allgemeine Relativitätstheorie (gravitative Zeitdilatation)

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

nur mal so eine frage
kann mir jemand sagen wie man diese formel herleiten kann oder weiß jemand einen link wo das steht?

R_s soll dabei der schwarzschuldradius sein (ich weiß nicht wie man das altdeutsche R in den formeleditor eingibt)
ich denk mal, dass man das wahrscheinlich mit tensoren macht
ich hab die formel bisher immer vorausgesetzt

[Hab den Titel mal etwas ergänzt, Gruß, dermarkus]

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Das

heißt \Re.

Und Herr Schwarzschild nicht Schwarzschuld. Aber das wars dann auch schon, womit ich helfen kann.

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

danke
das u war wohl ein tipp fehler
also ich weiß nur wie man es wie folg zeigen könnte
man hat einen inertialbeobachter B, der sich unendlichweit vo massenzentrum entfernt befindet. Also ein feldfreier beobachter
dann hat man einen beobachter A, der sich mit dem abstand ra vom massenzentrum entfernt befindet.
wenn der feldfreie beobachter sich zu A hinbewegt so hat er die geschwindigkeit

damit gilt

aber irgendwie kommt mir das erstens als zu einfach und zweitens als nicht richtig vor

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

kann mir denn keiner helfen?

das was ich im letzten beitrag geschrieben habe kann man denk ich mal nur rein hypothetisch annehmen.
ich würde mich freuen wenn mir es jemand zeigen kann

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Was du da herleitest, ist die Formel für die gravitative Zeitdilatation. Also die Antwort auf die Frage: Um wieviel geht eine Uhr langsamer, wenn sie sich in einem Gravitationsfeld befindet?

Und der gedankliche Ansatz, der sich hinter deinen Formeln verbirgt, ist, finde ich, ziemlich raffiniert:

Ein Beobachter A, der sich aus dem Unendlichen und mit Anfangsgeschwindigkeit Null im freien Fall auf einen Himmelkörper zu bewegt, fühlt sich ja immer schwerelos. Das heißt, er misst in seinem Bezugssystem kein Gravitationsfeld, die Trägheitskraft in seinem beschleunigten Bezugssystem hebt die Gravitationskraft auf.

Der einzige Effekt des Gravitationsfeldes, den er misst, ist, dass sich seine Geschwindigkeit gegenüber dem Inertialbeobachter I im All vergrößert hat. Also kann er die gravitative Zeitdilatation ausrechnen als genau die Zeitdilatation, die er aufgrund der Geschwindigkeit hat, die er im freien Fall in eben diesem Gravitationsfeld erworben hat:

und mit dem Schwarzschildradius

, der ein Maß für die Stärke des Gravitationsfeldes ist, erhält er für die Zeitdilatation, wie du schreibst:

-----------------------

Eine andere Möglichkeit für den Beobachter im Schwerefeld, sich schwerelos zu fühlen, ist, wenn er sich auf einer Kreisbahn um das Gravitationszentrum befindet. Dann ist seine Geschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit dieser Kreisbewegung ergibt sich aus der Bedingung Zentrifugalkraft=Gravitationskraft, also

(So leitet Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitdilatation#Beschleunigung_und_Gravitation:_Die_rotierende_Scheibe die gravitative Zeitdilatation her.)

//=======================================

// edit: ab hier wird es falsch, was ich geschrieben habe, wie Gast unten richtig bemerkt hat. Siehe unten.

Das ergibt genau dieselbe Geschwindigkeit

wie oben, und damit auch dieselbe Formel für die gravitative Zeitdilatation.

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

danke für deine antwort

meinen genannten ansatz habe ich mir selbst überlegt *stolz sei*

und jetzt kenn ich auch eine zweite möglichkeit. auf diese möglichkeit bin ich nicht so schnell gekommen, obwohl es auch sehr logisch ist.

ich habe irgendwo gelesen, dass man die formel mit tensoren herleitet
weißt du darüber etwas näheres
deswegen dachte ich sowas wie die zwei herleitungen von dir und von mir seien nur rein hypothetisch aber nicht streng mathematisch und physikalisch.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Die Herleitungen hier berechnen ja die gravitative Zeitdilatation, indem sie sie in die Geschwindigkeits-Zeitdilatation aus der speziellen Relativitätstheorie umwandeln.

Man kann die gravitative Zeitdilatation auch direkt als Auswirkung der Gravitation berechnen, also als Effekt der Krümmung der Raumzeit. Dazu braucht man dann sicher die Tensoren der allgemeinen Relativitätstheorie, die die Geometrie gekrümmter Räume beschreiben. (Wie diese Herleitung aussieht, kann ich im Moment noch nicht genau erzählen, mal sehen, ob ich da bald schlauer bin.)

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Eine Quelle, wo's drinsteht, habe ich hier gefunden:

Die gravitative Zeitdilatation, wenn man sie aus der Raumzeitkrümmung berechnet, ergibt sich aus der Schwarzschild-Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen.

In folgendem Skript ist das auf Seite 138:

http://photonik.physik.hu-berlin.de/ede/skripten/04mechall.pdf

Die Einsteinschen Feldgleichungen findet man dort auf Seite 134, zu den Vektor- und Tensorschreibweisen siehe Seite 127 ff, eine knappe Einführung in die wichtigsten Elemente der allgemeinen Relativitätstheorie fängt auf Seite 133 an.

