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Nabla24
Gast
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 Nabla24 Verfasst am: 10. Jul 2017 18:34 Titel: Zylinderkondensator und Dielektrikum |
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Guten Abend zusammen.
Folgendes Problem zu folgendem System:
Zwei lange, zylindrische Leiter mit vernachlässigbarer Wanddicke sind koaxial angeordnet, so dass sie einen Zylinder Kondensator ergeben.
Dieser Kondensator ist in eine dielektrische Flüssigkeit getaucht und wird nun über eine Batterie mit einer konstanten Spannung versorgt. Die Flüssigkeit im Hohlraum zwischen den beiden Zylindern steigt nun. Randeffekte sollen vernachlässigt werden.
Gegeben ist:
Radien der Zylinder: 
Dielektrizitätskonstante der Flüssigkeit: 
Massendichte der Flüssigkeit: 
Spannung: 
Höhe: 
Erdbeschleuningung: 
Zu zeigen:
}{\rho g (b^2 - a^2) * ln(b/a)})
Nun zu meinen Ansätzen.
Nach dem Anschalten der Spannung pendelt sich das System irgendwann ein. Es muss also ein Gleichgewicht herrschen, zwischen einer mechanischen Kraft/Arbeit, die die Flüssigkeit nach unten drückt und einer elektrischen Kraft/Arbeit, die die Flüssigkeit nach oben drückt.
Ich habe versucht, die gegeben Formel für die Höhe etwas auseinander zu ziehen:
}{\rho g (b^2 - a^2) * ln(b/a)} = \frac{U^2 \epsilon_0 \epsilon_r - U^2 \epsilon_0}{ln(b/a)} \frac{1}{\rho g} \frac{1}{(b^2-a^2)})
Dabei ist der Term
}) auf jeden Fall Teil der elektrischen Seite. Meine Idee hier ist, dass sich der Kondensator ja einmal im Vakuum ( ) und einmal in der Flüssigkeit befindet. Da kann dann angenommen werden, dass das System aus zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren sind.
Weiterhin sind meine Ansätze hier:
 und }) .
Mit dem Logarithmus und dem U² sieht das gut aus, nur leider finde ich kein  in der gegebenen Gleichung und wüsste auch nicht, wo es sich raushebt. Auch ist dort von einem Minus zwischen den beiden Termen die rede. Wenn ich mich recht erinnere gilt:
 , dort kann kein Minus herkommen.
Der nächste Term  hat definitiv was mit der mechanischen Arbeit zutun. Schon alleine wegen der Erdbeschleunigung.
Zu dem Term }) fällt mir leider gar nichts ein.
Ich hoffe ihr versteht, wo es hakt und könnt mir vielleicht den einen oder anderen Anschubser verpassen 
Liebe Grüße |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 10. Jul 2017 23:05 Titel: Re: Zylinderkondensator und Dielektrikum |
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| Nabla24 hat Folgendes geschrieben: | ...dass das System aus zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren sind.
, |
Sag mal, wie ich den Koax-Kondensator auch drehe, in Serie ist da niemals was geschaltet, denn die Flüssigkeit wird sich wohl kaum so anordnen, dass die Trennfläche ein Zylinder ist. Na gut, wenn der Zylinder um seine Achse schnell rotiert, dann vielleicht. | Nabla24 hat Folgendes geschrieben: | | Zu dem Term fällt mir leider gar nichts ein. |
Das wundert mich, kann es sein, der meint pi *(ra²-ri²) ist die Kreisringfläche?
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Nabla24
Gast
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| Nabla24 Verfasst am: 11. Jul 2017 14:23 Titel: |
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Bin mittlerweile so weit:
}{\rho g (b^2 - a^2) ln(b/a)})
}{(b^2 - a^2) ln(b/a)})
Mit Volumen )
Das entspricht nun 
Nun gilt auch generell: 
Also gilt mit  \frac{l}{ln(b/a)}) :
 \frac{l}{ln(b/a)} U^2 =\frac{1}{2} \frac{U^2 \epsilon_0 ( \epsilon_r - 1)}{(b^2 - a^2) ln (b/a)} \cdot 2 \pi l (b-a) )
Kommt raus: }{b^2 - a^2})
Was ich irgendwie komisch finde  |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 11. Jul 2017 15:30 Titel: |
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| Nabla24 hat Folgendes geschrieben: | BKommt raus:
Was ich irgendwie komisch finde ?( |
\cdot(b+a)}= \frac{1}{b+a})
Siehst schon, dass nichteinmal die Einheiten passen, oder?
