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Bewegungsgleichung retardierte Greenfunktion Heisenbergbild
 
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IronPhoenix



Anmeldungsdatum: 05.01.2017
Beiträge: 23

Beitrag IronPhoenix Verfasst am: 05. Sep 2018 15:44    Titel: Bewegungsgleichung retardierte Greenfunktion Heisenbergbild Antworten mit Zitat

Hallo liebe Quantenmechaniker,

ich versuche die Bewegungsgleichung für eine retardierte Greenfunktion im Heisenbergbild aufzustellen. Der Hamiltonoperator sei nicht explizit zeitabhängig. Die Anwendung der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für Operatoren auf A (die Zeitableitung wirkt auf A(t), B(t') ist unabhängig davon) sieht zunächst unproblematisch aus. Irgendwo fehlt jedoch ein Detail.



und

https://de.wikipedia.org/wiki/Heisenbergsche_Bewegungsgleichung

führt mich auf



Das Vorzeichen des zweiten Beitrags müsste umgekehrt sein und der dritte Beitrag verschwinden. Wer kann weiterhelfen?

Möge die Scheinkraft mit euch sein,
IronPhoenix


Zuletzt bearbeitet von IronPhoenix am 06. Sep 2018 13:40, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 05. Sep 2018 16:30    Titel: Antworten mit Zitat

Irgendwas passt mit dem LaTeX in meinem Browser nicht.

Ich setze epsilon = -1 und verwende den normalen Kommutator; deinen Index "-epsilon" verstehe ich nicht; meinst du -1?

Außerdem setze hbar = 1.

Dann gilt erst mal







Ich kenne dieses Objekt und das gewünschte Ergebnis für allgemeine Operatoren A,B übrigens nicht; sollen das Erzeuger und Vernichter sein?

Ableiten liefert



Der erste Term liefert die delta-Funktion, der zweite wird mittels der Heisenberg-Gleichung umgeschrieben zu



Erster Term bei dir ist klar. Den zweiten verstehe ich nicht; wieso wird die Greensche Funktion einfach reproduziert?

Im dritten Term vermute ich, dass du mit den Operatoren H,A,B geeignet jonglieren, Terme ergänzen musst usw., um wieder auf das ursprüngliche Ergebnis zu kommen.

Warum fallen dann aber die Terme mit H weg? Ich vermute, dass du den Erwartungswert immer für Vakuumzustände berechnest, richtig? Wenn das stimmt, dann gilt



Was soll das Ergebnis sein?

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Sep 2018 20:33    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:


Erster Term bei dir ist klar. Den zweiten verstehe ich nicht; wieso wird die Greensche Funktion einfach reproduziert?

Der zweite ist doch der oben -Def. von G_ret für [A,H] und B- nur mit anderem Vorzeichen (dem korrekten, wie ich dem Originalpost entnehme?) und der dritte bei Dir nicht da (was wohl auch so sein soll -siehe Originalpost). Thumbs up!
IronPhoenix



Anmeldungsdatum: 05.01.2017
Beiträge: 23

Beitrag IronPhoenix Verfasst am: 05. Sep 2018 20:51    Titel: Antworten mit Zitat

Hmm … anscheinend handelt es sich erstmal um ein Problem mit der Schreibweise.

Da die beiden Zeiten t,t' unabhängig voneinander sind gilt:

.



ist aber nicht



sondern

.

Damit würde es tatsächlich reichen, wenn man den dritten Term noch zum verschwinden bringt. Dummerweise kriege ich das aber nur hin, wenn A eine Erhaltungsgrösse ist.
IronPhoenix



Anmeldungsdatum: 05.01.2017
Beiträge: 23

Beitrag IronPhoenix Verfasst am: 05. Sep 2018 20:58    Titel: Antworten mit Zitat

@TomS: Die Greenfunktion wird natürlich nicht einfach reproduziert, sondern man erhält eine Greenfunktion von höherer Ordnung. Bei Betrachtung des unteren Index sollte es also klar sein.

@TomS: Meinst du, dass der dritte Term bei dir nicht auftritt oder dass er separat behandelt werden soll?!

Im 7-ten Buch von Nolting (Viel-Teilchen-Theorie, Kapitel 3) ist das leider nicht genauer angegeben.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Sep 2018 21:11    Titel: Antworten mit Zitat

IronPhoenix hat Folgendes geschrieben:

.
Damit würde es tatsächlich reichen, wenn man den dritten Term noch zum verschwinden bringt. Dummerweise kriege ich das aber nur hin, wenn A eine Erhaltungsgrösse ist.

Ich verstehe Nolting (3.120) so, dass er nur Operatoren betrachtet, die im Schrödingerbild nicht explizit von der Zeit abhängen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 05. Sep 2018 22:20    Titel: Antworten mit Zitat

IronPhoenix hat Folgendes geschrieben:
@TomS: Die Greenfunktion wird natürlich nicht einfach reproduziert, sondern man erhält eine Greenfunktion von höherer Ordnung. Bei Betrachtung des unteren Index sollte es also klar sein.