Gast

Der genannte Ansatz "Zentrifugalkraft=Gravitationskraft" liefert
w^2 = v^2/r^2 = G*M/r^3 und daraus v = sqrt(G*M/r), ohne '2',
das ist die Kreisbahngeschwindigkeit.

v = sqrt(2*G*M/r) hingegen beschreibt die Fluchtgeschwindigkeit,
und das scheint mir der hier passende Ansatz zu sein, denn es geht
nicht um Kraft sondern um Potential, das ist im Orbit aber nicht
verschwunden (oder maximal, je nach Referenz).

Könnte man mit den beiden Gleichungen für delta_t z.B. die nötige
Gangkorrektur für eine Uhr im Orbit berechnen, so dass sie im Mittel
synchron mit einer Uhr auf der Erde bleibt?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Danke, Gast, du hast recht. Ich habe mich oben um einen Faktor 2 verrechnet, wie du richtig bemerkt hast.

Und es geht hier in der Tat nicht um Kräfte, die gleich sein müssen, sondern um Potentiale. Und wenn ich den Wikipedia-Link nochmal genauer lese, dann stelle ich fest, dass dort die Kraft nur verwendet wird, um auf ein Zentrifugalpotential zu schließen, und dabei kommt der Faktor 2 hinein, um den ich mich verrechnet hatte.

Die Argumentation mit der Fluchtgeschwindigkeit entspricht der Herleitung von Schüler (denn der Körper im freien Fall mit Startpunkt im All, den er betrachtet, erreicht gerade diese Fluchtgeschwindigkeit), und ist also richtig.

Mit den Formeln für die Zeitdilatation der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie (Geschwindigkeit und Gravitationspotential) berechnet man in der Tat Uhrenkorrekturen: Nämlich für die hochgenauen Uhren in den GPS-Satelliten, für die man ständig die daraus resultierende Gangdifferenz herausrechnet.

Voessli · Gast

Hallo

Kann ich mir die Zeitdilatation bei geringer Schwerkraft so vorstellen, daß die Atome einfach schneller schwingen? Als Vergleich stelle ich mir ein vor wie eine Fliege in einem Glas Sirup schwimmt (große Schwerkraft). Die kann sich dann auch nur langsam bewegen

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich würde sagen, das kannst du als Eselsbrücke nehmen, um dir zu merken, dass eine Uhr langsamer geht, wenn sie sich in einem starken Gravitationspotential befindet.

Als Vorstellungshilfe für das, was da wirklich passiert, würde ich das vielleicht eher nicht hernehmen wollen, da wäre ich lieber vorsichtig mit zu anschaulichen Bildern, weil so eine Analogie sicher höchstens in etwa stimmt.

eman · Anmeldungsdatum: 24.06.2006 Beiträge: 59

Das Sirup-Modell gefällt mir. Man denkt einfach daran, dass es nur eine Vorstellungshilfe ist (es ist als ob..) und versucht, wie weit die trägt. Bezieht man das Gravitations-Potential auf einen gedachten feldfreien Ort wo der Sirup maximal flüssig ist, wird er mit zunehmendem Potential immer dicker und verlangsamt elektromagnetisch vermittelte Vorgänge entsprechend. Bewegung durch den Sirup hat eine äquivalente Auswirkung, die beiden Einflüsse überlagern sich.

Nennen wir den Sirup einfach Gravitations-Potential. Wir haben dann einen virtuell präferierten Ort als Referenz, an dem das Gravitations-Potential minimal ist und normieren damit seine Zunahme in der Nähe vom Massen.

Die Möglichkeit der Äquivalenz von Potential und Geschwindigkeit ergibt sich aus der Definition des Potentials als potentieller Energie einer Masse, im Fall von Bewegung entspricht dieser ihre Bewegungsenergie.

Bezogen auf die virtuelle Referenz geht eine relativ unbewegt mitrotierende Uhr auf der Erde etwa 60,3 µs pro Tag nach. In diesem Modell müssten Uhren am Pol schneller laufen als am Äquator, was auch der Fall wäre, würde dieser Effekt nicht (zufällig?) kompensiert durch das dort größere Gravitations-Potential. Dadurch gehen Uhren (auf Meereshöhe) überall auf der Erde etwa gleich schnell.

Für eine Uhr im Orbit wirken zwei gegenläufige Einflüsse. Durch das geringere Potential geht die Uhr schneller als die am Boden, die Bahngeschwindigkeit verlangsamt sie dagegen. Die Summe der beiden Effekte kann beobachtet werden durch Vergleich der Uhr im Orbit mit der am Boden.

Die GPS-Satelliten zum Beispiel haben etwa einen 12-Stunden-Orbit und dem entsprechend einen Bahnradius von ca. 26600 km. Ohne Bahngeschwindigkeit würde die Uhr dort nur noch 14,4 µs je Tag langsamer gehen als die virtuelle Normaluhr, die Bahngeschwindigkeit sorgt für weitere 7,2 µs, sodass sie insgesamt 38,7 µs pro Tag gegenüber der Uhr am Boden vorgehen würde, das wird aber vor dem Start kompensiert.

Ein interessanter Fall wäre auch eine Uhr in einem geostationären Satelliten. Hier fällt sofort auf, dass die Relativgeschwindigkeit gar nicht bezogen ist auf die Vergleichsuhr in der Bodenstation, die ist nämlich stets null, sondern auf den 'Sirup', als Bahngeschwindigkeit durch ihn hindurch.

Wie würde man sich diesen Zusammenhang ohne den virtuellen Sirup vorstellen können?