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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| isi1 Verfasst am: 11. Jul 2017 16:04 Titel: Re: Zylinderkondensator und Dielektrikum |
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| Nabla24 hat Folgendes geschrieben: | Radien der Zylinder:
Dielektrizitätskonstante der Flüssigkeit:
Massendichte der Flüssigkeit:
Spannung:
Höhe:
Erdbeschleuningung:
Zu zeigen:
}{\rho g (b^2 - a^2) \cdot ln(b/a)}) |
Fangen wir nocheinmal an, Nabla:
Gewicht G mal Höhe h = ½ U² (C_h - C_o}) ... mit Kapazität C = 2π ε0 εr L / ln(b/a)
g ρ•A • h² = ½ U² 2π ε0 (1-εr) • h / ln(b/a) ... mit Kreisringfläche A = π (b²-a²)
g ρ•π (b²-a²) • h² = ½ U² 2π ε0 (εr -1) • h / ln(b/a) ... kürzen
g ρ (b²-a²) • h = U² ε0 (εr -1) / ln(b/a) ... h isolieren
h = U² ε0 (εr -1) / (g ρ (b²-a²) ln(b/a) ) ... das ist obige Formel
Falls ich didaktisch zu kurz formuliert habe, Nabla, bitte nachfragen.
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 11. Jul 2017 17:02 Titel: |
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Warum soll eigentlich die potentielle Energie der Flüssigkeit gleich der Differenz der im Kondensator nachher und vorher gespeicherten Energie sein? Das ist doch keine Energieumwandlung im Sinne des Energieerhaltungssatzes. Beide Energieanteile werden von der Spannungsquelle geliefert und dann in die entsprechenden Energieformen umgewandelt. Warum diese beiden Anteile gleich sein sollen, ist nicht wirklich einzusehen.
Ich glaube vielmehr, dass es hier um ein Kräftegleichgewicht geht: Kraft auf die Grenzschicht zwischen Flüssigkeit und Luft ist gleich der Gewichtskraft der Flüssigkeits"säule". Wenn man diesem Ansatz folgt, fällt im Ergebnis auch der lästige Faktor 2 in der Lösung von isi1 weg, der in der Musterlösung auch nicht enthalten ist. |
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 11. Jul 2017 17:41 Titel: |
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Richtig, GvC, ich hatte das auch erkannt und gleich richtig gestellt (noch bevor Dein Beitrag eintraf). Mit dem Prinzip der virtuellen Arbeit (d’Alembertsches Prinzip) muss man eben nur infinitesimal wenig bewegen, d.h., die ganze Füssigkeitssäule tragen ... damit fällt das 1/2 bei der mechanischen Arbeit weg.
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Nabla24
Gast
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| Nabla24 Verfasst am: 11. Jul 2017 18:24 Titel: |
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Danke, isi1.
Didaktisch war es in Ordnung, keine Angst.
Peinlicherweise lag es tatsächlich an dem Volumen, bzw. der Kreisringfläche, die ich irgendwie komplett durcheinander gehauen habe 
Manchmal scheitert es an den einfachsten Sachen.
@GvC ich denke die Profs wollten uns Studenten nur etwas mit den Formeln spielen lassen. Da geht es dann weniger um physikalische Richtigkeit. Stimme dir aber natürlich auch zu. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 11. Jul 2017 21:12 Titel: |
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| Nabla24 hat Folgendes geschrieben: | | ich denke die Profs wollten uns Studenten nur etwas mit den Formeln spielen lassen. Da geht es dann weniger um physikalische Richtigkeit. |
Das glaube ich nicht. Es dürfte hier durchaus darum gehen zu erkennen, dass auf die Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika im elektrischen Feld immer eine Kraft in Richtung der kleineren Permittivitätszahl wirkt. Diese Grenzflächenkraft errechnet sich im homogegen Feld aus der Differenz der Energiedichten beider Dielektrika mal der Fläche der Grenzschicht. Im - wie hier - inhomogenen Feld muss zur Bestimmung der Kraft das Flächenintegral der Energiedichtedifferenz gebildet werden. |
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Nabla24
Gast
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| Nabla24 Verfasst am: 11. Jul 2017 22:38 Titel: |
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Das kann natürlich sein, dennoch haben wir diesen exakten Fall nicht besprochen. Weder im homogenen noch im inhomogenen Feld. Kann natürlich sein, dass das morgen in der Vorlesung dran kommt, weiß man ja nie. |
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