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Gast
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 Gast Verfasst am: 23. Mai 2006 18:13 Titel: Rotation eines Kraftfeldes |
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Hi!
Ich habe ein Problem in theo:
Ich habe für das Kraftfeld F(r)=-y/(x^2+y^2)e,x + x/(x^2+y^2)e,y die Rotation berechnet, und sie verschwindet. Skizziert man aber das Feld für die x-y Ebene, so sieht man, dass es sehr wohl ein Wirbelfeld ist und ganz sicher kein konservatives Kraftfeld, und es gilt doch (rotF=0)<=>(F ist konservaiv), oder irre ich mich da? |
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 23. Mai 2006 18:39 Titel: |
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Huhu!
Das wäre ja ein Indiez dafür, dass du dich verrechnet hast 
Also bei mir fallen erstmal bei ) erstmal die ersten beiden Komponenten weg, weil da immer ne Ableitung nach z steht oder  mit drin, was alles Null gibt weil Null ist bzw der Rest nicht von z abhängt.
Und für die dritte Komponente krieg ich:
Was man dann noch ausrechnen müsste  Aber imo gibt der nicht Null.
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 23. Mai 2006 19:22 Titel: |
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hallo!
Ja, das hatte ich auch raus, aber wenn man die ableitungen nach quotientenregel bildet, kriegt man doch
-2*x^2)}{(x^2+y^2)^2} + \frac{((x^2+y^2)-2*y^2)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{(2*(x^2+y^2)-2x^2-2y^2)}{(x^2+y^2)^2}=0)
,oder? Vielleicht hab ich das mit dem Differenzieren aber auch irgendwie versemmelt...
[Ich hab mal Latex aus der Formel gemacht, das liest sich besser, Gruß, dermarkus] |
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 23. Mai 2006 19:34 Titel: |
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Hmm, hast recht (hab mich beim ableiten vertüdelt ^^)
Dann scheint se ja doch wohl konservativ zu sein, wieso das nu nicht mit der Anschauung übereinstimmt, weiß ich allerdings auch nicht 
Edit: Nur noch mal zur weiteren Bestätigung, dass die Kraft konservativ ist: Du kannst hier auch ein Potential finden mit  und zwar hier 
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne.
Zuletzt bearbeitet von navajo am 23. Mai 2006 19:44, insgesamt einmal bearbeitet |
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dermarkus
Administrator
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Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Mai 2006 19:43 Titel: |
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Hallo Gast,
Bei deiner Rechnung hast du dich nicht verrechnet. Du hast als Ergebnis erhalten, dass für alle Punkte außer dem Ursprung die Rotation des Kraftfeldes Null ist.
Für den Ursprung selber sind die Ausdrücke in deiner Rechnung ja nicht definiert, weil da der Nenner Null wird.
Also kannst du die Rotation dieses Kraftfeldes für den Ursprung nicht auf dem direkten Weg ausrechnen, den du gegangen bist.
Ein Weg, der zum Ziel führt, verwendet den Satz von Stokes: Die Rotation um den Ursprung ist gleich dem Linienintegral über eine geschlossene Kurve, die um den Ursprung herumführt. Und damit wirst du für die Rotation um den Ursprung ein Ergebnis erhalten; und dieses Ergebnis wird ungleich Null sein, wie du bereits zeichnerisch herausgefunden hast. |
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 23. Mai 2006 19:48 Titel: |
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das wär dann ja quasi Konservativ für  , wär ja mal lustig. Aber es gibt ja ein Potential was ja eigentlich Konservativ bedeutet. Vll müsst man das mal mit dem Satz von Stokes wirklich ausrechnen.
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Mai 2006 20:22 Titel: |
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Ich zitiere mal aus
http://www.ieap.uni-kiel.de/solid/ag-magnussen/physik1/Kap2/Kap2-9.htm
"Als konservatives Kraftfeld bezeichnet man ein Kraftfeld, für das die Arbeit unabhängig vom gewählten Weg ist."
