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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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 bloebb Verfasst am: 24. Jul 2017 10:34 Titel: Mathe "Arbeit" |
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Hallo, ich habe leider noch Probleme mit Mathe.
Z. B. integrieren.
Gewohnt bin ich folgende Schreibweise:
Ein Integral besteht einerseits aus dem Zeichen  , andererseits aus der Info, wonach integriert werden soll, in diesem Fall: dt. Das Ergebnis wäre:
In diesem Fall erhält man das Integral nach dt durch
Das dt ist nur eine Zusatzinfo zum Integral. Mit dt wird nicht gerechnet, es zeigt nur an, wonach integriert werden soll. Und das ist auch gut so. Denn wenn das  gegen 0 geht, hätte dt den Wert 0. Würde man damit rechnen, hätte man nach dem Integral immer 0 stehen. Da das dt nur eine Zusatzinfo ist, würde ich es hier gerne als "Metainfo" bezeichnen.
Nun gibt es in der Physik ein Integral zur "Arbeit":
Siehe https://www.youtube.com/watch?v=lmcanvFu2wA 1:05:15 Uhr. W ist die Arbeit,  die Kraft und  der Ortsvektor.
Betrachtet man die Einheiten, steht links N * m und rechts ebenfalls N * m. Passt also.
Das Problem, das ich nun mit dieser Formel habe, ist, dass mir die Metainfo fehlt, die mir angibt, wonach ich ableiten soll.
Bei Kurvenintegralen schreibt man auch gerne ein ds hin, man also nach der Strecke ableiten soll, wobei s für die Strecke steht. s hat als Einheit m (Meter). Schreibe ich das in der Formel hinzu, erhalte ich:
Jetzt stimmen aber die Einheiten nicht mehr. Das seltsame mit dieser Metainfo ist nämlich, dass sie keinen Wert hat, sehr wohl aber eine Einheit. In diesem Fall: m. Somit habe ich rechts stehen:  . Das passt jetzt nicht mehr mit der linken Seite überein.
Wie muss ich diese Formel also nun lesen? Ist  nicht das, womit ich innerhalb des Integrals rechnen soll, sondern stellt es die Metainformation dar, wonach ich ableiten soll? Was wäre dann der Inhalt des Integrals? 1?
Das wäre demnach ein Integral, das nach abgeleitet werden soll. Aber das widerspricht dem, was ich zuvor hingeschrieben habe. Dass nämlich die Metainfo keinen Wert haben darf.
Also ich bin echt durcheinander. Könnt ihr mir weiterhelfen? |
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 24. Jul 2017 10:58 Titel: |
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Das ist keine "Metainformation". dt hat Einheit s, dr hat Einheit m. Mathematiker fangen da oft das Hyperventilieren an, aber es ist m. E. vollkommen ok, wenn du dir dsonstwas als ein klitzekleines Stückchen sonstwas vorstellst.  ist also ein Wegvektor. Beliebig kurz, aber ein Wegvektor.
Wenn du stattdessen mit ds arbeiten willst, dann kannst du als Produkt eines normierten, einheitenlosen Richtungsvektors  mit ds ersetzen:
 .
 ist dann die Kraftkomponente in Kurvenrichtung. |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 24. Jul 2017 11:41 Titel: |
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Vielen Danke für deine Antwort, allerdings weiß ich damit nicht recht viel anzufangen. Ich habe übrigens dazugeschrieben bei meiner Frage, dass das, wonach ich integriere, eine Einheit hat.
Ist deiner Meinung nach die Schreibweise OK, die der Professor verwendet? Oder sollte man es anders anschreiben? Muss das Skalarprodukt als das interpretiert werden, womit innerhalb des Integrals gerechnet wird, oder soll es als Info dienen, wonach integriert werden soll? Wenn die Schreibweise des Profs nicht OK ist, welche anderen Schreibweisen (bitte ganz hinschreiben, sonst muss ich wieder nur raten) wären es denn dann?
Ist dein Eintrag so zu verstehen, dass der Wert ist, mit dem im Integral gearbeitet werden soll, und die Info ist, wonach abgeleitet werden soll? Das kann nicht sein, denn die beiden Sachen bilden zusammen ein Skalarprodukt (Dot-Produkt). Das sind keine voneinander unabhängige Sachen.
Zuletzt bearbeitet von bloebb am 24. Jul 2017 11:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 24. Jul 2017 11:55 Titel: |
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Vielen Dank, jh8979.
Aber dort steht das im Grunde genommen genau so, wie ich es hier anfangs eingetragen habe (und es der Prof an die Tafel schreibt).
Auf der Wikipedia-Webseite ist zusätzlich nur noch erklärt, dass man dieses Wegintegral auch als Zeitintegral (dort nach dt integriert) anschreiben kann. Soviel ich weiß, muss man dazu 2 Sachen machen:
1) rechts um  erweitern. Wenn ich mich richtig an das UNI-Vorlesungsvideo erinnere, macht der Prof. noch eine Bemerkung dazu, wonach das eigentlich eine nicht ganz saubere Vorgehensweise wäre. Ich weiß allerdings nicht, warum das unsauber wäre.
