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Tycho
Gast
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 Tycho Verfasst am: 23. Sep 2017 20:16 Titel: Fliehkraft vs Schwerkraft |
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Meine Frage:
Hallo Freunde/innen der Physik.
Ich hab da mal eine Frage und bitte hiermit höflich um eine möglichst verständliche, oder vielleicht simple Antwort.
Wie immer hab ich versucht herauszubekommen, on jemand jemals schon einmal und irgendwo hier, diese Frage gestellt hat und wurde leider nicht fündig.
Meine Überlegung ist folgende:
Die Erde krümmt mit ihrer Masse den Raum und erzeugt dadurch Schwerkraft. Sie rotiert dabei um ihre eigene Achse, mit über 1600Km/h soweit ich weiß.
Meine Ideen:
Frage: Wie schnell muss die Erde um ihre eigene Achse rotieren, damit die Fliehkraft die Schwerkraft besiegt und wir alle in den Weltraum geschleudert werden.
Nicht, dass das jemals passieren würde, aber ich dachte: Frag mal, bevor dich die Ungewissheit auffrisst.
Danke für eure Antworten. LG Tycho
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 23. Sep 2017 20:47 Titel: |
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Ist ganz einfach
Die Fliehkraft muss gerade so groß sein wie die Erdbeschleunigung
(am Äquator)
Da kommt man auf 90min pro Tag
gerade so lang wie ein Flug in der Erdumlaufbahn
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 23. Sep 2017 22:49 Titel: |
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| xb hat Folgendes geschrieben: |
Da kommt man auf 90min pro Tag |
So einfach ist das leider nicht. Da die Erde sich durch die Rotation verformt, sind g und R von v abhängig.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Sep 2017 11:21 Titel: |
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| xb hat Folgendes geschrieben: | | Da kommt man auf 90min pro Tag |
Was ist denn das für ein seltsames (dimensionsloses) Verhältnis? War hier nicht nach der (Winkel-)Geschwindigkeit gefragt?
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 24. Sep 2017 14:53 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | xb hat Folgendes geschrieben: | | Da kommt man auf 90min pro Tag |
Was ist denn das für ein seltsames (dimensionsloses) Verhältnis? |
Das ist nicht dimensionslos.
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | War hier nicht nach der (Winkel-)Geschwindigkeit gefragt? |
Diese Frage wird mit der Länge eines Tages erschöpfend beantwortet.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 24. Sep 2017 17:15 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Das ist nicht dimensionslos. |
Minute hat die Dimension Zeit, Tag hat die Dimension Zeit, Minute pro Tag ist demzufolge dimensionslos.
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Duke711
Anmeldungsdatum: 26.01.2017
Beiträge: 434
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| Duke711 Verfasst am: 24. Sep 2017 20:25 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | xb hat Folgendes geschrieben: |
Da kommt man auf 90min pro Tag |
So einfach ist das leider nicht. Da die Erde sich durch die Rotation verformt, sind g und R von v abhängig. |
Doch so einfach ist das aber.
Der Erdmantel ist aus zähem Gestein und verform sich gerade mal um 1 - 1,5 Promill ~ 8 Km.
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Duke711
Anmeldungsdatum: 26.01.2017
Beiträge: 434
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| Duke711 Verfasst am: 24. Sep 2017 21:07 Titel: |
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Und wenn man mal den Steigungsverlauf der Fallbeschleunigung betrachtet, stellt man fest, dass diese alles andere als proportional zum Erdradius ist, gerade im dichtem Gestein. Da würde die Verformung keine Auswirkungen haben
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 25. Sep 2017 19:25 Titel: |
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| Duke711 hat Folgendes geschrieben: | | Der Erdmantel ist aus zähem Gestein und verform sich gerade mal um 1 - 1,5 Promill ~ 8 Km. |
Die Verformung ist bereits jetzt größer. Am Äquator ist die Erde über 21 km dicker als am Pol. Wie kommst Du auf die Idee, dass die Verformung bei drastisch erhöhter Rotationsgeschwindigkeit kleiner wird?
| Duke711 hat Folgendes geschrieben: | | Und wenn man mal den Steigungsverlauf der Fallbeschleunigung betrachtet, stellt man fest, dass diese alles andere als proportional zum Erdradius ist, gerade im dichtem Gestein. Da würde die Verformung keine Auswirkungen haben |
Rechne uns das doch bitte mal vor.
