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Gast36459
Anmeldungsdatum: 27.01.2019
Beiträge: 1
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 Gast36459 Verfasst am: 27. Jan 2019 22:00 Titel: Magnus Effekt einer Kugel unter idealisierten Bedingungen |
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Meine Frage:
Hallo, ich sitze gerade an einer Aufgabe, bei der es um eine fallende Kugel mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in einem Wasserbecken geht. Die Strömung des Wassers um die Kugel darf als laminar und inkompressibel angenommen werden. Es soll nun eine Formel für die Kraft durch den Magnus Effekt hergeleitet werden.
Als erstes habe ich die Bernoulli-Gleichung auf die Strömung auf der rechten und auf der linken Seite der Kugel angewendet.
Meine Ideen:
Als erstes habe ich die Bernoulli-Gleichung auf die Strömung auf der rechten und auf der linken Seite der Kugel angewendet.
v_r ist die Rotationsgeschwindigkeit und P_r und F_r Drücke und Kräfte auf der rechten und linken Seite
^2+\rho gh=P_r+1/2\rho(v+v_r)^2+\rho gh
<br />
mit:P_0=F/A;h=h
<br />
F_l-F_r=\Delta F=2\rho vv_r
<br />
mit:v_r=\omega r'=\omega sin(\theta) r
<br />
integrieren
<br />
F=2\rho v\int_0^\pi \!\int_0^\pi \! (\omega)rsin(\theta)rsin(\theta)r \, \dd\phi r d\theta
<br />
F=2\rho v \omega\int_0^\pi \!\int_0^\pi \! r^3sin^2(\theta) \, \dd\phi r d\theta
<br />
F=2\pi\rho v \omega\left[x/2-sin(2x)/4\right]_{0}^{\pi}
<br />
F=\pi^2\rho v \omega
<br />
)
Die richtige Lösung sollte aber sein. Das heißt das ich mich irgendwo verrechnet haben muss. Da ich dort noch einige Schwächen habe, vermute ich, dass irgendeine Integralgrenze falsch gewählt ist. Ich würde mich sehr freuen wenn mir irgendjemand helfen könnte den Fehler zu finden. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 29. Jan 2019 21:18 Titel: |
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Ich habe mich zwar noch nicht mit der Magnus Kraft beschäftigt, aber wieso sollte
| Zitat: | | |
richtig sein, das stimmt ja noch nicht mal von den Einheiten.
wenn ich mich ins Ruhsystem der Kugel setze und so tue als würde die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit nicht abgebremst werden, strömt das Wasser samt Boden mit v_Kugel nach oben und die kugel ruht.
Auf einer Seite wird das Wasser abgebremst auf der anderen Seite beschleunigt.
Woher nimmst du jetzt den Geschwindigkeitsverlauf des Wasser um die Kugel? Du weißt doch gar nicht wie sehr das Wasser auf einer Seite abgebremst wird und auf der anderen beschleunigt ohne Versuch?
Kannsd du das mal klären?
_________________
WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 29. Jan 2019 23:27 Titel: |
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An den Thread-Ersteller: Ich kann Deine Rechnung auch nur teilweise nachvollziehen. Für  gilt nicht einfach  , denn es handelt sich um eine Kugel, und der von  und  eingeschlossene Winkel hängt auch von  ab.
Wenn man stark vereinfachend annimmt, dass die Geschwindigkeiten auf beiden Seiten konstant und gleich  bzw.  sind, dann ergibt sich für den Druckunterschied zwischen beiden Seiten
Die Integralgrenzen kann man so wählen wie oben, aber im Integral fehlt ein Faktor  , dafür ist ein Faktor r zuviel. Denn ein Flächenelement auf der Kugel wäre  .
Relevant ist aber nur die Komponente der Druckkraft, die senkrecht zu  und  ist, weshalb noch mit  multipliziert werden muss (wählt man die Integralgrenzen so wie Du).
Also
Das führt auf, wie oben wahrscheinlich gemeint,  oder  , wenn  .
Die Strömungsgeschwindigkeit ist aber eigentlich abhängig vom Ort auf der Kugel. Der Strömungsgeschwindigkeit  ist die Geschwindigkeit  durch die Rotation der Kugel überlagert.
=\vec{v_\mathrm{S}}+\vec{\omega}\times\vec{r})
Die Bernoulli-Gleichung ist dann
+\frac{1}{2}\rho(v_\mathrm{S}^2+2\vec{v}_\mathrm{S}(\vec{\omega}\times\vec{r})+(\vec{\omega}\times\vec{r})^2)=const.)
Den letzten Summanden in der Klammer kann man vernachlässigen, da er auf beiden Seiten der Kugel den gleichen Wert hat. Der Druckunterschied im Vergleich zu einer nichtrotierenden Kugel an der Stelle ist
=\rho\vec{v_\mathrm{S}}\cdot(\vec{\omega}\times\vec{r})=\rho\vec{r}\cdot(\vec{v_\mathrm{S}}\times\vec{\omega})=v_\mathrm{S}\omega r\sin\vartheta\cos\varphi)
Die Kraft ergäbe sich nach Integrierung über die ganze Kugel
Das war jetzt eher eine Rechenübung meinerseits. Wie sinnvoll die Rechnung ist, weiss ich nicht, und gut möglich ist auch, dass sie Fehler enthält. |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3247
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| VeryApe Verfasst am: 30. Jan 2019 00:58 Titel: |
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| Zitat: |
Die Strömungsgeschwindigkeit ist aber eigentlich abhängig vom Ort auf der Kugel. Der Strömungsgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit durch die Rotation der Kugel überlagert.
