| Autor |
Nachricht |
Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
|
 Aristo Verfasst am: 09. Jun 2018 14:46 Titel: 2 Fermionen (ohne spin) im Potentialtiopf.Wellenfunktion und |
 |
|
Meine Frage:
Gegeben: Kastenpotential
V= 0 für -a/2 bis a/2
V= unendlich sonst
In dieser Aufgabe betrachten wir nun N > 1 spinlose Teilchen in diesem Potential, die aber in keiner Wechselwirkung miteinander stehen.
a) Betrachten Sie zunächst zwei Fermionen. Geben Sie die Wellenfunktion u(x1,x2) für den Grundzustand des Zweiteilchen-Systems sowie die zugehörige gemeinsame Aufenthaltswahrscheinlichkeit an. Skizzieren Sie Letztere als Funktion von x1 bei konstantem x2 = 0. Was fällt auf? Hinweis: Verwenden Sie die bereits bekannten Lösungen für das Einteilchen-Problem.
b) Betrachten Sie nun die Situation für eine beliebige Anzahl N an Teilchen. Bestimmen Sie die Grundzustandsenergie EB(N) für N Bosonen bzw. EF(N) für N Fermionen. Vergleichen Sie die Abhängigkeit der Grundzustandsenergie pro Teilchen von der Teilchenzahl wenn N groß wird.
Meine Ideen:
Zuerst habe ich alles gesammelt:
Pauli Prinzip: Die Fermionen dürfen nicht im gleichen Zustand sein und es gilt:
 = \psi_{n}(\vec{r_{1}}) \psi_{m} (\vec{r_{2}}) )
Lösungen Einteilchen Problem: von
 )
Antisymmetrisch:
 = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_{n}(\vec{r_{1}}) \psi_{m}(\vec{r_{2}}) - \psi_{n}(\vec{r_{1}}) \psi_{m}(\vec{r_{2}})) = 0 )
Ununterscheidbarkeit:
r_1 und r_2 können vertauscht werden.
Wie kann ich eine Wellenfunktion suchen, die im Grundzustand ist (n=1), bei der aber 2 Zustände vorherrschen, die nicht identisch sein dürfen? Das würde doch bedeuten, dass ein Zustand nicht vorhanden ist (n=0) sonst wäre doch die Energie irgendwie überschritten
Die Rechnung zum einteilchen Problem habe ich verstanden- solange das Ergebnis oben stimmt- Wie ich die Rechnung aber mit einer Kombination aus 2 Funktionen darstelle ergibt sich nicht für mich. Habe ich dann einfach ein (Ae^+Be^)(Ce^+de^)? Das könnte ich nicht lösen.
Wenn ich die Wellenfunktion habe sollte die Wahrscheinlichkeitsdichte kein Probem sein: Betragsquadrat bilden.
Auch hoffe ich,dass ich die b) lösen kann, wenn ich den Lösungsweg nachvollziehen kann, der zu einer Wellenfunktion geführt hat.
Hat jemand einen hilfreichen Tipp?
Liebe Grüße |
|
 |
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18065
|
| TomS Verfasst am: 09. Jun 2018 14:57 Titel: |
|
|
Zunächst mal ist deine Antisymmetrisierung falsch. Bei dir kommt rechts Null raus.
Der Grundzustand des Einteilchen-Systems ist n=1. Der des Zweiteilchensystems wäre m,n = 1,1. Dieser fällt jedoch wg. Antisymmetrisierung weg. Der nächstmögliche Zustand ist m,n = 1,2 bzw. 2,1. Diese beiden Möglichkeiten musst du in die Antisymmetrisierung reinstecken.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
|
| Aristo Verfasst am: 09. Jun 2018 15:38 Titel: |
|
|
Im Skript wird die Antisimmetrie bei n ungleich m = 0 gesetzt.
Wäre der Ansatz so also korrekt:
 = Asin (-k a/2) +B cos (-k a/2) = 0 )
Hier =0 weil die Wellenfunktion nicht aus dem Kasten 'raustunneln' darf, da die Wände unendlich hoch sind.
Weiter also:
 )
In Antisymmetrie einsetzen:
= \frac{1}{\sqrt{2}}(Asin(\pi)Asin(2\pi)-Asin(\pi) A sin(2\pi)) ) |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18065
|
| TomS Verfasst am: 09. Jun 2018 15:52 Titel: |
|
|
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | Im Skript wird die Antisymmetrie bei n ungleich m = 0 gesetzt.
|
Verstehe ich nicht.
Antisymmetrie besagt, dass für n gleich m Null herauskommt.
Ich meinte, dass
| Aristo hat Folgendes geschrieben: |
 = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_{n}(\vec{r_{1}}) \psi_{m}(\vec{r_{2}}) - \psi_{n}(\vec{r_{1}}) \psi_{m}(\vec{r_{2}})) ) |
falsch ist.
Es muss
 = \frac{1}{\sqrt{2}} (\psi_{n}(\vec{r_{1}}) \psi_{m}(\vec{r_{2}}) - \psi_{m}(\vec{r_{1}}) \psi_{n}(\vec{r_{2}})) )
lauten.
In Worten: im ersten Term ist das 1. Teilchen im Zustand n, das 2. im Zustand m; im zweiten Term ist das 1. Teilchen im Zustand m, das 2. im Zustand n.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
|
| Aristo Verfasst am: 09. Jun 2018 16:23 Titel: |
|
|
Okay. Dann bekommt Teilchen 1 die Amplitude A zugeschrieben und Teilchen 2 die Amplitude B. Wäre die Antsymmetrie dann richtig mit:
=1/\sqrt{2}(Asin(pi) Bsin (2pi)- Asin(2pi)Bsin(pi)) )
? Wenn psi(1,2) die Wellenfunktion des Zustndes für n=1 und m=2 angibt und die Ununterscheidbarkeit gilt, könnte man dann sagen, dass das die gesucht Wellenfunktion ist? |
|
|
TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18065
|
| TomS Verfasst am: 09. Jun 2018 16:53 Titel: |
|
|
Das kann nicht sein.
Links steht korrekterweise eine Wellenfunktion in den beiden Variablen r_1 und r_2, rechts steht nur eine nur eine Konstante ohne r-Abhängigkeit. Du hast hier schon irgendetwas eingesetzt.
Ganz von vorne:
Der Ansatz für die Einteilchen-Lösung lautet
 = Ae^{ikx}+ Be^{-ikx} )
Nun musst du die Randbedingungen für das Potential einführen und die erlaubten k-Werte bestimmen.
Wie lauten dann A und B sowie k für die ersten beiden Zustände n = 1,2 in deinem Potential?
Wie lauten die beiden Lösungen für n = 1,2
, \, \psi_{n=2}(x))
d.h. die Einteilchen-Wellenfunktionen für den Grund- und den ersten angeregten Zustand?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
|
|
Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
|
| Aristo Verfasst am: 11. Jun 2018 19:27 Titel: |
|
|
Kommt man dann auf folgende Antisymmetrie?
=\frac{1}{\sqrt{2}}(Ae^{\frac{-2i\pi x_{1}}{a}}Be^{\frac{-4i\pi x_{2}}{a}}-Ae^{\frac{-4i\pi x_{2}}{a}}Be^{\frac{-2i\pi x_{2}}{a}})
<br />
) |
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