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Duke711
Anmeldungsdatum: 26.01.2017
Beiträge: 434
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| Duke711 Verfasst am: 25. Sep 2017 20:02 Titel: |
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Wo habe ich das behauptet?
Ich habe geschrieben, dass bei einer Erhöhung der Rotationsgeschwindigkeit von 1/1140 min. auf 1/90 min. die Verformung des Erdmantels um 8 Km zunimmt.
Und somit dieser Effekt ganz sicher zu vernachlässigen ist. Und somit die Aussage von "xb" richtig ist.
Nachtrag:
Schau Dir mal das Diagramm an. Da wirst Du festellen das erhebliche Höhenunterschiede von bis zu 2300 km mal überhaupt mal keine nennenswerten Auswirkungen haben, von 9.8 auf 10, 10.05, 9.95.
Natürlich sind die 8 Km nicht wirklich praxis tauglich, wegen eines inhomogen Schwerefeldes. Aber der Mantel verformt sich aber auch um keine 100 Km. Sitchwort "Youngmodulus und Verfestigung".
Außerdem ist das Schwerefeld im übrigen höchst dynamisch und somit die Erdform.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 25. Sep 2017 22:19 Titel: |
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| Duke711 hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe geschrieben, dass bei einer Erhöhung der Rotationsgeschwindigkeit von 1/1140 min. auf 1/90 min. die Verformung des Erdmantels um 8 Km zunimmt. |
Selbst mit der völlig unrealistischen Annahme, dass die gesamte Masse im Zentrum konzentriert ist, komme ich zu einer Deformation von 3400 km. Die Rechnung ist in diesem Fall ganz simpel: Das Potential muss an Pol und Äquator gleich sein. Das heißt
Wenn das Gesamtvolumen konstant bleibt (was in der Realität auch nicht der Fall wäre) und der Gleichgewichtskörper ein Rotationsellipsoid ist (was zu beweisen wäre), dann gilt zusätzlich
wobei ro der Radius der nicht rotierenden Erde ist. Zusammen ergibt das den Äquatorradius
Wenn man da eine Rotationsperiode von 90 Minuten einsetzt, dann erhält man eine Anhebung des Äquators um 1400 km und eine Absenkung der Pole um jeweils 2000 km. Mit der tatsächlichen Masseverteilung wird das ganz sicher noch schlimmer. Bei der realen Erde liefert obige Rechnung beispielsweise nur die Hälfte des tatsächlichen Wertes.
Angesichts dieser Werte kann ich Dein 8 km nicht nachvollziehen. Wie kommst Du darauf?
| Duke711 hat Folgendes geschrieben: | | Schau Dir mal das Diagramm an. Da wirst Du festellen das erhebliche Höhenunterschiede von bis zu 2300 km mal überhaupt mal keine nennenswerten Auswirkungen haben, von 9.8 auf 10, 10.05, 9.95. |
Was sollen mir diese Werte aus dem Inneren der normal rotierenden Erde sagen?
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Duke711
Anmeldungsdatum: 26.01.2017
Beiträge: 434
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| Duke711 Verfasst am: 26. Sep 2017 00:59 Titel: |
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Ja stimmt, 1400 km.
Aber wie kommst Du wiederrum darauf, dass diese 1400 Km nenneswerte Auswirkungen auf die Fallbeschleunigung haben sollten?
Die Manteldichte steigt von 100 bis -2300 km gerade mal von 4,0 auf 4,5 g/cm³.
Trotzdem ändert sich der Wert der Fallbeschleuningung kaum. Der Faktor von der Radiusminderung übersteigt dem deutlich der Dichtezunahme.
>- 2300 km steigt die Dichte sogar rapide auf 10 g/cm³ an. Und jetzt plötzlich macht sich der Radius bemerkbar?
Es ist doch offensichtlich das r² hier absolut keine Gültigkeit hat und r eine sehr minimale.