2) die Grenzen des Integrals auf Zeitangaben ändern. Aus  wird 
Mit der Schreibweise als Zeitintegral (nach dt integriert) kann ich etwas anfangen, diese Schreibweise entspricht dem, was ich gewohnt bin. Mit der Schreibweise des Wegintegrals habe ich aber Verständnisprobleme. |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 24. Jul 2017 12:00 Titel: |
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Oh, dort steht ja noch was interessantes auf der Wikipediaseite:
| Zitat: | | wird daher der Weg in der Notation unterdrückt. |
D. h. das ist einfach so ein Schreibstil der Physiker? |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 24. Jul 2017 12:17 Titel: |
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Ich glaube, so langsam komme ich dahinter, was hier abläuft. Interessant auf der Wikipediaseite ist auch:
 = \dot{\gamma} (t) \ dt)
Das heißt dann wohl, dass im ) auch jene Information versteckt ist, wonach integriert werden soll, was dann aber zu dem Zeitintegral führt. |
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bloebb
Anmeldungsdatum: 24.07.2017
Beiträge: 139
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| bloebb Verfasst am: 24. Jul 2017 12:18 Titel: |
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Also ich glaube, ich habe das verstanden.
VIELEN DANK!!  |
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VeryApe
Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3251
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| VeryApe Verfasst am: 25. Jul 2017 16:32 Titel: |
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| Zitat: | Das dt ist nur eine Zusatzinfo zum Integral. Mit dt wird nicht gerechnet, es zeigt nur an, wonach integriert werden soll.
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ich frage mich gerade, wenn die Mathematiker nicht damit rechnen, woher wissen die dann das x³ differenziert 3x² ergibt. und umgekehrt die Stammfunktion damit x³ ist.
da muss man ja zwangsläufig delta x gegen null gehen lassen was gleich dx ist und damit rechnen
³ -x³} {dx}=3x²+3x*dx+dx² )
damit gerechnet also dx=0,0000000000.......1 eingesetzt, was ziemlich genau dasselbe hier ergbit wie null eingesetzt.
ergibt y'=3x²
umgekehrt ergibt die Summe aller dy=y'*dx in Schrittweiten von dx->0 (0,000000000......1) wieder die Stammfunktion bzw  plus eine Ursprungsverschiebung.
_________________
WAS IST LOS IN EUROPA? https://www.youtube.com/watch?v=a9mduhSSC5w |
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APWBDumbledore
Gast
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| APWBDumbledore Verfasst am: 25. Jul 2017 20:18 Titel: |
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| VeryApe hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | Das dt ist nur eine Zusatzinfo zum Integral. Mit dt wird nicht gerechnet, es zeigt nur an, wonach integriert werden soll.
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ich frage mich gerade, wenn die Mathematiker nicht damit rechnen, woher wissen die dann das x³ differenziert 3x² ergibt. und umgekehrt die Stammfunktion damit x³ ist.
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So:
1. Grenzwert einer Folge definieren:  falls  \in \mathbb N : \forall n > N(\epsilon) : \vert x_n - x \vert < \epsilon) . Zeigen, dass der Grenzwert eindeutig ist (einfach) und die Grenzwertsätze gelten und bla bla bla
2. Grenzwert einer Funktion ) an einer Stelle  definieren:  = y) falls für jede Folge _n) mit , aber  und ) (die Folgenglieder müssen im Definitionsbereich von f liegen, aber x selber muss das nicht!) die Folge )_n) gegen  konvergiert (im Sinne von 1.)
Alternative Definition, die ohne 1 auskommt: falls  > 0: \forall x'\text{\;mit\;}\vert x - x' \vert < \delta(\epsilon)\text{\;und\;}x' \neq x : \vert f(x') - y \vert < \epsilon)
Beide Definitionen sind äquivalent.
3. Zu jedem  definiere  := \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}) für  , so dass ) für alle diese h liegt. (Für den Begriff der Differenzierbarkeit setzt man voraus, dass es so ein epsilon>0 gibt; falls nicht, kann man immer noch einseitige Differenzierbarkeit definieren).
 ist eine Funktion von h,  = (- \epsilon , \epsilon ) \setminus \lbrace 0 \rbrace ) . Demnach kann man von einem Grenzwert
) im Sinne von 2. sprechen. Falls dieser existiert, heißt die Funktion differenzierbar bei und der Grenzwert wird Ableitung genannt.
Wie du siehst, funktioniert das alles sehr gut, ohne irgendwelche infinitesimalen Größen einzusetzen.
Was du beschreibst, ist die Feststellung, dass man dem Grenzwert nahe kommt, wenn man sehr kleine h wie z.B. 0.00000000001 einsetzt.
Beispiel:
 = x^3, D(f) = \mathbb R)
 = \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3 x^2 h + 3 x h^2 + h^3}{h} = 3 x^2 + 3 x h + h^2) . Für  kann man z.B.  = \operatorname{max} (\frac{ \epsilon}{6 x} , \frac{\sqrt{\epsilon}}{2} )) wählen, dann ist  - 3 x^2 \vert < \epsilon) für  ) .
Integration ist schwieriger zu definieren. Im Prinzip ist es damit aber ähnlich.
Darüber hinaus gibt es die Nichtstandardanalysis... Damit ist alles gesagt, was man dazu wissen muss: Die gibt's. |
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