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Dann würde doch das Wasser in die Kugel reinfliessen
Das müsste sich schon tangential an der Kugel bewegen.
Aber die vorige Rechnung wird dann schon passen und wird so gemeint sein.
Aber ich dachte es gäbe eine idealisierte Herleitung. Das schaut für mich nur nach utopischen Ansatz aus.
_________________
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Gast36460
Gast
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| Gast36460 Verfasst am: 30. Jan 2019 02:34 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | Ich habe mich zwar noch nicht mit der Magnus Kraft beschäftigt, aber wieso sollte
| Zitat: | | |
richtig sein, das stimmt ja noch nicht mal von den Einheiten.
wenn ich mich ins Ruhsystem der Kugel setze und so tue als würde die Massenmittelpunktsgeschwindigkeit nicht abgebremst werden, strömt das Wasser samt Boden mit v_Kugel nach oben und die kugel ruht.
Auf einer Seite wird das Wasser abgebremst auf der anderen Seite beschleunigt.
Woher nimmst du jetzt den Geschwindigkeitsverlauf des Wasser um die Kugel? Du weißt doch gar nicht wie sehr das Wasser auf einer Seite abgebremst wird und auf der anderen beschleunigt ohne Versuch?
Kannsd du das mal klären? |
Ich meinte natürlich  . Das hab ich irgendwie übersehen. In meinem Endergebnis fehlt natürlich auch das r^3.
| Myon hat Folgendes geschrieben: | An den Thread-Ersteller: Ich kann Deine Rechnung auch nur teilweise nachvollziehen. Für gilt nicht einfach , denn es handelt sich um eine Kugel, und der von und eingeschlossene Winkel hängt auch von ab.
Wenn man stark vereinfachend annimmt, dass die Geschwindigkeiten auf beiden Seiten konstant und gleich bzw. sind, dann ergibt sich für den Druckunterschied zwischen beiden Seiten
Die Integralgrenzen kann man so wählen wie oben, aber im Integral fehlt ein Faktor , dafür ist ein Faktor r zuviel. Denn ein Flächenelement auf der Kugel wäre .
Relevant ist aber nur die Komponente der Druckkraft, die senkrecht zu und ist, weshalb noch mit multipliziert werden muss (wählt man die Integralgrenzen so wie Du).
Also
Das führt auf, wie oben wahrscheinlich gemeint, oder , wenn .
Die Strömungsgeschwindigkeit ist aber eigentlich abhängig vom Ort auf der Kugel. Der Strömungsgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit durch die Rotation der Kugel überlagert.
Die Bernoulli-Gleichung ist dann
Den letzten Summanden in der Klammer kann man vernachlässigen, da er auf beiden Seiten der Kugel den gleichen Wert hat. Der Druckunterschied im Vergleich zu einer nichtrotierenden Kugel an der Stelle ist
Die Kraft ergäbe sich nach Integrierung über die ganze Kugel
Das war jetzt eher eine Rechenübung meinerseits. Wie sinnvoll die Rechnung ist, weiss ich nicht, und gut möglich ist auch, dass sie Fehler enthält. |
Danke! Ja, ich hatte die ganze Zeit nicht berücksichtigt das die Kraft auch senkrecht stehen muss. Dann ergibt auch alles viel mehr Sinn. Wie du gesagt hast kommt nur raus wenn die Rortationsgeschwindigkeit überal konstant wäre. Wenn ich mich nicht irre gilt das aber nur für einen Zylinder. Vielleicht sind die Lösungen auch einfach nicht komplett richtig. Bei  der Faktor 4/3 statt 2 klingt auf jeden Fall sehr realistisch.[/quote] |
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its_mee
Gast
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| its_mee Verfasst am: 05. Sep 2022 00:59 Titel: |
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Ich hätte eine Frage zu der Berechnung der Kraft F.
Hier steht:
| Zitat: | Die Kraft ergäbe sich nach Integrierung über die ganze Kugel
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Woher kommen allerdings im Integral die Potenzen der sinus und der cosinus Funktion. Meine Idee wäre gewesen, über die Fläche mit dem Flächenelement d\theta d\varphi) zu berechnen, nur kommt hier 0 mit den entsprechenden Grenzen heraus.
Vllt kann mir jemand bei meinem Denkfehler helfen.
MfG |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 08. Sep 2022 11:07 Titel: |
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| its_mee hat Folgendes geschrieben: | | Woher kommen allerdings im Integral die Potenzen der sinus und der cosinus Funktion. |
Der zusätzliche Faktor sin(theta)*cos(phi) im Integranden kommt daher, dass für die Druckkraft an jeder Stelle nur die Komponente senkrecht zur Drehachse und senkrecht zur Richtung, aus der das Wasser anströmt, relevant ist. Der übrige Teil wird kompensiert durch die Druckkraft auf der gegenüberliegenden Seite.
Es wurde angenommen, dass die Drehachse senkrecht zur Anströmung liegt, und dass
-das Wasser aus der Richtung theta=pi/2, phi=0 anströmt
-für die Drehachse theta=0 gilt.
Auch wenn unrealistische Annahmen zugrundeliegen, hätte ich gerne irgendwo eine Bestätigung für die Gleichung gefunden. Deshalb freute ich mich zuerst, als ich auf Wikipedia (sowohl englisch als auch deutsch) eine praktisch gleiche Gleichung fand, war dann aber umso mehr erstaunt, dass als Quelle dieser Thread angegeben wird. Obwohl der Autor offenbar selber nachgerechnet hat, ist das natürlich ein Witz, denn das Ganze ist ja in keiner Weise überprüft. |
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