Noch offensichtlicher wird es wenn man sich mal dazu den Dichteverlauf anschaut.
Wenn r nach Newton wirklich eine hauptsächliche Rolle spielen würde. Dann müsste der Gravitationsverlauf mit einer inhomogenen Dichte ein Polynom sein. Aber ganz sicher keine Gerade ohne erkannbare Steigung (außer minimalen Schwankungen)
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 26. Sep 2017 19:33 Titel: |
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| Duke711 hat Folgendes geschrieben: | Aber wie kommst Du wiederrum darauf, dass diese 1400 Km nenneswerte Auswirkungen auf die Fallbeschleunigung haben sollten?
Die Manteldichte steigt von 100 bis -2300 km gerade mal von 4,0 auf 4,5 g/cm³.
Trotzdem ändert sich der Wert der Fallbeschleuningung kaum. |
Was hat die Fallbeschleunigungen im Inneren der langsam rotierenden Erde mit der Fallbeschleunigung auf der Oberfläche einer schnell rotierenden Erde zu tun? Es geht hier nicht um ein 1400 km tiefes Loch am Äquator, sondern um die Anhebung des kompletten Äquators um 1400 km. Dadurch entfernt sich jeder Punkt des Äquators von allen anderen Punkten der Erde, was zwangfsläufig zu einer Verringerung der Anziehung führt. Anders als im Inneren der Erde gibt es an der Oberfläche keinen Effekt der in die andere Richtung wirkt.
Für den einfachen Fall, dass man sich die gesamte Masse kugelsymmetrisch unter der Oberfläche verteilt denkt, folgt die Fallbeschleunigung exakt dem Newtonschen Gravitationsgesetz und an der Grenze der Stabilität gilt
Eingesetzt in die obige Gleichung für die Ablattung des Rotatiosellipsoiden folgt daraus eine Grenzgeschwindigkeit von
Das führt bei der Erde zu einer minimalen Rotationsperiode von 103 Minuten mit einer Anhebung des Äquators um rund 920 km und einer Absenkung der Pole um 1500 km.
Verzichtet man zudem auf die Zwangbedingung eines Rotationsellipsoiden und berechnet die tatsächliche Form des Rotationskörpers (der eher wie eine Linse aussieht), dann erhöht sich die minimale Dauer der Rotationsperiode auf 115 Minuten mit einer Anhebung des Äquators um 1450 km und einer Absenkung der Pole um 1160 km. Das sieht ungefähr so aus wie in dem Bild unten.
Mit der realen Masseverteilung der Erde wird sich die minimale Rotationsdauer noch einmal erhöhen. Das zeigen Abschätzungen für einen homogenen Rotationsellipsoiden, bei dem die Rotationsperiode bei rund 140 Minuten liegen würde. Da der tatsächliche Gleichgewichtskörper weder ein Ellipsoid noch homogen ist, wird das korrekte Ergebnis zwar anders aussehen, aber es liegt ganz sicher über 115 Minuten.
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Duke711
Anmeldungsdatum: 26.01.2017
Beiträge: 434
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| Duke711 Verfasst am: 27. Sep 2017 00:57 Titel: |
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Das kann ich Dir nicht beantworten.
Auf jeden Fall ist das Wirken der Erdbeschleuningung ab der Erdkruste sehr eigenartig.
Erklärungen?
Um welche Wert würde nach Deiner Rechnnung bei den 1400 Km der Faktor g dann nun genau abgemindert werden?
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 27. Sep 2017 19:11 Titel: |
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| Duke711 hat Folgendes geschrieben: | | Auf jeden Fall ist das Wirken der Erdbeschleuningung ab der Erdkruste sehr eigenartig. |
Nicht wenn man die Dichteverteilung kennt und weiß wie sich die Fallbeschleunigung daraus ergibt.
| Duke711 hat Folgendes geschrieben: | | Erklärungen? |
Das Stichwort heißt Schalentheorem: Eine Kugelschale übt auf Körper in ihrem Inneren keine Gravitationskräfte aus. Das heißt, dass man bei der Berechnung der Fallbeschleunigung in einer bestimmten Tiefe alles ignorieren kann, was weiter vom Mittelpunkt entfernt ist. Und weil das Gravitationsfeld außerhalb einer kugelsymmetrischen Masseverteilung dem einer gleich großen Punktmasse in ihrem im Zentrum entrspricht, kann die Gravitation der verbleibenden Masse mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnet werden.
