlich vielen Scheiben mit dem Radius x und der Dicke dy. Das differentiell kleine Trägheitsmoment einer Scheibe ist


mit

sowie

und


Setze alles in die Gleichung für dJ ein und summiere (=integriere) alle Trägheitsmomente von -R bis +R.

Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 04. Feb 2019 10:15    Titel: Antworten mit Zitat

Eine senkrechte infinitesimale Kreisscheibe aus einer Kugel mit dem Radius R hat den Radius y und die Dicke dx

Halbkugel

Massenträgheitsmoment



Masse der Kreisscheibe


Pythagoras




Vollkugel

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Feb 2019 12:40    Titel: Antworten mit Zitat

Mathefix hat Folgendes geschrieben:

Das Trägheitsmoment einer solchen Scheibe der Dicke dx wäre



Dabei muss das Trägheitsmoment einer Scheibe/eines Zylinders bereits bekannt ober berechnet worden sein. Alternativ kann man auch von der Definition des Trägheitsmoments ausgehen und Kugelkoordinaten verwenden.
ph5



Anmeldungsdatum: 27.06.2018
Beiträge: 63

Beitrag ph5 Verfasst am: 04. Feb 2019 12:57    Titel: Antworten mit Zitat











aus Symmetriegründen?

Hab jetzt lange probiert und poste mal, was ich gemacht habe. Irgendwie stimmt der mittlere Term in der Klammer nicht.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Feb 2019 13:17    Titel: Antworten mit Zitat

Was meinst Du mit dem mittleren Term in der Klammer? Sieht doch sehr gut aus. Einzig von der Notation her müsstest Du in der 3. Zeile in der Stammfunktion die Variable y noch mitschreiben, wenn Du die Integralgrenzen noch nicht eingesetzt hast.

Zitat:
aus Symmetriegründen?

Aus Symmetriegründen folgt sicher, dass dies das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse durch den Kugelmittelpunkt ist.
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 04. Feb 2019 13:22    Titel: Antworten mit Zitat

ph5 hat Folgendes geschrieben:
Irgendwie stimmt der mittlere Term in der Klammer nicht.


Richtig. Der müsste eigentlich ein Minuszeichen haben. Seltsamerweise hast Du die gesamte Klammer dann aber richtig ausgerechnet. Außerdem ist das hier natürlich Quatsch:

ph5 hat Folgendes geschrieben:


Eigentlich müsste da stehen

Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Feb 2019 13:32    Titel: Antworten mit Zitat

@GvC: Sorry, ich habe Deinen 1. Beitrag gar nicht gesehen, stand ja schon alles da.
ph5



Anmeldungsdatum: 27.06.2018
Beiträge: 63

Beitrag ph5 Verfasst am: 04. Feb 2019 13:34    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, danke fürs Feedback und eure Hilfe
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 04. Feb 2019 14:13    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Mathefix hat Folgendes geschrieben:

Das Trägheitsmoment einer solchen Scheibe der Dicke dx wäre



Dabei muss das Trägheitsmoment einer Scheibe/eines Zylinders bereits bekannt ober berechnet worden sein. Alternativ kann man auch von der Definition des Trägheitsmoments ausgehen und Kugelkoordinaten verwenden.


@ Myon

1. Wenn Du meinen Beitrag richtig liest, bezieht sich das Trägheitsmoment auf die Halbkugel und wird im weiteren auf die Vollkugel aus Symmetriegründen verdoppelt.
2. Das Trägheitsmoment einer Scheibe muss nicht bekannt sein, es wird in der Herleitung an keiner Stelle vorausgesetzt.
3. Bis auf die unterschiedliche Bezeichnung der Koordinaten ist meine Herleitung völlg identisch mit der von GvC.

Was mir an GvC´s Herleitung sehr gefällt ist die Substitution von rho.
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 04. Feb 2019 14:45    Titel: Antworten mit Zitat

Schau doch mal noch genauer deine Herleitung an, die stimmt einfach nicht und sie ist auch nicht gleich der von GVC,

dI=dm*x² gilt wenn um y rotiert wird für einen Massepunkt und nicht für Scheiben.
Deswegen fehlt bei dir auch ein Faktor 2.

ob du jetzt von -R bis plus R integrierst oder von 0 bis R und dann mal 2 rechnest ist das selbe nur bei deiner Formel fehlt ein 2er.

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WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247

Beitrag VeryApe Verfasst am: 04. Feb 2019 16:00    Titel: Antworten mit Zitat

Nachtrag: Wenn man auf den Papier die y Achse nach oben aufträgt und die x Achse zur Seite und um den Urpsrung nen Kreis und das sei die Kugel und die dreht sich um die y Achse.

Dann wäre nach GVCs Ableitung die Kugeln in Scheiben normal auf die y Achse Dicke dy zerlegt.

man könnte aber auch die Kugel in Scheiben normal auf die x Achse zerlegen mit Dicke dx.

Dann hätte man dm*x² aufgrund der Bewegung des Massenmittelpunktes aber plus das Trägheitsmoment eines Vollzylindes der sich um die Querachse dreht.

1/4m*r²+1/12 m*l² =1/4dm*y²+1/12 dm*dx²

den letzten Term kann man in die Tonne kicken.

Dann steht da für das Trägheitsmoment einer kleinen Scheiben



Dann müsste das selbe rauskommen wie bei GVC Ansatz.
Ich vermute das wollte mathefix ansetzen.

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Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 06. Feb 2019 23:26    Titel: Antworten mit Zitat

VeryApe hat Folgendes geschrieben:


Ja, das kann man so machen - zuerst verstand ich nicht recht, wie Du das meinst. Wenn man über x integriert, kommt auch das richtige heraus. Der erste Summand wäre dann der Anteil aus dem Satz von Steiner. Was aber sicher nicht geht, ist, wenn man die dünnen Scheiben (Achse senkrecht zur Drehachse der Kugel) als Punktmasse behandelt und dann integriert. Man muss vom Trägheitsmoment einer Scheibe ausgehen und dann integrieren, oder man rechnet „von Grund auf“ und mit Kugelkoordinaten.
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