Sobald also die Rotation eines Kraftfeldes auch nur für einen einzigen Punkt des Raumes ungleich Null ist, ist das Kraftfeld nicht mehr konservativ. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 23. Mai 2006 20:29 Titel: |
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Vielen Dank, ihr habt mir sehr geholfen! |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 23. Mai 2006 20:32 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
Ein Weg, der zum Ziel führt, verwendet den Satz von Stokes: Die Rotation um den Ursprung ist gleich dem Linienintegral über eine geschlossene Kurve, die um den Ursprung herumführt. Und damit wirst du für die Rotation um den Ursprung ein Ergebnis erhalten; und dieses Ergebnis wird ungleich Null sein, wie du bereits zeichnerisch herausgefunden hast. |
Hmm das versteh ich noch nicht so ganz. Ist die Rotation selbst direkt das Linienintegral um diese geschlossene Kurve um den Ursprung? Ich mein Satz von Stokes im R^3 ist ja sowas:
Wo dann  eine Fläche und  deren Rand sein soll und  ne Kurve entlang des Rands.
Aber wir argumentiert man denn dann?
Nagut man kann einfach mal entlang einer geschlossenen Kurve integrieren und dann sieht man, dass es nicht konservativ ist.
Aber trotzdem verschwindet die Rotataion ja überall, streng genommen ist das Kraftfeld am Nullpunkt ja nicht definiert, von daher brauchen wir den ja eigentlich auch nicht betrachten. Aber wie passt das dann zusammen?
Oder galt nur F konservativ -> 
aber nicht umgekehrt? *verwirrtbin*
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dermarkus
Administrator
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Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Mai 2006 20:40 Titel: |
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Stimmt, der Satz von Stokes ist so richtig.
Also:
| navajo hat Folgendes geschrieben: | | Ist die Rotation selbst direkt das Linienintegral um diese geschlossene Kurve um den Ursprung? |
Ja.
Dass die Rotation in unserem Kraftfeld nicht verschwindet, sehen wir ja direkt schon durch Aufzeichnen. Unsere erste Rechnung hat als Resultat nur Null/Null ergeben, das kann noch alles mögliche heißen.
Sobald wir z.B. den Mathematikern einfach glauben, dass der Satz von Stokes stimmt , können wir tatsächlich auch ausrechnen, dass die Rotation im Ursprung nicht gleich Null ist. |
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navajo
Moderator
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| navajo Verfasst am: 23. Mai 2006 20:54 Titel: |
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Aber wie macht man das denn konkret? Wir haben ja mit dem Satz von Stokes ja nur ne Aussage über das Integral über die Rotation und nicht für die Rotation direkt selbst.
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
| navajo hat Folgendes geschrieben: | | Ist die Rotation selbst direkt das Linienintegral um diese geschlossene Kurve um den Ursprung? |
Ja. |
Und das versteh ich auch noch nicht ganz. Also bei dem Integral müsst doch ne Zahl rauskommen und kein Vektor, oder? Und wie kann dann die Rotation das Linineintegral sein, und das Integral über die Rotation auch? Ich glaub irgendwas versteh ich falsch
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 23. Mai 2006 21:05 Titel: |
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Ich hab das eigentlich nur kurz überflogen und war zu faul nachzurechnen. Aber eigentlich verstehe ich unter der "Rotation" einen Vektor, und nicht das Linienintegral. Vielmehr ist doch das Flächenintegral über den Rotationsvektor gleich dem Linienintegral über den Rand dieser Fläche - oder ??
Daher verstehe ich auch nicht den Ausdruck: "die Rotation UM einen Punkt", da die Rotation doch AN einem Punkt definiert ist.
Aber vielleicht gibt es hier auch einen kleinen Bezeichnungskonflikt in der Literatur...
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Mai 2006 21:16 Titel: |
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Die Formulierung von Schnudl ist natürlich die korrekte und exakte.