Hab‘ ich übersehen.

Ansonsten:

How shall I do the calculation if I don’t know the result?
Shimon Levit

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IronPhoenix



Anmeldungsdatum: 05.01.2017
Beiträge: 23

Beitrag IronPhoenix Verfasst am: 06. Sep 2018 00:09    Titel: Antworten mit Zitat

Ok. Jetzt kommen wir der Lösung näher. A sei im Schrödingerbild nicht explizit zeitabhängig. Im Heisenbergbild kann A jedoch zeitabhängig sein, weil er nicht mit dem Hamiltonian kommutieren muss. Im Schrödingerbild sind jedoch die Zustände zeitabhängig. Verschwindet also tatsächlich? grübelnd
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Sep 2018 06:30    Titel: Antworten mit Zitat

So sehe ich das.
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IronPhoenix



Anmeldungsdatum: 05.01.2017
Beiträge: 23

Beitrag IronPhoenix Verfasst am: 06. Sep 2018 09:56    Titel: Antworten mit Zitat

Das wäre die Lösung, wenn es gilt. Wie aber darf man sich diese "formale partielle Ableitung" dann bitte vorstellen? Wenn man für A im Schrödingerbild die Zeitableitung oder Ortsableitung nimmt, was ergibt sich dann?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 06. Sep 2018 11:19    Titel: Antworten mit Zitat

IronPhoenix hat Folgendes geschrieben:
Wie aber darf man sich diese "formale partielle Ableitung" dann bitte vorstellen?

Verstehe ich nicht.

Ein Operator X hat eine Darstellung der Form



Zeitabhängigkeit sowie die Zeitableitung erhält man mittels





Das ist letztlich nur lineare Algebra, erweitert auf lineare Hilberträume

IronPhoenix hat Folgendes geschrieben:
Wenn man für A im Schrödingerbild die Zeitableitung oder Ortsableitung nimmt, was ergibt sich dann?

Für die Zeitableitung von X gilt



Üblicherweise haben Operatoren im Schrödingerbild jedoch keine Zeitabhängigkeit.

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Anmeldungsdatum: 05.01.2017
Beiträge: 23

Beitrag IronPhoenix Verfasst am: 06. Sep 2018 12:18    Titel: Antworten mit Zitat

Die Ableitung eines Operators (im Schroedingerbild) ist also so definiert, dass sie nur auf den Eigenwert wirkt und nicht auf die Wellenfunktionen/Projektoren?
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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Beitrag TomS Verfasst am: 06. Sep 2018 13:13    Titel: Antworten mit Zitat

IronPhoenix hat Folgendes geschrieben:
Die Ableitung eines Operators (im Schroedingerbild) ist also so definiert, dass sie nur auf den Eigenwert wirkt und nicht auf die Wellenfunktionen/Projektoren?

Man könnte die Spektraldarstellung natürlich auch mittels einer zeitabhängigen Basis formulieren, dann würde die Ableitung auch auf die Zustände wirken.

D.h. man setzt



und leitet gemäß der der Produktregel ab.

Ich sehe in der Praxis jedoch keine zeitabhängige Basis; wenn überhaupt, dann wäre das z.B. Lösungen der Schrödingergleichung, also



Dies löst man mittels des Ansatzes



und damit wird



wieder zeitunabhängig.

Oder man verwendet Eigenzustände einer Erhaltungsgröße Q, also





und den wiederum zeitunabhängige Projektor



Wie gesagt, muss man nicht so machen, man kann auch bzgl. einer Basis mit einer unbekannten oder nicht-trivialen Zeitabhängigkeit entwickeln, aber sinnvoll ist das zumeist nicht.

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Anmeldungsdatum: 05.01.2017
Beiträge: 23

Beitrag IronPhoenix Verfasst am: 06. Sep 2018 13:52    Titel: Antworten mit Zitat

Fantastisch!! Damit ist meine Frage beantwortet!! Vielen Dank TomS!! Thumbs up! Thumbs up!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17908

Beitrag TomS Verfasst am: 06. Sep 2018 14:08    Titel: Antworten mit Zitat

Jetzt hab' ich noch ein paar Fragen:

Was ist jetzt das Ergebnis, was besagt es und wozu braucht man es? Welche Operatoren werden für A und B typischerweise eingesetzt? Erzeuger und Vernichter? Wenn ja, warum muss man das dann so generisch mit A und B einführen?

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Beitrag IronPhoenix Verfasst am: 10. Sep 2018 13:48    Titel: Antworten mit Zitat

Es handelt sich um ein Zwischenergebnis. Die Bewegungsgleichung zeigt, warum quantenmechanische Greenfunktionen i.d.R. nur approximativ berechnet werden koennen.
Normalerweise arbeitet man davon ausgehend mit der zweiten Quantisierung weiter (zunaechst mal im Heisenbergbild).

Nolting erklaert zuneachst den allgemeinen Formalismus, bevor er sich auf konkrete Beispiele bezieht. Daher kommt vermutlich die Einfuehrung mit den Operatoren A, B.
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