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Formel für Erhaltungsgröße -- Verständnisfrage
 
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PHBU



Anmeldungsdatum: 13.01.2017
Beiträge: 6

Beitrag PHBU Verfasst am: 12. Mai 2018 20:12    Titel: Formel für Erhaltungsgröße -- Verständnisfrage Antworten mit Zitat

Hallo Forumnutzer,


wir haben machen an der Uni gerade den Lagrange-Formalismus und das Noether-Theorem. Ich habe aber Verständnisprobleme zur Formel für die Erhaltungsgrößen. Diese lautet laut unserer Vorlesung:



Außerdem wird erwähnt:




Ich verstehe nicht, wie man die Formel für I allgemein anwendet, wenn man ein physikalisches Problem beschreiben will.

Angenommen ich stelle die Lagrange-Funktion für ein massebehaftetes Teilchen in einem potenzialfreien Raum auf. Diese würde lauten:



Was muss ich jetzt für Psi und X nun einsetzen, damit eine Erhaltungsgröße herauskommt und wieso? Und für was stehen dann Psi und X? Haben sie immer feste physikalische Einheiten? Als Erhaltungsgröße sollte ja hier eigentlich die Energie und der Impuls herauskommen.

Wie muss ich die Formel für I anwenden, um die Erhaltungsgröße zu erhalten?


Vielen Dank im Voraus!


Mit freundlichen Grüßen
PHBU
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 13. Mai 2018 10:41    Titel: Antworten mit Zitat

Ich glaube dir fehlt in erster Linie ein grundlegendes Verständnis für das Noether-Theorem.

Dieses behauptet einen Zusammenhang zwischen dem Vorliegen einer kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung und der Existenz einer Erhaltungssgröße. Genauer gesagt gehört zu jeder einparametrigen Symmetrie eine Erhaltungsgröße und umgekehrt. Die Symmetrien kann man der Wirkung oft ansehen und die Erhaltungssgrößen erleichtern dann die Integration der Bewegungssgleichungen. Darin besteht, kurz gesagt, die praktische Bedeutung des Theorems.

Die Einzelheiten dieses Zusammenhangs kann man aber in einem Forumsbeitrag nicht erschöpfend behandeln. Dazu müßtest du dein bevorzugtes Buch über theoretische Mechanik zurate ziehen. Ansonsten gibt es noch ein sehr hübsches Buch von Dwight Neuenschwander namens "Emmy Noether's Wonderful Theorem", das, glaube ich, im wesentlichen alles erklärt, was man für die theoretische Mechanik Vorlesung über das Thema wissen muß. Ich empfehle dir mal einen Blick hineinzuwerfen.

PHBU hat Folgendes geschrieben:

Angenommen ich stelle die Lagrange-Funktion für ein massebehaftetes Teilchen in einem potenzialfreien Raum auf. Diese würde lauten:



Was muss ich jetzt für Psi und X nun einsetzen, damit eine Erhaltungsgröße herauskommt und wieso? Und für was stehen dann Psi und X? Haben sie immer feste physikalische Einheiten? Als Erhaltungsgröße sollte ja hier eigentlich die Energie und der Impuls herauskommen.


Dabei handelt es sich um die Generatoren der Symmetrietransformation. (Oft findet man auch die Bezeichnungen und .) Die Lagrangefunktion (und damit die Wirkung) ist z.B. invariant unter Translationen



d.h. in diesem Fall wäre und . Da bereits die Lagrangefunktion invariant ist, ist in diesem Falle auch .

Damit folgt durch Einsetzen einfach



d.h. bei der zur Translationsinvarianz gehörigen Erhaltungsgröße handelt es sich um den Impuls. Die Zeittranslation



ist ebenfalls eine Symmetrie. Welche Erhaltungsgröße gehört dazu?
PHBU



Anmeldungsdatum: 13.01.2017
Beiträge: 6

Beitrag PHBU Verfasst am: 13. Mai 2018 12:08    Titel: Vielen Dank für die ersten Einblicke Antworten mit Zitat

Hallo index_razor,


danke für deine Antwort!

Ich werde mich mal nach deiner Buchempfehlung umschauen.
Ich geb zu, dass das Verständnis für mich noch nicht noch nicht richtig greifbar ist. Man erkennt zwar eine gewisse Eleganz, da der Lagrange-Formalismus physikalische Erkenntnisse, wie die Impulserhaltung, durch Einsetzen der vorhandenen Energien hervorruft, aber ein physikalisches Problem zu betrachten und dies 1:1 auf den Lagrange-Formalismus und auf Noether-Theorem zu übertragen fällt mir noch schwer.


Danke nochmal!


Mit freundlichen Grüßen
PHBU
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