In unserem speziellen Fall bedeutet das: das Linienintegral über eine geschlossene Kurve um den Ursprung ist gleich dem Betrag der Rotation im Ursprung, denn alle anderen Punkte der von der Kurve umschlossenen Integrationsfläche tragen nichts zum Integral bei.
Und mit "Rotation um einen Punkt" wollte ich keine neue Bezeichnungsweise einführen, ich meinte damit genau dasselbe wie "in einem", "an einem" oder "für einen" Punkt. |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
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| navajo Verfasst am: 23. Mai 2006 21:50 Titel: |
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Hmm, ich glaub nu isses mir einigermassen klar
Oder kannst du noch zufällig nen Beweis aus dem Ärmel schütteln warum der Betrag der Rotation am Ursprung gleich dem Linienintegral um die geschlossene Kurve um dem Urpsrung ist? ^^
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 23. Mai 2006 22:28 Titel: |
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Danke fürs Nachfragen, da war bei mir noch ein Fehler in der Aussage!
| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
In unserem speziellen Fall bedeutet das: das Linienintegral über eine geschlossene Kurve um den Ursprung ist gleich dem Betrag der Rotation im Ursprung, denn alle anderen Punkte der von der Kurve umschlossenen Integrationsfläche tragen nichts zum Integral bei.
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Ich hatte mir dabei folgendes gedacht:
Das liegt einfach an der Kombination von Stokesschem Satz und der Tatsache, dass wir oben schon herausgefunden haben, dass die Rotation für alle Stellen außer dem Ursprung Null ist.
Und wenn ich weiterdenke, bedeutet das:
Also ist der Wert des gesamten Flächenintegrals gleich dem Produkt des infinitesimal kleinen (vektoriellen) Flächenelements am Ursprung mal dem Vektor "Rotation des Kraftfeldes".
Also besitzt die Rotation im Ursprung eine Singularität, der Vektor ist dort unendlich lang.
Also war das, was ich oben über den Betrag der Rotation gesagt habe, nicht richtig, denn die Größe des Flächenelements am Ursprung ist ja nicht eins, sondern infinitesimal klein.
Das, was man tatsächlich ausrechnen kann, ist das Flächenintegral der Rotation über eine Fläche, die den Ursprung einschließt (nämlich mit dem Stokesschen Satz); der Betrag der Rotation dagegen ist für unser gegebenes Kraftfeld im Ursprung unendlich groß. |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 24. Mai 2006 00:33 Titel: |
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@Gast:
Dein Feld ist übrigens im wesentlichem das Magnetfeld eines stromdurchflossenen unendlich langen Drahtes.
Ich hatte heute Nachmittag zufällig mal in meinem altem Analysis 2 Script zu dem Thema nachgeschaut und wie das so üblich ist, machen die Mathematiker alles etwas komplizierter 
In meinem Script stand ungefähr folgendes:
Def: Ein Gebiet  ist Sternförmig, wenn in diesem Gebiet ein Punkt
 existiert, so dass die Verbindungsstrecke von zu jedem beliebigen Punkt  vollständig in  liegt.
Def: Ein Gebiet  heißt einfach, wenn es einen  Diffeomorphismus gibt, der auf ein Sternförmiges Gebiet abbildet.
Satz: Verschwindet die Rotation eines Vektorfeldes, dass auf einem einfachem Gebiet definiert ist, existiert ein Potential zu diesem Vektorfeld.
Dann kam noch der Beweis, der war etwas länger, basierte auf dem Stokschem Satz, und ich spare mir den hier mal.
Vom Prinzip her heißt das nichts anderes, als dass das betrachtete Gebiet keine Löcher haben darf, damit aus der Rotationsfreiheit folgt, das das Kraftfeld Konservativ ist. Ansonsten muss man noch zeigen, das irgendein geschlossenes Kurvenintegral um das Loch herum Null ist. |
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