Weil das aber nur im Inneren einer Masseverteilung relevant ist, hat das nichts mit dem Thema dieser Diskussion zu tun.
| Duke711 hat Folgendes geschrieben: | | Um welche Wert würde nach Deiner Rechnnung bei den 1400 Km der Faktor g dann nun genau abgemindert werden? |
Da ich mit dem Gravitationsfeld außerhalb einer kugelsymmetrischen Verteilung gerechnet habe, verringert sich die Fallbeschleunigung bei einer Anhebung um 1400 km auf 6,6 m/s². Bei einer Rotationsperiode von 90 Minuten würde die Zentrifugalbeschleunigung in dieser Entfernung dagegen schon bei 10,5 m/s² liegen. So schnell kann die Erde also gar nicht rotieren.
Weil sich die reale Erde aufgrund der Rotation nicht mehr wie eine Punktmasse verhält, wäre die Berechnung der tatsächlichen Fallbeschleunigung so kompliziert, dass ich mir das hier ganz sicher nicht antun werde. Der Vergleich mit dem Wert für homogene Rotationsellipsoiden zeigt aber, dass die Rotationsgeschwindigkeit an der Stabilitätsgrenze noch kleiner wäre als nach meiner obigen Rechnung.
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Tycho_2
Gast
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| Tycho_2 Verfasst am: 19. Dez 2021 20:20 Titel: Kruste mit Rissen |
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Erst einmal einen ganz herzlichen Dank an alle, die sich so leidenschaftlich an der Beantwortung dieser Frage beteiligt haben.  Ihr rockt!
Mir ist aufgefallen, dass eine Sache hier aber nie Erwähnung fand. Die Erde hat eine Kruste mit Rissen! Wäre es nicht auch denkbar, dass sie bei entsprechend hoher Rotationsgeschwindigkeit schon viel früher auseinanderfliegt?
Auch wenn wir uns auf unserer lieben Mutter Erde mit ca. 1680 km/h bewegen, bzw. mitbewegen, merken wir davon absolut nichts. Auch die Luft wird in dieser Geschwindigkeit mitgerissen und lediglich die Temperaturschwankungen und Verwirbelungen, scheinen die herrschenden Winde zu erzeugen. Die Rotationsgeschwindigkeit scheint unter anderem auch für die maximal mögliche Geschwindigkeit von Wirbelstürmen auf der Erde verantwortlich zu sein.
Rein Mathematisch sehe ich die Frage jedoch beantwortet und dafür bin ich überaus Dankbar.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 19. Dez 2021 21:27 Titel: Re: Kruste mit Rissen |
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| Tycho_2 hat Folgendes geschrieben: | | Mir ist aufgefallen, dass eine Sache hier aber nie Erwähnung fand. Die Erde hat eine Kruste mit Rissen! Wäre es nicht auch denkbar, dass sie bei entsprechend hoher Rotationsgeschwindigkeit schon viel früher auseinanderfliegt? |
Nein. Die Beschaffenheit der Erdkruste spielt keine Rolle. Ob sie sich löst, hängt nur von der Gravitation an der Oberfläche ab und auf die hat sie keinen nennenswerten Einfluss.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 20. Dez 2021 17:43 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Exakte Lösungen sind bereits für homogene Dichte nicht-trivial |
Wenn die Dichte nicht homogen ist, dann geht es wohl nur numerisch. Ich hab das mal für Haumea durchgrechnet. Mit den Daten von Ortiz 2017 und der Annahme eines großen Gesteinskerns komme ich damit auf eine Lösung die sehr nahe an der Stabilitätsgrenze liegt (siehe Anhang). Wenn das zutrifft, dann ist das Thema dieser Diskussion nicht nur akademisch. Wir hätten im Sonnensystem ein praktisches Beispiel für eine derart extreme Rotation (sogar mit einem Ring in 1:3-Resonsanz).
| Beschreibung: |
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| Angeschaut: |
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